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体艺班二轮第十三讲 三角函数的概念与求值化简(2)

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第十三讲 三角函数的概念与求值化简（2）
一、要点扫描
1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程。
2、能利用已知条件,正确合理地运用三角恒等变形公式进行三角函数式的化简、求值及
恒等式证明。

二、课前诊断
1．若224sin2cos，则 sincos的值为

2.已知414tan,52tan，则4tan
3. 3tan 12°－3(4cos2 12°－2)sin 12°=

4. 函数xxxf2sin2242sin的最小正周期是
三、例题探究
例1.已知函数xxxxxf22cos3cossin32sin)(
(1)求函数)(xf的单调增区间？
(2)已知3)(f，且),0(，求的值
例2.已知向量1,cos51xa，xbsin,1其中x0。
（1） 若54ba，求xsin的值
（2） 若ba，求xxxxcossin12sintan1的值

例3．已知α、β都是锐角，且sin βsin α＝cos(α＋β)．
(1)求证：tan β＝tan α1＋2tan2 α；
(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值．
冲刺强化训练
班级 姓名 学号 日期

1.设2,54cos,53sin则的终边所在的象限是 象限

2.已知a是第二象限的角，4tan(2)3a，则tana ．
3.求值：0000tan20tan403tan20tan40 ．
4.若cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝－45，又β∈π，3π2，则cosβ2的值为
5．已知f(x)＝ 1－x，当θ∈5π4，3π2时，f(sin 2θ)－f(－sin 2θ)可化简为

6.若2cos2sin12sin2tan22xxxxxf，则12f的值是
7.若2cossincossin，则23sin5sin=
8.函数00552cos102sin2xxy的最大值为
9.已知4,2,1024cosxx.
（Ⅰ）求xsin的值；（Ⅱ）求32sinx的值.
10.已知sin,cosa，sin,cosb，552ba，
（1）求cos的值
(2)若202，且135sin，求sin的值

11.已知向量a＝(cos23x，sin23x)，b＝(2sin2cosxx，)，且x∈[0，2]．
（1）求ba
（2）设函数baxf)(+ba，求函数)(xf的最值及相应的x的值。
答案
1.21 2.223 3.34 4.

例1（1）函数)(xf的单调增区间Zkkk6,3
（2）3
例2（1）xsin=1
（2）154

例3（1） ∵tan β＝sin βcos β＝sin αcos(α＋β)cos β
＝sin α(cos αcos β－sin αsin β)cos β＝sin αcos α－sin
2
αtan β，

∴(1＋sin2 α)tan β＝sin αcos α，tan β＝sin αcos α1＋sin2α＝tan α1＋sin2 αcos2 α＝
tan α
cos2 α＋2sin2 α
cos2 α

＝tan α1＋2tan2 α.
(2)解：∵tan α＞0，tan β＞0
∴tan β＝11tan α＋2tan α≤122，

当且仅当1tan α＝2tan α，即tan α＝22时，
tan β
max
＝221＋2×12＝24.

∴tan(α＋β)＝22＋241－22×24＝324×43＝2.
1. 第四象限 2.21 3.3 4.－1010 5.2cos θ 6.8 7.103 8.1
9．解：（Ⅰ）因为43,2x，所以2,44x，于是

10274cos14
sin2xx

54221022210
27
4sin4cos4cos4sin44
sinsinxxxx

（Ⅱ）因为43,2x，故53541sin1cos22xx
2571cos22cos,25
24
cossin22sin2xxxxx

10.（1）53（2）6533

11.解：（I）由已知条件： 20x， 得：33(coscos,sinsin)2222xxxxab
22
33(coscos)(sinsin)2222xxxx

xxsin22cos22

（2）2sin23sin2cos23cossin2)(xxxxxxfxx2cossin2
23)21(sin21sin2sin222xxx，因为：2
0x
，所以：

1sin0x
所以，只有当： 21x时， 23)(maxxf，0x ，或1x时，1)(minxf

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高三数学 三解函数式的化简,三角函数式的求值,三角恒等式的证明。三角形中的求值与证明知识精讲

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高三数学三解函数式的化简，三角函数式的求值，三角恒等式的证明。

三角形中的求值与证明知识精讲一. 三角函数的化简1. 两角和与差的三角函数 cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin tan()tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=+-±=±±=±-；；12. 二倍角、半角的正弦、余弦、正切 sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan cos cos sin cos tancos cos cos sin sin cos 22221122212122122111122222αααααααααααααααααααααα==-=-=-=-=±+=±-=±-+=-=+；；；；；（右边的“”由所在象限决定±α2）。

3. 万能公式sin cos tan tan .αααα=+=-+==-21112212222tt t t t tt ；（其中）；4. 积化和差与和差化积[]sin cos sin()sin()αβαβαβ=++-12[][][]cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-=-+--121212；；；sin sin sincos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin .x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x y+=+--=+-+=+--=-+-222222222222；；；运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。

化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为： （1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。

2020高考数学第三章两角和与差的三角函数二倍角公式(第2课时)三角函数式的化简与求值课件

2020高考数学第三章两角和与差的三角函数二倍角公式(第2课时)三角函数式的化简与求值课件


[解析] (1)∵cosA＝35，0<A<π，∴A 为锐角，且 sinA＝ 1－cos2A＝45.又 sinB ＝153<sinA，∴B<A，
∴B 为锐角且 cosB＝ 1－sin2B＝1123. ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝6635.故选 D．
考点2 求值问题——多维探究
角度 1 给角求值 例 2 求下列各式的值．
(1)csions77°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°； (2)tan20°＋4sin20°.
[解析] (1)原式＝scions1155°°－－88°°＋－csoins1155°°ssiinn88°°
A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB
例 5 (1)设 A，B 是△ABC 的内角，且 cosA＝35，sinB＝153，则 sinC＝
( D)
A．6635或－1665
B．1665
C．1665或－6635
D．6635
(2)(2018·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A
＋C)，则△ABC的形状一定是
(D)
A．等边三角形
B．不含60°的等腰三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[ 分 析 ] (1) 由 sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinAcosB ＋ cosAsinB 知 求 sinA 、 cosB 即
可．(2)利用cos(B＋C)＝－cosA，sin(A＋C)＝sinB及两角差的正弦经公式求解．
解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α) ＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
高考总复习二轮理科数学精品课件 四、三角函数、三角恒等变换与解三角形

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③sin αcos
1
α=2sin
2α.
2
2
2
2
(3)升幂公式:①1+cos α=2cos ;②1-cos α=2sin ;③1±sin

2
α=(sin ±cos ) .
2
2
3.三角函数辅助角公式
asin x+bcos x=
2
+ 2 sin(x+φ),其中
a +b ≠0,sin φ=
2
π
T=||.
(3)对于y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)来说,其图象的对称中心与函数的零
点相联系,其图象的对称轴与函数的最值点相联系.
注意:几个快速判断三角函数性质的技巧(主要用在选择题).
①对称性:将对应的横坐标代入,求函数值是否为0或最值.
②单调性:将端点值代入,看整体在哪个范围内,和y=sin x或y=cos x比对比
下篇
四、三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.若
π
α∈(0,2 ),则
sin α<α<tan α.
2.三角变换的常用结论
(1)公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(2)降幂公式:①sin
②cos
2
1-cos2
α= 2 ;
2
1+cos2
α=
;
2
2

2 + 2
,cos φ=

2 + 2
.
4.三角函数的周期、图象的对称轴和对称中心
(1)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(A,ω,φ为常数,且
高考数学总复习教程第13讲 三角函数式的恒等变形

高考数学总复习教程第13讲 三角函数式的恒等变形

高考数学总复习教程第13讲 三角函数式的恒等变形一、本讲内容本讲进度，两角和与差的三角函数，倍角公式及相应变形要熟记并灵活运用，半角公式和差化积，积化和差等公式，来作为公式出现，不要求记忆，也应有所涉猎，三角函数的应用问题。

二、学习指导本讲公式较多，应搞清它们的来龙去脉和相互关系，以便于记忆和应用。

本讲的基础是两角和的余弦公式，在坐标平面的单位图中，利用α+β=α―(―β)，从而使（0，0）与（cos(α+β)，sin(α+β)）两点间距离等于（cos α，sin α）与(cos(―β)，sin(―β))两点距离，推导而得，以－β代β，即得两角差的余弦公式：利用诱导公式及余弦的两角和差公式，即可推出两角和，差的正弦公式；利用商数关系推得两角和、差的正切公式：在和角公式中，令β=α，即得倍角公式，由余弦的倍角公式，即得半角公式，（半角公式sin22θ=2cos 1θ-，cos 22θ=2cos 1θ+，tan 2θ=θθsin cos 1-=θθcos 1sin +应加记忆），把两角和、差的公式相加减，即得积化和差公式，在积化和差公式中进行变量代换：α=2v u +，β=2vu -，即是和差公积公式，两角和、差公式的另一个重要形式是asinx+bcosx=22b a +sin(x+ϕ)，其中tan ϕ=ab，（当然，根据需要，也可写为22b a +cos(x －ϕ)的形式）三、典型例题讲评例1．讨论函数f(x)=)24(cos )24cos(4)24sin(sin 2xx xx +--πππ－2cos 2tan 4cos 2x x x 的性质。

显然，要先进行化简，而化简过程中要注意“保真”即必须是恒等变形，任何微小差异都必须注明。

本题中，角各不相同，（计有x 、2x ，4π－2x ，4π+2x4种之多）函数名称不同。

第一步用商数关系进行切、弦互化这一步为恒等变形：f(x)=tan )24(x -π))2cos(1(2sin x x++π－2cos 2sin 4cos x x x ；第二步，诱导公工化去2π+x ，半角公式，把2x 向x 推进：f(x)=)2sin()2cos(1x x ---ππ－)1(2sin snx x -－x x sin 2cos .这一步亦为恒等变形，第三步，cos(2π－x)即sinx ，约去1－sinx ，这是否恒等变形？要看原式中sinx 对x 取值X 围没有影响：f(x)=x x cos 2sin －x x sin 2cos =xx2sin 2cos -=－cta2x ，至此，问题已大半解决了。