高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例

高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例

一、椭圆

1.椭圆的定义：

第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0

2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)

标准方程 22221(0)xyabab 22221(0)xyabba

图形

顶点 (,0)a,(0,)b (0,)a,(,0)b

对称轴 x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b

焦点

1(,0)Fc、2(,0)Fc 1(0,)Fc、2(0,)Fc

焦距 焦距为122(0),FFcc 222cab

离心率 eca (0

例1. F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( )

(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知ABC的周长是16，)0,3(A，B)0,3(, 则动点的轨迹方程是( )

(A)1162522yx (B))0(1162522yyx (C)1251622yx (D))0(1251622yyx

例3. 若F(c，0)是椭圆22221xyab的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F

点的距离等于2Mm的点的坐标是( )

(A)(c，2ba) 2()(,)bBca (C)(0，±b) (D)不存在

例4 设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( )

(A)32 (B)63 (C)22 (D)23

例5. P点在椭圆1204522yx上，F1、F2是两个焦点，若21PFPF，则P点的坐标是 .

例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .

(2)焦点坐标为)0,3(,)0,3(,并且经过点(2，1); .

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____.

(4)离心率为23，经过点(2，0); .

例7. 12FF、是椭圆2214xy的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则12||||PFPF的最大值是 ．

二、双曲线

1.双曲线的定义：

第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e叫做双曲线的离心率

例8 .命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a>0)；命题乙： 点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

例9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是（ ）

(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

例10. 过点(2，-2)且与双曲线1222yx有相同渐近线的双曲线的方程是( )

(A)12422yx (B)12422xy (C)14222yx (D)14222xy

例11. 双曲线221(1)xynn的两焦点为12,,FFP在双曲线上,且满足1222PFPFn,则12FPF的面积为( )

()1A 1()2B ()2C ()4D

例12 设ABC的顶点)0,4(A，)0,4(B，且CBAsin21sinsin，则第三个顶点C的轨迹方程是________.

例13. 根据下列条件，求双曲线方程:

⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(-3，32)；

⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32，2).

例14. 设双曲线2212yx上两点A、B，AB中点M（1，2）求直线AB方程；

注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）

三、.抛物线

1.抛物线的定义:

平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)

标准方程 22(0)ypxp 22(0)ypxp 22(0)xpyp 22(0)xpyp

图形

对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴

焦点 (,0)2pF (,0)2pF (0,)2pF (0,)2pF

顶点 原点(0,0)

准线

2px 2px 2py 2py

离心率 e1

注: 通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.

例15. 顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是( )

(A)x2=8y (B)x2= 8y (C)y2=8x (D)y2=8x

例16 抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )

(A)1716 (B)1516 (C)78 (D)0

例17. 过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )

(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条

例18. 过抛物线2yax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则11pq等于( )

(A)2a (B)12a (C)4a (D)4a

例19 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为( )

(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(21，1) (D)(0，0)

例20 动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .

例21 过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2＝_________.

例22 以抛物线xy23的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_____________.

例23. 过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的斜率的范围是 .

例24 设0p是一常数，过点(2,0)pQ的直线与抛物线22ypx交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。

(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上；

(Ⅱ)求圆H的面积最小时直线AB的方程.

四、求点的轨迹问题

如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。

因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限）、代、化.

例25. 已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足PMPN=12，则点P的轨迹方程为（ ）

22()116xAy 22()16Bxy 22()8Cyx 22()8Dxy

例26. ⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是( )