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4 判断数列的单调性 【例5】已知数列{an}的通项公式为 an＝n2n＋2 1，试判断该数
列的单调性．
[思路探索] 作差法，比较相邻两项an＋1与an的大小．
解 an＋1－an＝n＋n＋112＋2 1－n2n＋2 1 ＝n＋1[2nn＋2＋112＋－1n]2[n2n＋＋112＋1]
＝[n＋122n＋＋1]1n2＋1，
……
Sn-1表示前n-1项之和：Sn-1=a1+a2+…+an-1 Sn表示前n项之和：Sn=a1+a2+…+an. ∴当n≥1时Sn才有意义；
当n-1≥1即n≥2时Sn-1才有意义.
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3．Sn与an之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，S1=a1；
an=Sn-Sn-1，
即an
S1(n 1) Sn Sn1(n
(1)通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函 数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项 an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个 (或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
(2)如何用递推公式给出一个数列
用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列
∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；
当 b≠－1
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时，an＝32＋·3nb－，1，
n＝1， n≥2.
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练习．已知数列{an}的前An组项和专Sn项＝基n2－础9训n，练第 k 项满足 5<ak<8，
则 k 的值为________．
∵Sn＝n2－9n， 8
∴n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10， a1＝S1＝－8 适合上式，∴an＝2n－10 (n∈N*)， ∴5<2k－10<8，得 7.5<k<9.∴k＝8.
a 的第
n
1
项或前几项；②递推关系——数列an的任一项
an
与它的前一项 an－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可
以用一个公式来表示．
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题型一 根据递推关系求数列的项
例2 . 已知数列1｛an｝的第1项是1，以后的各项 由公式 an = 1+ an- 1 给出，写出这个数列的前5项.
解
:据题意可知：a1=1, a2 = 1+
1
1
= 1+ =
a1
1
2,
1
13
a3 = 1+
a2
= 1+
= 2
, 2
a4 =
1+
1 a3
=
1+
2= 3
5, 3
1
38
a5 =
1+
a4
=
1+
= 5
. 5
an 的前5项是:1,2, 3 , 5 , 8 .
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题型二 由递推关系式求数列的通项公式
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f x x2
连续的曲线
9
4
an n2
孤立的点
1
0 1 2020/4/5
2
34
5
63
5
做出常数数列：4,4,4,4,图象
4
是些孤立点
3
做出摆动数列：- 1，1，- 1，1，图象
2
1
0
1
2
3
4
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根据数列的前若干项写出的通项公式 的形式唯一吗？请举例说明。
以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · 为例
通项公式法: an=2n
列表法： n an
图象法：
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123 246
(n>1)
4 5… 8 10 …
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例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几
项分别是下列各数：
(1) 22 1 , 32 1 , 42 1 , 52 1; an 2345
n 1 2 Biblioteka n 1(2) 1 , 1 , 1 , 1 2 6 12 20
式就叫做这个数列的递推公式.
例如.已知数列{an}满足：a1 3,且 (初始条件)
an 2an1(n 2且n N * ) (递推关系式)
（1）递推公式也是给出数列的一种方法. （2）注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义.
（3）数列的递推公式和通项公式的异同点是什么？
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数列的递推公式
an
(1)n1 n(n 1)
(3) 9，99，999， 9(949)9,919，99191.，111，1111 ，
11111．
an 10n -1
an
1 9
(10n -1)
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1、递推公式：
如果已知数列an 的第1项（或前几项）， 且任一项 a n 与它的另一项ak（或另几项）之
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
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复习回顾:
1. 数列的定义： 按一定顺序排成的一列数叫做数列.
2.数列中的每一个数叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的首项，第2项，···，第n项， ···
数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，，an ，简记为{an}
3.数列的分类 有穷数列 无穷数列
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
例3. 数列{an}中, a1=2, nan+1=(n+1)an
(1)求{an}的前4项;
(2)猜想{an}的通项公式
a2
2 1
a1
4
a3
3 2
a
2
6
a4
4 3
a
3
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an 2n
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2．数列的前n项和：
数列{an}中，a1+a2+…+an称为数列的前n项和，记为Sn. S1表示前1项之和：S1=a1 S2表示前2项之和：S2=a1+a2
4. 数列的通项公式：
如果数列 an的第n项 an与项数n之间的关系可以用一个公式
an=f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
5 .数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集
{1,2,3,...n})为定义域的函数an=f(n)
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与函数一样，数列也可以用图象、列表等方法来表示
2)
当n≥2时，
说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一 种方法.
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例 4 已知下列数列{an}A的组前 n 专项项和 基Sn，础训练
求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当 b＝－1 时，a1 适合此等式； 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式．
