题型
1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积
2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积
内容
一．微元法及其应用
二．平面图形的面积
1.直角坐标系下图形的面积
2.边界曲线为参数方程的图形面积
3. 极坐标系下平面图形的面积
三．立体的体积
1.已知平行截面的立体体积
2.旋转体的体积
四．平面曲线的弦长
五．旋转体的侧面积
六．定积分的应用
1.定积分在经济上的应用
2.定积分在物理上的应用
题型
题型I 微元法的应用
题型II 求平面图形的面积 题型III 求立体的体积
题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用
自测题六 解答题
4月25日定积分的应用练习题
一．填空题
1. 求由抛物线线x x y 22
+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________
2.抛物线x y 22
=把圆82
2
≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________
3. 由曲线y x y y x 2,42
2==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3
3
1x x y -
=
相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32
=r 相应于2
2
π
θπ
≤
≤-
上的一段弧所围成的图形面积
为 ．
6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩
⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为
二．选择题
1. 由曲线2
2
,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
31 B ． 32 C ． 21 D ． 2
3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
223a π B ． 243a π C ． 28
3a π D ． 23a π
3. 曲线2x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ⎰
2
1
ln B.
dy e e x
⎰
2
C.dy y ⎰
2
ln 1
ln D.
()d x e x
⎰-2
1
2
三．解答题
1. 求曲线2
2,2,4
x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
2. 求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2
3. 已知曲线)0(2
>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为48
9
，试求k 的值．
4. 求a 的值，使曲线)1(2
x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．
5.在第一象限内求曲线12
+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积
6. 求椭圆1322
=+y x 与13
22
=+y x 所围公共图形的面积
7.求由下列各平面图形的面积：
（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分
8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)
①内摆线)0(sin ,cos 3
3
>==a t a y t a x
; ②4
3
1,t y t t x -=-=;
③⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∈==2,
0,sin ,cos 4
4
πt t y t x ; ④3
222,2t t y t t x -=-=.
4月26日定积分的应用练习题
基础题：
1.
由曲线x y sin =和它在2
π
=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积
是__________,以及它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为__________
2. 星形线t a x 3
cos =，t a y 3
sin =的全长为________
3.
由抛物线2
x y =及x y =2
所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋
转体的体积为__________
4.
半立方抛物线()32
132
-=
x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度为__________
5. 轴与求抛物线x x x y 22-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为___________
6.
由
3,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的
体积分别为______________
7.由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为
（ ）
A ． π16
B ． π32
C ． π8
D ． π4
8. 曲线2x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 9． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）
A ． 245kN
B ． 245N
C ． 205．8N
D ． 205．8kN
