3.1_数列(第二课时)

(2)a与b的和的平方是____________；
1
x＋5
2
(3)甲数为x，乙数比甲数的一半大5，则乙数是____________．
变式： 下列各项中，列出的代数式错误的是( D )
A．比a与b的积小5的数是ab－5
B．被7除商是a余数是5的数是7a＋5
C．x的2倍与y除以3的差是2x－y
3
D．a，b的平方和的一半是 1 a2＋b2
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点：列代数式(重难点)
1．列代数式的意义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、
字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
2．列代数式的关键及注意点：列代数式的关键是抽象出实际问题
中的数量关系．列代数式时，要注意以下几点：
(1)审题，认真分析问题中有关术语的含义．例如，和、差、积、
个句子分成三层：一是 x 与 y 两数的差，二是差的一半，三
是比差的一半小2m.分清层次后很容易得到代数式 1(x－y)－
2
2m.书写过程中，层与层之间要注意适当地添加括号．
5
(4)注意运算的逆向思维．例如，某数与ab的积为5，则该数为
，
ab
问题中出现的是积，而列出的代数式却是商的形式．
注：通过“关键字词”联想代数式中的“运算符号”：
2
【题型二】根据实际问题列代数式
例2：某牧民共有牛羊120只，一只牛每天的食草量是一只羊的4
倍，若一只羊每天需要吃4千克草，设牛有x只，该牧民每天
(12x+480)
需准备_________千克草．
例3：河上游的码头甲与下游的码头乙相距s km，轮船在静水中
的速度为a km/h，水流的速度为b km/h，则轮船从甲到乙往

等比数列(第二课时)课件目录•等比数列的定义与性质•等比数列的通项公式•等比数列的求和公式•等比数列在实际生活中的应用•课堂练习与解答Contents01总结词详细描述式、求和公式等。

总结词于计算数列的和。

详细描述等比数列与等差数列的对比总结词详细描述02定义法递推法特征根法利用等比数列的性质，通过递推关系式推导通项公式。

利用等比数列的特征根，通过代数运算推导通项公式。

030201求特定项的值交替等。

判断项的性质列中不同项的大小。

比较大小交替数列几何数列03等比数列是一种特殊的数列，其中任意一项与前一项的比值都相等，记作 a_n/a_(n-1)=r (r为常数)。

定义等比数列通过等比数列的性质，我们可以将等比数列的各项进行分组求和，再利用等比数列的性质化简，最终得到等比数列的求和公式：S_n=a_1*(1-r^n)/(1-r)。

推导求和公式解决实际问题无限等比数列的求和04复利计算和赔偿金额。

保险计算股票分析放射性衰变放射性衰变过程中，原子核的数目按照等比数列的方式减少。

声音传播在声波传播过程中，振动的次数按照等比数列的方式增加，形成不同的音高。

光学透镜透镜的焦距按照等比数列的方式排列，可以用于制造不同焦距的透镜。

网络传输网络传输中，数据包的发送往往按照等比数列的方式进行，以实现高效的数据传输。

数据压缩在数据压缩算法中，等比数列可以用于高效地存储和传输数据。

加密算法等比数列在加密算法中也有广泛应用，例如RSA算法就是基于等比数列的原理设计的。

等比数列在计算机科学中的应用05基础练习题1在等比数列 { a_n } 中，已知 a_2 = 4，a_6 = 32，求首项 a_1 和公比 q。

基础练习题2基础练习题3已知等比数列 { a_n } 的前 n 项和 S_n = 3^n + r，求 a_3 和 r 的值。

216基础练习题1 2 3提升练习题1提升练习题2提升练习题3综合练习题101等差数列，求 r 的值。

第三章数列●网络体系总览●考点目标定位1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.●复习方略指南纵观近几年的高考试题，可发现如下规律：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3.1 数列的概念●知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}，其中a是数列的第n项.n（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列{a n}的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为a n=f（n）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的.3.数列的前n项和数列{a n}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用S n表示.S n 与通项a n 的基本关系是： a n =⎩⎨⎧--11n nS S S ).2(),1(≥=n nS n =a 1+a 2+…+a n . 4.数列的分类 （1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限. （2）按a n 的增减性分类递增数列：对于任何n ∈N *，均有a n +1＞a n ； 递减数列：对于任何n ∈N *，均有a n +1＜a n ； 摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…； 常数数列：例如：6，6，6，6，…； 有界数列：存在正数M 使|a n |≤M ，n ∈N *；无界数列：对于任何正数M ，总有项a n 使得|a n |＞M .5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.●点击双基1.数列{a n }中，a 1=1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2，则a 3+a 5等于A.1661B.925C.1625 D.1531解析一：令n =2、3、4、5，分别求出a 3=49，a 5=1625，∴a 3+a 5=1661.解析二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2. 当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1=（n －1）2.两式相除a n =（1-n n）2， ∴a 3=49，a 5=1625.∴a 3+a 5=1661.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，a n =a n －1+21-n a （n ≥3），则a 5等于A.1255B.313C.4D.5解析：令n =3，4，5，求a 5即可. 答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足关系式S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月解法一：由S n 解出a n =301（－n 2+15n －9），再解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9.解法二：将选项中的月份代入计算验证. 答案：C 4.已知a n =20012000--n n ，且数列{a n }共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.解析：a n =20012000--n n =1+200120002001--n ，又44＜2001＜45，2001－2000＞0，故第45项最大，第44项最小.答案：45 44 ●典例剖析【例1】 在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=nnna a +1，求a n . 剖析：将递推关系式变形，观察其规律. 解：原式可化为11+n a －na 1=n ， ∴21a －11a =1，31a －21a =2，41a －31a =3，…， na 1－11-n a =n －1.相加得n a 1－11a =1+2+…+（n －1）， ∴a n =222+-n n . 评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例2】 有一数列｛a n ｝，a 1＝a ，由递推公式a n ＋1＝nna a +12，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a n 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝n n a a +12，∴a 2＝aa+12， a 3＝2212a a +＝a a a a+++12114＝a a 314+，a 4＝3312a a +＝aa a a3141318+++＝a a 718+.观察规律：a n ＝yaxa+1形式，其中x 与n 的关系可由n ＝1，2，3，4得出x ＝2n －1.而y 比x 小1，∴a n ＝aan n )12(1211-+--. 评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例3】 已知数列{a n }的通项公式a n =cn +nd ，且a 2=23，a 4=23，求a 10.剖析：要求a 10，只需求出c 、d 即可.解：由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,2344,2322d c d c 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,41d c ∴a n =41n +n 2.∴a 10=41×10+102=1027. 评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想. ●闯关训练 夯实基础1.若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意的n ∈N *都成立，则下列数列中，能取遍数列{a n }前8项值的数列是A.{a 2k +1}B.{a 3k +1}C.{a 4k +1}D.{a 6k +1}解析：由已知得数列以8为周期，当k 分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a 3k +1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a 3k +1}能取遍前8项.答案：B2.设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列｛a n ｝从首项到第______________项的和最大.A.10B.11C.10或11D.12解析：a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二项函数，它是抛物线f （x ）＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.另解： 由－n 2＋10n ＋11≥0得－1≤n ≤11， 又n ∈N *，∴0＜n ≤11.∴前10项为正，第11项为0. 答案：C3.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，写出此数列的前三项：______________，______________，______________.解析：由题意得22+n a =n S 2，由此公式分别令n =1，n =2，n =3可依次解出前三项.答案：2 6 104. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________________个点.(1) (2) (3) (4)(5)解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n 个图中个数为（n －1）×n +1=n 2－n +1.答案：n 2－n +15.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.解：由已知S n +1=2n －1，得S n =2n +1－1，故当n =1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n－S n －1=2n ，故a n =⎩⎨⎧n23 ).2(),1(≥=n n 6.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2n S =a n +1，求a n . 解：由已知2n S =a n +1，得当n =1时，a 1=1；当n ≥2时，a n =S n －S n －1，代入已知有2n S =S n －S n －1+1，即S n －1=（n S －1）2.又a n ＞0，故1-n S =n S －1或1-n S = 1－nS （舍），即n S －1-n S =1（n ≥2），由定义得{n S }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴n S =n .故a n =2n －1.培养能力7.（理）已知函数f （x ）=－2x +2（21≤x ≤1）的反函数为y =g （x ），a 1=1，a 2=g （a 1），a 3=g （a 2），…，a n =g （a n －1），…，求数列{a n }的通项公式.解：由已知得g （x ）=－2x+1（0≤x ≤1），则a 1=1，a n +1=－21a n +1.令a n +1－P =－21（a n －P ），则a n +1=－21a n +23P ，比较系数得P =32.由定义知，数列{a n －32}是公比q =－21的等比数列，则a n －32=（a 1－32）·（－21）n －1= 32［1－（－21）n ］.于是a n =34－32（－21）n . （文）根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）3，5，9，17，33，…； （2）32，154，356，638，9910，…； （3）2，－6，12，－20，30，－42，….解：（1）联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为a n =2n +1. （2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n }；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…，故所求通项公式为a n =)12)(12(2+-n n n.（3）将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为a n =（－1）n +1·n （n +1）.8.已知数列{a n }的通项a n =（n +1）（1110）n（n ∈N ）.试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.解：∵a n +1－a n=（n +2）（1110）n +1－（n +1）（1110）n =（1110）n ·119n -，∴当n ＜9时，a n +1－a n ＞0，即a n +1＞a n ； 当n =9时，a n +1－a n =0，即a n +1=a n ； 当n ＞9时，a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ； 故a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9=a 10＞a 11＞a 12＞…. ∴数列{a n }有最大项a 9或a 10，其值为10·（1110）9，其项数为9或10. 探究创新9.有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？解：设n 小时后的细胞个数为a n ，依题意得a n +1=2（a n －2），所以a n +1－4=2（a n －4）.又∵a 1=10，∴a n －4=（a 1－4）·2n －1=3·2n . ∴a n =3·2n +4，使3·2n +4=1540. ∴n =9. ●思悟小结1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式，如：数列{n 2}，{2n }，{（－1）n }，{2n }，{2n －1}，并了解a n =⎩⎨⎧ba为偶数为奇数n n ,的合一形式a n =2)1(11+-+n a + 2)1(1n-+b .2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论.3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法.（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.（2）数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中.●教师下载中心 教学点睛1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n 项和S n 之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，S n 和a n 的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用. 拓展题例【例1】 已知f （x ）=（x +2）2（x ≥0），又数列{a n }（a n ＞0）中，a 1=2，这个数列的前n 项和的公式S n （n ∈N *）对所有大于1的自然数n 都有S n =f （S n －1）. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =nn nn a a a a 12212+++（n ∈N *），求证∞→n lim （b 1+b 2+…+b n －n ）=1.分析：由于已知条件给出的是S n 与S n －1的函数关系，而要求的是a n 的通项公式，故关键是确定S n .解：（1）∵f （x ）=（x +2）2， ∴S n =（1-n S +2）2.∴n S －1-n S =2.又1a =2， 故有n S =2+（n －1）2=n 2， 即S n =2n 2（n ∈N *）.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n 2－2（n －1）2=4n －2； 当n =1时，a 1=2，适合a n =4n －2. 因此，a n =4n －2（n ∈N *）.（2）∵b n =n n n n a a a a 12212+++=1+121-n －121+n ，∴b 1+b 2+b 3+…+b n －n =1－121+n . 从而∞→n lim （b 1+b 2+…+b n －n ）=∞→n lim （1－121+n ）=1.【例2】 已知数列｛a n ｝中，a n ∈（0，21），a n ＝83＋21·a n －12，其中n ≥2，n ∈Ｎ*，求证：对一切自然数n 都有a n ＜a n ＋1成立.证明：a n ＋1－a n ＝83＋21a n 2－a n ＝21（a n －1）2－81.∵0＜a n ＜21，∴－1＜a n －1＜－21.∴81＜21（a n －1）2＜21. ∴21（a n －1）2－81＞0. ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1对一切自然数n 都成立.。

1+2+3+ +100=?
1
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
2
1. 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 2．正整数的倒数 1, 1 , 1 , 1 , 1
2345
3．1的正整数次幂：1, 1, 1, 1,… 4．无穷多个1排成一列数：1, 1, 1, 1,…
3.1 数列的概念与简单表示法 1、定义：按一定次序排列的一列数叫做数列
1
an1
(n
2, n N ).
答案：(1)an n2 2n 1
(2)an n
14
五、小结： 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式 3.已知前n项和求通项公式 4.由递推公式求数列的通项公式
15
练作习作业业
P31 习题2.1A组；
16
如 数列2可以记作
数列与函数
1 n
（1）数列的实质：从函数的观点看，数列可以
看作是一个定义域为正整数集 （或它的有限
子集{1，2，…，n}）的函数f(n)，当自变量从
小到大依 次取值时对应的一列函数值,
即 f(1),f(2),f(3),…f(n)…,通常用an代替f(n)。6
（2）．通项公式:an 与 n 之间的函数关系式 通项公式即相应的函数解析式an=f(n).
(n 1) (n 2)
1.若Sn=n2－1，求an 2.若Sn=2n2－3n，求an
1.a)
2.an＝4n 5
13
例3
分别求出满足下列条件的数列的通项公式。
(1)a1 0, an1 an (2n 1（) n N );
(2)a1
1, an
n