2018版高考数学大一轮复习第十三章鸭部分13.2不等式选讲第2课时不等式的证明教师用书文新人教版
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第2课时 不等式的证明
1．不等式证明的方法
(1)比较法：
①作差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，a
②作商比较法：
由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为作商比较法．
(2)综合法：
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
(3)分析法：
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．
(4)反证法和放缩法：
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．
②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．
(5)数学归纳法：
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当n＝n0时命题成立；
②假设当n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 精选中小学试题、试卷、教案资料
2．几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．
②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则－＋－＋－＋－≥－＋－.
④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a2＋…＋a2n)(b21＋b2＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(2)算术—几何平均不等式
若a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
1．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求m2＋n2的最小值．
解 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5.
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．
解 (a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．
∴(a＋b＋c)2≤3.故a＋b＋c的最大值为3.
3．设x>0，y>0，若不等式1x＋1y＋λx＋y≥0恒成立，求实数λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，
∴原不等式可化为－λ≤(1x＋1y)(x＋y)＝2＋yx＋xy.
∵2＋yx＋xy≥2＋2yx·xy＝4，当且仅当x＝y时等号成立．
∴1x＋1y＋min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
