备战高考数学(精讲精练精析)专题10.3抛物线试题文(含

第五节抛物线抛物线的定义及其应用考向聚焦高考热点,主要考查与抛物线的定义有关的最值、距离、轨迹等问题,单独命题一般以选择题、填空题形式出现;大多渗透于解答题中,难度中档,所占分值4~5分备考指津训练题型:(1)与抛物线有关的轨迹问题,注意分析问题的能力的训练;(2)最值问题,注意转化与化归思想的培养.(3)距离问题,注意解题方法的训练1.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y 2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )(A)(B)1 (C)(D)解析:如图:由抛物线定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则梯形AA1B1B的中位线|CC1|=,从而AB中点C到y轴的距离为d=-=.故选C.答案:C.2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于( )(A)4(B)8 (C)8(D)16解析:由题意知F(2,0),准线方程为x=-2,直线AF的方程为y=-(x-2),∴A(-2,4),设P(x0,4),代入y2=8x,得x0=6,则|PF|==8,故选B.答案:B.有关抛物线问题,应特别注意抛物线定义的应用,即抛物线上点到焦点的距离与点到准线的距离可以相互转化.3.(2010年上海卷,理3)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为.解析:动点P到定点F和到定直线x=-2距离相等,∴P点的轨迹为抛物线,=2⇒p=4,所以y2=8x.答案:y2=8x抛物线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容,主要从两个方面进行考查:(1)给出抛物线方程研究其几何性质;(2)利用几何性质求抛物线方程,一般为选择题、填空题,难度不大,所占分值5分左右4.(2012年四川卷,理8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )(A)2(B)2(C)4 (D)2解析:由题意知,此抛物线开口向右,∴可设其标准方程为y2=2px(p>0).又∵点M在抛物线上且到焦点距离为3,∴点M到其准线的距离也为3,∴=3-2=1,p=2.∴抛物线方程为y2=4x.又∵点M在抛物线上,∴=4×2=8,∴|OM|====2.故选B.答案:B.5.(2011年陕西卷,理2)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )(A)y2=-8x (B)y2=8x(C)y2=-4x (D)y2=4x解析:抛物线的准线方程为x=-2,则焦点为(2,0),∴=2,∴p=4,故抛物线的标准方程为y2=8x,故选B.答案:B.6.(2011年湖北卷,理4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )(A)n=0 (B)n=1 (C)n=2 (D)n≥3解析:如图所示,由抛物线的对称性知A、B关于x轴对称.过点F作直线y=(x-),y=-(x-)分别与抛物线有2个交点.∴等边三角形有△AFB和△A'FB'共2个,故选C.答案:C.7.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为.解析:由已知F的坐标为(,0),则B点坐标为(,1),代入抛物线方程y2=2px 得p2=2,p=,∴B点到抛物线准线的距离d=+=.答案:直线与抛物线的位置关系考向聚焦高考热点内容,(1)主要与向量、函数、不等式相结合考查焦点弦问题;(2)研究直线与抛物线的位置关系;(3)直线与抛物线相交时,考查借助弦长求参数或借助根与系数关系求弦长主观题、客观题均可能出现,难度中档偏上,所占分值4~8分备考指津训练题型:(1)直线与抛物线的位置关系,注重数形结合思想的训练;(2)直线与抛物线的相交弦问题,注重转化思想,“设而不求”法及“点差法”的训练,并注意判别式大于零这一隐含条件.8.(2012年安徽卷,理9,5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )(A)(B)(C)(D)2解析:本题考查抛物线的性质,直线方程,直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离公式以及三角形的面积.设A点坐标为(x 1,y1),B点坐标为(x2,y2),抛物线的焦点F(1,0),准线方程x=-1,根据点A 到焦点F 的距离等于到准线的距离可知x1=3-1=2,代入抛物线方程得y2=8,不妨取y1=2,则A(2,2),则k AB=2,直线AB方程为y=2x-2,代入y2=4x得2x2-5x+2=0,∴x1+x2=,|AB|=+2=,又点O到直线AB 的距离d==,所以S △AOB=××=.故选C.答案:C.根据抛物线定义可知抛物线上任一点到焦点的距离等于这点到准线的距离,可以把抛物线过焦点的弦长转化为过焦点的直线与抛物线两交点的坐标问题,这样比较容易求出弦长,然后利用点到直线的距离公式求三角形边上的高,利用面积公式即可解决问题.9.(2011年大纲全国卷,理10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos ∠AFB等于( )(A)(B)(C)-(D)-解析:由y2=4x得F(1,0),准线方程为x=-1.由,得A(1,-2),B(4,4).则AB==3,由抛物线定义得|AF|=2,|BF|=5,由余弦定理得cos ∠AFB==-,故选D.答案:D.10.(2012年北京卷,理12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.解析:∵抛物线y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又∵直线l倾斜角为60°,∴直线斜率为,∴直线方程为y=(x-1).联立方程解得或由已知得A的坐标为(3,2),∴S△OAF=|OF|·|y A|=×1×2=.答案:11.(2012年辽宁卷,理15,5分)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析:y=x2,y'=x,P(4,8),k1=y'|x=4=4,切线为y=4x-8,Q(-2,2),k2=y'|x=-2=-2,切线为y=-2x-2.由得A(1,-4).答案:-412.(2012年重庆卷,理14,5分)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|= .解析:设直线AB方程:y=k(x-)(由题易知斜率存在且k≠0),代入y2=2x消去y并整理得k2x2-(k2+2)x+=0 ①,设A(x1,y1)、B(x2,y2)则x1+x2==1+,又|AB|=,故x1+x2+1=,∴x1+x2=,∴1+=,k2=24.把k2=24代入方程①得24x2-26x+6=0,解得x=或x=,因|AF|<|BF|,∴x1=,∴|AF|=+=.答案:本题考查抛物线的焦点弦、抛物线定义的运用,考查学生的运算能力、转化能力,难度较大.13.(2010年全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= .解析:过M(1,0)的直线方程为y=(x-1),交准线l于点A(-,-(+1)),∵=,∴M为AB的中点,∴B为(2+,(+1)),代入抛物线方程得p=2.答案:214.(2010年湖南卷,理14)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p= .解析:由已知得焦点为F(0,),设直线为y=x+,A(x1,y1),B(x2,y2).由得:x2-2px-p2=0,∴x1+x2=2p,x1·x2=-p2,∴y1+y2=x1+x2+p=3p,∴|CD|=|x1-x2|==2p,∴S梯形ABCD=(|AD|+|BC|)·|CD|=(y1+y2)·2p=×3p×2p=3p2.∴3p2=12,∴p=2.答案:215.(2012年山东卷,理21,13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.解:(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,),设Q(a,b),由题意可知b=,则点Q到抛物线C的准线的距离为b+=+=p=,解得p=1,于是抛物线C的方程为x2=2y.(2)假设存在点M(x0,)(x0>0),使得直线MQ与抛物线C相切于点M,而F(0,),O(0,0),M(x0,),Q(a,),|MQ|=|OQ|=|QF|,∴(x0-a)2+(-)2=a2+,a=+x0,由x2=2y可得y'=x,k=x0=,则+-=-,即--2=0,解得x0=,点M的坐标为(,1).(3)当x0=时,由(2)得Q(,),☉Q的半径为r==.所以☉Q的方程为(x-)2+(y-)2=,由整理得2x2-4kx-1=0.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-.所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)(4k2+2)由整理得(1+k2)x2-x-=0.设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4), 由于Δ2=+>0,x3+x4=,x3x4=-.所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=+.因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)++令1+k2=t,由于≤k≤2,则≤t≤5,所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++=4t2-2t++,设g(t)=4t2-2t++,t∈[,5].因为g'(t)=8t-2-,所以当t∈[,5]时,g'(t)≥g'()=6,即函数g(t)在t∈[,5]上是增函数,所以当t=时,g(t)取到最小值,因此当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.16.(2012年新课标全国卷,理20,12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C 上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,又点A到l的距离d=|FA|=p而S△ABD=4.∴|BD|·d=4.即×2p×p=4,∴p=-2(舍去)或p=2∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,∴∠ABD=30°,m的斜率为-或,当m的斜率为时,可设n方程为y=x+b.代入x2=2py得x2-px-2pb=0,由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0∴b=-,又∵m的截距b1=,=3∴坐标原点到m、n的距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.本题涉及抛物线与圆相结合、直线与抛物线位置关系,圆的简单性质等方面,综合性很强,难度突显,但是数据及运算量并不复杂,突破难点的关键是充分利用抛物线及圆心简单性质,巧妙处理.(2010年湖北卷,理19,12分)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足:-x=1(x>0),2分化简得y2=4x(x>0).4分第(1)问赋分细则:(1)设出P(x,y),列出-x=1(x>0)得2分;(2)未加条件x>0扣1分.(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m,5分由,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0.6分于是①7分又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),·<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0 ②8分又x=,于是不等式②等价于·+y1y2-(+)+1<0⇔+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0 ③9分根据①式,不等式③等价于m2-6m+1<4t2④10分对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0即3-2<m<3+211分由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有·<0,且m的取值范围是(3-2,3+2).12分第(2)问赋分细则:(1)未写Δ>0扣1分;(2)未指明4t2的最小值为0,直接写出3-2<m<3+2扣1分;(3)③式结果错扣1分;(4)未写明结果扣1分.通过高考阅卷统计分析、造成失分的原因如下:(1)解题思路对,解题跨度大,如由·<0直接写出了等价条件m2-6m+1<4t2;(2)忽视m为正数的条件和4t2≥0;(3)结论写不清.。

第十章 圆锥曲线与方程
第三讲 抛物线
1.[2021 合肥调研]已知 P 为抛物线 y2=4x 上一点,Q 为圆(x-6)2+y2=1 上一点,则|PQ|的最小值为
()
A. 21-1
B.2- 5
5
C.2 5-1D.21-4 5
2.[2021 湖南模拟]已知抛物线 C:y2=2px(p>0),倾斜角为π的直线交 C 于 A,B 两点.若线段 AB 中点的纵坐标为 2 3,
A,B 的一个动点,平行于 y 轴的直线 PN 交抛物线 E 于点 N,则△PMN 的周长的取值范围是
()
A.(6,12) B.(8,10)
C.(6,10) D.(8,12)
图 10-3-1 13.[2021 长春市第一次质量监测]已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点(点 A 在第一
2
2
程为 y2=3x.故选 B.
【精华总结】 本题是一道以《九章算术》中的“勾股定理”为背景的数学应用问题,解题关键是结合题设条件求
出 p=3,从而得到抛物线的方程.
2
6.D
设
A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线
C
的焦点为( ,0),知
2
AF,BF
的中点的纵坐标分别为
1,
2
2,则
2
|MN|=| 2
4
3
xM=12,yM=23.因为点
M(xM,yM)在抛物线上,所以
4 9
=
2
,解得
12
a=4 3.
3
9.(1)因为椭圆
E:
22+y2=1
的离心率为

ﻩ2016年高考总复习高中数学圆锥曲线——抛物线ﻩ一、选择题1．（2016·湖北黄冈）若抛物线y 2=2ｐｘ的焦点与椭圆x 26＋＼f （y 2,2)=1的右焦点重合,则p 的值为( ) A ．－2 ﻩﻩﻩﻩB ．2 C ．－4 ﻩ ﻩ ﻩD ．４2．已知点Ｍ是抛物线y 2＝2ｐx (p >0)上的一点,F 为抛物线的焦点,若以｜MF ｜为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是（ )Ａ.相交 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩＢ.相切C.相离 ﻩ ﻩD.以上三种情形都有可能3.(2016·山东文）已知抛物线y 2=２px (p >0),过焦点且斜率为１的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1ﻩ B ．ｘ=-1 Ｃ.x ＝2 ﻩﻩ ﻩD.x ＝－24．双曲线＼f （ｘ2,９)－＼f(y 2,4)＝１的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2=2ｐx （p >0）过点Ａ，则该抛物线的方程为( )Ａ.ｙ2=９x ﻩB ．y ２=4x C.y 2＝＼f （4＼r （13)，１3)x ﻩﻩﻩﻩ Ｄ．y 2＝＼f(213），13x5.已知点P 是抛物线y 2=2ｘ上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与点Ｐ到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．错误! ﻩﻩﻩﻩB ．３ C.错误! ﻩﻩﻩ ﻩﻩD.错误!6.已知抛物线Ｃ：y ２＝4ｘ的焦点为F ,准线为ｌ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线,垂足为M ，若△ＡMF与△AOF （其中O 为坐标原点)的面积之比为3１，则点A 的坐标为（ )A ．(２,22) ﻩﻩﻩﻩB ．(2，－2＼ｒ（２)) Ｃ．(2,±2) ﻩﻩ Ｄ．(2，±22)7．(２0１６·河北许昌调研)过点P （－3,1)且方向向量为ａ＝(2,－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( ）A.y 2=－2ｘ ﻩﻩﻩﻩB ．y 2＝-32x C ．y 2=4x ﻩﻩﻩ ﻩD.y 2=-4ｘ８．已知ｍn ≠0,则方程是m ｘ2＋ny 2＝１与ｍｘ＋ny ２＝０在同一坐标系内的图形可能是（ )9.(2０1６·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：ｙ2=4x 上的不同两点，F 为抛物线Ｃ的焦点,若错误!＝－4错误!，则直线A Ｂ的斜率为( ）A.±错误! ﻩﻩﻩ ﻩB.±错误! Ｃ.±34 ﻩ ﻩﻩ D ．±＼f(4，３)10.已知抛物线C 的方程为ｘ２＝错误!y ,过点A (0,－4)和点B （t ，0)的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是（ ）Ａ．(－∞,-１）∪(1，＋∞）Ｂ．错误!∪错误!Ｃ.(－∞，－２2）∪(2错误!,+∞)D.(-∞，－2２)∪(错误!,＋∞)[点评] 可用数形结合法求解,设过点A (0,-4）与抛物线x ２=＼f(1,2)ｙ相切的直线与抛物线切点为Ｍ(x 0，y ０）, 则切线方程为y -y ０＝４x ０(ｘ-x ０)，∵过Ａ点,∴－４-２x 02=４ｘ０（0－x 0),∴x ０＝±２,∴y 0=4,∴切线方程为y -4＝±４2x -8，令y =0得x =±＼f(＼r(2）,2),即t ＝±22， 由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <-错误!或ｔ＞错误!.二、填空题11．已知点A (２,0)、B (4,０),动点P 在抛物线y 2=-4x 上运动，则错误!·错误!取得最小值时的点Ｐ的坐标是＿_＿_＿_.12．(文)(2０16·泰安市模拟）如图，过抛物线y 2=２px (p >0)的焦点Ｆ作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点,且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．(理）(２０１６·泰安质检)如图，过抛物线y 2=2px (ｐ>0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点Ａ、Ｂ、C ,若|BC |＝２|BF |，且|A Ｆ|＝3，则抛物线的方程是______＿_.点评：还可以由|BC |=２|B Ｆ｜得出∠BCB 1＝30°，从而求得Ａ点的横坐标为｜OF |+＼f(１，2)|AF ｜=错误!＋＼f(3,２)或3-错误!,∴错误!＋错误!=３-错误!，∴ｐ＝错误!．1３．已知F 为抛物线C :y 2＝4x 的焦点,过Ｆ且斜率为１的直线交C 于Ａ、B 两点．设|F A |>｜ＦB |，则｜F A ｜与|FB |的比值等于＿__＿_＿__.1４．(文)若点(3，1)是抛物线ｙ2＝２ｐｘ的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝＿___＿___. (理)(２016·衡水市模考)设抛物线x ２=１２y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于Ａ、Ｂ两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋｜ＢＦ|=__＿_____.三、解答题15.(文）若椭圆C 1:x 24+错误!＝１(0<ｂ＜２）的离心率等于错误!,抛物线Ｃ２：ｘ2＝2py （p >0)的焦点在椭圆Ｃ1的顶点上.(1）求抛物线C 2的方程；(2）若过Ｍ(－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线Ｃ2的切线l １、l 2，当ｌ1⊥l 2时,求直线l 的方程．(理)在△ＡBC 中，错误!⊥错误!，错误!＝(0,－2),点M 在y 轴上且错误!=错误!（错误!+错误!),点C 在x 轴上移动.(１)求B 点的轨迹E 的方程；(２)过点F错误!的直线ｌ交轨迹E于Ｈ、E两点，(H在F、G之间),若错误!＝错误!错误!,求直线l的方程.16．(文)已知P（ｘ，y）为平面上的动点且x≥０，若Ｐ到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.（１)求点P的轨迹C的方程;(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点,问是否存在这样的实数m,使得以线段AB为直径的圆恒过原点．[点评](1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,即点P到定点Ｆ(1，0）的距离与到定直线l：ｘ=-1的距离相等.∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线,∴ｐ=2,∴方程为ｙ2=4ｘ．(理)已知抛物线y２=４x,过点(０，－２)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．(１)若错误!·错误!＝4，求直线AＢ的方程．(２)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(ｎ,0),求n的取值范围.１７．（文)（2０１0·全国Ⅰ）已知抛物线C：ｙ2＝4x的焦点为F,过点K(－１，０)的直线l与C相交于A、B 两点,点Ａ关于ｘ轴的对称点为D．(1)证明：点F在直线BＤ上；（2）设错误!·错误!=错误!，求△BDK的内切圆M的方程．(理)（２016·揭阳市模考)已知点C（１,0），点A、B是⊙Ｏ:x2+y2＝9上任意两个不同的点,且满足＼o(AC，)·错误!＝0，设Ｐ为弦AB的中点.→(1）求点P的轨迹T的方程;（2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点Ｃ的距离？若存在，求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由．。

专题9.7 抛物线1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．专题9.7 抛物线1．（2020·吉林省长春模拟）点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()A．x2＝112y B．x2＝112y或x2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B ，两式相减并化简得y B －y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m－8)x ＋m 2＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝8，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝8m.⊥OP⊥OQ，⊥x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，⊥m＝0或m＝－8.经检验，当m＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合，不符合题意．当m＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意．综上，实数m的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．【解析】(1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋p2＝3，解得p＝2.⊥抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：⊥点A(2，m)在抛物线E上，⊥m2＝4×2，解得m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)，由A(2,22)，F(1,0)，⊥直线AF的方程为y＝22(x－1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF . ⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，⊥p ＝2.⊥抛物线方程为y 2＝4x . (2)⊥点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43，⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34.⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)，⊥MN 的方程为y －2＝－34x ，⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45，第 11 页 共 11 页 ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。