湖南省醴陵二中、醴陵四中2020-2021学年高二下学期期中联考数学(文)试题

【校级联考】湖南省醴陵二中、醴陵四中2020-2021学年高二下学期期中联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数111iz i-+=-+在复平面内，z 所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图是导函数()y f x '=的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数（ ）A ．()13,x xB ．()24,x xC ．()46,x xD ．()56,x x3．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误4．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A ．2245C C ⋅B ．234444C C C ++C ．2245C C +D ． 223140454545C C C C C C ⋅+⋅+⋅5．()()()()56781111x x x x -+-+-++的展开式中，含3x 的项的系数（ ） A ．9-B ．121C ．74-D ．121-6．函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点(),a b 为（ ） A ．()3,3-B ．()4,11-C ．()3,3-或()4,11-D ．不存在7．随机变量ξ服从二项分布ξ∼B (n,p )，且Eξ=300，Dξ=200，则p 等于（ ）A ．23B ．13C ．14D ．128．()22310xk dx +=⎰，则k =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．函数()32394f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．()23,9-B ．(]23,2-C ．[]2,9D ．[)2,9 10．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种B ．24种C ．18种D ．36种11．曲线x y e =，x y e -=和直线1x =围成的图形面积是（ ） A ．1e e --B ．1e e -+C ．12e e ---D ．12e e -+-12．已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c + （ ）A ．有最小值152 B ．有最大值152 C ．有最小值152-D ．有最大值152-二、填空题13．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．14．曲线()ln 21y x =-上的点到直线280x y -+=的最短距离是______． 15．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）. ○●○○●○○○●○○○○…若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有________个实心圆.16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①()25P B =；②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关三、解答题17．已知11a =，11nn n a a a +=+， （1）求：2a ，3a ，4a 的值；（2）猜想n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 19．在某校组织的高二女子排球比赛中，有A 、B 两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制．假设A 、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12．并记需要比赛的场数为ξ． （Ⅰ）求ξ大于4的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列与数学期望． 20．已知函数()()ln 11x f x x x =+-+ （1）求()f x 的单调区间；（2）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln b a b a-≥-． 21．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．22．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】计算复数z ，求出它的代数形式，看它的实部和虚部的正负，即可判定z 所对应的点在第几象限． 【详解】解：()()()()111211111111i i i i z i i i i i i ----+=-=-=-=-=-+++-， 因为10-<，10>，故z 所对应的点在第二象限． 故选B ． 【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本求解能力，是基础题． 2．B 【分析】根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论． 【详解】解：若函数单调递减，则()0f x '≤， 由图象可知，()24,x x x ∈时，()0f x '<， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键． 3．A 【解析】 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f '（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论． 【详解】对于可导函数f （x ），如果f '（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f '（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题， ∴大前提错误， 故选A ． 【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论． 4．D 【解析】试题分析：有两件一等品的种数2245C C ，有三件一等品的种数3145C C ，有四件一等品的种数4045C C , 所以至少有两件一等品的种数是223140454545C C C C C C ⋅+⋅+⋅，故选D ．考点：组合的应用． 5．A 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得含3x 的项的系数． 【详解】解：()()()()56781111x x x x -+-+-++的展开式中，含3x 的项的系数为33335678102035569C C C C ---+=---+=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6．B 【详解】试题分析：2'()32f x x ax b =++，则()()110{10f f ='=，2110{320a b a a b +++=++=解得4{11a b ==-或3{3a b =-=，当3,3a b =-=时，22'()3633(2)0f x x x x =-+=-≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，舍去.当4,11a b ==-,2'()3811f x x x =--,1x =为极小值点,符合,故选B考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件. 【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，'()0f x =是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当3,3a b =-=时，'()0f x ≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A ，认为两组解都符合，一定要注意检验. 7．B 【解析】Eξ=np =300,Dξ=np(1−p)=200，解得1−p =23,p =13，选B.8．A 【解析】 【分析】先利用积分定理即可求出用k 表示的定积分，再列出等式即可求得k 值． 【详解】 解：∵()223x k dx +⎰()332|220x kx k =+=+． 由题意得：32210k +=， ∴1k =． 故选：A ． 【点睛】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．D 【解析】 【分析】将函数零点，可转化为两个函数的图象交点，通过求解函数的单调性与极值，结合研究出函数的图象的特征，由图象求出m 的取值范围即可． 【详解】解：函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，即函数()32394f x x x x =--+，与y m =两个函数的图象有三个交点，下研究函数()32394f x x x x =--+图形的性质：由题意()2369f x x x '=--，令()23690f x x x =-->'解得3x >或1x <-，又[]2,5x ∈-，故()32393f x x x x =--+在()2,1--与()3,5上是增函数，在()1,3-上是减函数，2,1,3,5x =--时，函数值对应为2，9，23-，9，其图象如图，可得29m ≤<， 故选：D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将函数有零点的问题转化为两个函数有交点的问题，此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定的，实现了由不定到定的转化变，方便了研究问题，即求参数的范围．熟练利用导数研究函数的单调性也是解本题的关键， 10．D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案．②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题． 11．D 【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由{xxy e y e-==解得交点为（0，1）， ∴所求面积为：()()1101|2x x x x S e e dx e e e e --=-=+=+-⎰ 考点：定积分及其应用 12．D 【解析】试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f′（x ）=3x 2+2bx+c≤0，x ∈[-1，2]， 则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤-152，故选D. 考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案． 13．0.6【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．【解析】∵曲线y =ln(2x −1)，∴y ′=221x -,分析知直线2x −y +8=0与曲线y =ln(2x −1)相切的点到直线2x −y +8=0的距离最短 y ′═221x -=2,解得x =1,把x =1代入y =ln(2x −1)，∴y =0,∴点(1,0)到直线2x −y +8=0的距离最短，∴d =故答案为：15．62 【解析】 【分析】依次解出空心圆个数1,2,3n =，…时对应圆的总个数．再根据规律求结果． 【详解】解：∵1n =时，圆的总个数是2；2n =时，圆的总个数是5，即523=+； 3n =时，圆的总个数是9，即9234=++； 4n =时，圆的总个数是14，即142345=+++；…；∴n n =时，圆的总个数是()2341n +++⋯++． ∵2346320152019+++⋯+=<，234636420792019+++⋯++=>，∴在前2019个圆中，共有62个实心圆． 故答案为62 【点睛】本题主要考查归纳推理，解答关键是从圆的个数的变化规律中寻求规律，后建立数列模型解决问题． 16．②④ 【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出123,,A A A 事件发生的条件下B 事件发生的概率，即可判断②；然后由()()()123()P B P A B P A B P A B =++，判断①和⑤；再比较11()()()P A B P A P B ，的大小即可判断③. 【详解】由题意可知事件123,,A A A 不可能同时发生，则123,,A A A 是两两互斥的事件，则④正确； 由题意得()()()123544|,|,|111111P B A P B A P B A ===，故②正确； ()()()()()()()()()123133122()|||P B P A B P A B P A B P A P B A P A P B A P A P B A =++=++552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=,①⑤错； 因为11559()()()104492222P A B P A P B ==⨯=，，所以事件B 与事件A 1不独立，③错；综上选②④故答案为：②④【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.17．（1）212a =，313a =，414a = （2）1n a n =，证明见解析【分析】(1)根据递推式依次计算234,,a a a ;(2)先验证1n =时情况,假设n k =时猜想成立,证明1n k =+时结论正确即可. 【详解】 解：（1）11a =121111112a a a ∴===++， 23211211312a a a ===++，43311311413a a a ===++;（2）猜1n a n=证明：下面用数学归纳法证明. ①1n =时，易证1111a ==②假设n k =时，（k≥1，k ∈N*），即：1k a k=则111111111k k k a k k a a k k k k+===⋅=++++由①，②可知，对任意n *∈N ，1n a n=都成立.【点睛】本题主要考查的是数列递推关系的应用及数学归纳法的应用，是基础题. 18．（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数．（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数 （Ⅲ）共有28个符合题意的五位数 【详解】试题分析：在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算． 试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类： （i ）若个位数为，则共有（个）；（ii ）若个位数为或，则共有（个），所以，共有个符合题意的三位偶数． （2）将这些“凹数”分为三类： （i ）若十位数字为，则共有（个）； （ii ）若十位数字为，则共有（个）； （iii ）若十位数字为，则共有（个），所以，共有个符合题意的“凹数”． （3）将符合题意的五位数分为三类：（i ）若两个奇数数字在一、三位置，则共有2323A A 12⋅=（个）；（ii ）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）； （iii ）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），所以，共有个符合题意的五位数． 考点：排列的运用. 19．（Ⅰ）78（Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）依题意可知，ξ的可能取值最小为4．当4ξ=时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着A 连胜4场，或B 连胜4场，于是，由对立事件的概率计算公式，可得4ξ>的概率为78．（Ⅱ）ξ的可能取值为4，5，6，7，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】解：（Ⅰ）依题意可知，ξ的可能取值最小为4．当4ξ=时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着A 连胜4场，或B 连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得()404411142228P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴()()17414188P P ξξ>=-==-=． 即4ξ>的概率为78． （Ⅱ）∵ξ的可能取值为4，5，6，7，可得()404411142228P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()343341111522224P C ξ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()3533511156222216P C ξ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()3633611157222216P C ξ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为：115593456784161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力． 20．（1）单调增区间(0,)+∞ ，单调减区间(1,0)-；（2）44ln230x y -+-=；（3）见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出()()21111f x x x '=-++，由()0f x '>和()0f x '<即可求得()f x 的单调区间；（2）先求出切线的斜率()1f '，再求出()11ln 22f =-及切点坐标，最后代入直线的点斜式方程即可；（3）所证不等式等价为ln10a b b a +-≥，构造函数()1ln 1F t t t=+-，由（1）可知，()()10F t F ≥=，所以1ln ln ba b a-≥-成立．【详解】解：（1）由已知可得函数的定义域为()1,-+∞，()()21111f x x x '=-++，令()0f x '>，可得0x >；令()0f x '<，可得10x -<<，所以函数()f x 的单调增区间()0,∞+ ，单调减区间()1,0-； （2）因为()()21111f x x x '=-++， 所以()114f '=，又()11ln 22f =-， 所以切线方程为()11ln 2124y x -+=-，即 44ln230x y -+-=； （3）所证不等式等价为ln 10a bb a+-≥， 而()()1ln 111f x x x =++-+， 设1,t x =+则()1ln 1F t t t=+-，由（1）结论可得，()F t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，由此()()min 10F t F ==，所以()()10F t F ≥=即()1ln 10F t t t=+-≥，记at b=，则0t >，代入得ln 10a b b a +-≥，即对任意的正数a 与b ，恒有1ln ln ba b a-≥-.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间、导数的几何意义、利用导数证明不等式等，属常规考题，难度中等. 21．（1）X 的分布列为（2）0.896P =． 【详解】试题分析：（1）根据条件中的表格可知，作物产量与市场价的可能的组合总共有四种情况：产量500kg ，市场价10元/kg ；产量500kg ，市场价6元/kg ；产量300kg ，市场价10元/kg ；产量300kg ，市场价6元/kg ；因此作物的利润的计算也应分四种情况进行计算：5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=，3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=，若设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，则X 取到各个值的概率为：(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，，(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，即可知X 的分布列；（2）由（1）可知，事件2000X ≥等价于事件2000X =或4000，因此(2000)(4000)(2000)0.30.50.8P X P X P X ≥==+==+=，而所求事件的概率等价于3季的利润都不少于2000元或3季当中有2季利润不少于2000元，根据二项分布的相关内容，可知所求概率为32230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=．试题解析：（1）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”， 由题设知()0.5P A =，()0.4P B =， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为：5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=， 3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=，(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，，(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，∴X 的分布列为（2）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(1,2,3)i =， 由题意知1C ，2C ，3C 相互独立，由（1）知，()(4000)(2000)0.30.50.8(1,2,3)i P C P X P X i ==+==+==，∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为32230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=．考点：1．相互独立事件的概率乘法公式；2．离散型随机变量及其分布列． 22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()0,+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得()()()'12.xf x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.试题解析：（Ⅰ）()()()()()'12112.xxf x x e a x x e a =-+-=-+（Ⅰ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f （x ）在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. （Ⅱ）设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln （-2a ）.①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2ea >-，则ln （-2a ）＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-⋃+∞时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③若2ea <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞⋃-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.（Ⅱ）（Ⅰ）设0a >，则由（Ⅰ）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 2ab <， 则()()()22321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. （Ⅱ）设a=0，则()()2xf x x e =-，所以()f x 只有一个零点.（iii ）设a ＜0，若2ea ≥-，则由（Ⅰ）知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由（Ⅰ）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点.0,+∞.综上，a的取值范围为()【考点】函数单调性，导数应用【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.。