2、用导数求函数单调区间的步骤： 1.确定函数 y f (x) 的定义域.
2.求导 y' f ' x
3.解不等式 f ' ，x解集0 在定义域内的部分为递
增区间;
解不等式 f ' x ,0得函数递减区间.
一、创设情景
高台跳水：
h
最高点
h(t) 4.9t2 6.5t 10
o
a
t
2.跳水运动员在最高处附近的情况：
a 1,b 1 32
∴
f x 1 x3 1 x2 2x
32
函数极值与导数
函数极值的定义
求极值的步骤:1.求导 2.求极值点 3.列表 4.求极值
函数极值的求法
y
y
o x0
xo
x0
x
15
3
小结 : 求函数y f ( x)极值的步骤
① 确定函数的定义域； ② 求导数 f (x)
③ 求方程 f (x) =0的根,顺次将函数的定义域分成
若干个开区间，并列成表格
④ 检查 f (x) 在方程 f (x)＝0的根的左右两侧的 符号，确定极值点。 求导—求极值点—列表—求极值
练习2
求下列函数的极值:
空白演示
在此输入您的封面副标题
西双版纳州民族中学
张祖斌
复习
1、函数的单调性与其导函数的正负关系
在某个区间(a,b)内, 如果 f ( x) 0，那么函数y =f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f ( x) 0，那么函数y =f(x) 在这个区间内单调递减 如果 f (x) 0，那么函数y =f(x) 在这个区间内为常函数
(((点3思12(在变)4))的当考当当)t化=导h：导tatt，'>=(<附对t数a数a)a于时时于时近的是是h一运h，多符(h(有般t(动t先)t)少)的号的函员增呢单数单有距后？是调调什水减否性性么面，也是是高有变最h怎怎h(同度大a化'样)(样样最a。规的)的的大先律呢性呢，0正质？h？？h'后(吗t()t负)？在，此连续
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端 点不可能成为极值点。
【函数的极值与导数的关系】
点 x0是函数 y f (x) 的极值点需要的条件：
f ' (x0 ) 0且在x0的左右两侧导函数值异号 口诀：左正右负为极大，
左负右正为极小。 注：导数等于零的点不一定是极值点．
f(x0)=0 x0是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
课堂练习：
1、如果把上面函数图象改为导函数y f ' x 的图象?
y
y f ' x
x x3
a x1o x2 x4 x5 x6 b
典型例题 例题1:求
f
(x)
1
x f ( x) 1 x3 4x 4 的极值.
h'(a) 0
h
单调递增
h' (t) 0 ＋
单调递减
－ h' (t) 0
oa
t
t<a t=a t>a
h' (t) 先正后负
y
f (b) 0
y
f (x) 0
f (x) 0
f (x) 0
y f x
a
f (a) 0
ob
(图一)
x
e
y f x c d o f g
(图二)
hx
点a--极小值点,f(a)----极小值. 点b--极大值点,f(b)---极大值.
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.
注：极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
（1）极值是一个局部概念,仅对某一点的左右两侧邻域而言；
y
y f x
e cd o f g
hx
(图二)
（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间
上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
思考：已知函数 f x ax3 bx2 2x 在 x 2, x 1 处取得
极值， 求函数 f x 的解析式
解： f ' x 3ax2 2bx 2
∵ f x在 x 2, x 1 取得极值， ∴ f (2) 0, f (1) 0
即
12a 4b 2 0
3a
2b
2
0
解得
(1) f (x) x3 27x;
解: (1) 令f (x) 3x2 27 0,
解得 列表:
x1 3, x2 3.
x
(–∞,–3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3
(–3, 3)
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
