上海市2021届高三数学二模试题(含解析)

2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D 2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 ． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 ． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 ． 12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 ．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 （用向量a 、b 表示）．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 米．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 （用含n 的式子表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x=的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 ．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2) 223134xxx x+>--⎧⎪+⎨-⎪⎩．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b aba ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a=+，23b=-．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，//CD AB，10AB=，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．23．（12分）如图，在ACB∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90ABC行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：324．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．25．（14分）如图，已知BAC ∠，且3cos 5BAC ∠=，10AB =，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且AQ BP x ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D【解答】解：A 、当0m <B 、当1m <-无意义，故此选项不符合题意；C 、当1m =-时，11m +无意义，故此选项不符合题意；D 、m故选：D ．2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-【解答】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得2(3)2y x =---， ∴顶点坐标为(3,2)-，故选：A ．3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是67.710-⨯．故选：C ．4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和(32)180180=-⋅︒=︒，若边数不变，则内角和(42)180360=-⋅︒=︒，若边数增加1，则内角和(52)180540=-⋅︒=︒，所以，所得多边形内角和的度数可能是180︒，360︒，540︒，不可能是270︒．故选：B ．5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 【解答】解：A 、3y x =图象过一、三象限，但y 值随x 值的增大而增大，故A 不符合题意； B 、2y x =图象不经过三象限，对称轴为y 轴，在第一象限内，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；C 、3y x=图象过一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，故C 符合题意； D 、1y x=-图象经过二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；故选：C ．6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【解答】解：E 是AC 中点，AE EC ∴=， DE EF =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD DB =，AE EC =，12DE BC ∴=， DF BC ∴=，CA CB =，AC DF ∴=，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= 2m n ．【解答】解：22232m n nm m n -=．故答案为：2m n ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 115x -+=，215x --= ． 【解答】解：去分母得：21x x x x +-=+， 解得：15x -±= 检验：把15x -±=代入得：左边=右边， 则分式方程的解为115x -+=，215x --． 故答案为：115x -+，215x --=． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 21x y =-⎧⎨=-⎩ ． 【解答】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩①②， 由②，得1x y =-③，把③代入①，得22(1)3y y --=，整理，得22y -=，解，得1y =-．把1y =-代入③，得2x =-．所以原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：21x y =-⎧⎨=-⎩． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是94k >- ． 【解答】解：根据题意得△234()0k =-->，解得94k >-． 故答案为94k >-． 11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 260(1)100x += ．【解答】解：依题意得：260(1)100x +=．故答案为：260(1)100x +=．12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 43 ．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，1302ABD ABC ∴∠=∠=︒，12BO BD =，BD AC ⊥． 在Rt ABO ∆中，cos BO ABO AB ∠=， 3cos 4232BO AB ABO ∴=⋅∠=⨯=． 243BD BO ∴==． 故答案为：43．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 25b a - （用向量a 、b 表示）．【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ．//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，DE BC ⊥，90DEB =︒∴四边形ABED 是矩形，2AD BE ∴==，4AB DE ==，5CD =，90CED ∠=︒， 2222543CE CD DE ∴=-=-=，∴2255BE BC b ==， //AB DE ，AB DE =，∴DE a =，25BD BE ED b a =+=-， 故答案为：25b a -．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14． 【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A 、B ，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是14， 故答案为：14． 15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 5.4 米．【解答】解：由题意得：AOC BOD ∠=∠．AC CD ⊥，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒．~ACO BDO ∴∆∆．∴AC OC BD OD=． 即1.826BD =． 5.4BD ∴=（米)．故答案为：5.4．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 2n （用含n 的式子表示）．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即212=⨯，623=⨯，1234=⨯，2045=⨯，⋯，∴(1)2n n n x ⨯+=，(1)n ． 所以21(1)(1)2n n n n n n x x n --⨯+⨯++==． 故答案是：2n ．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 545 ．【解答】解：如图，过D '作D E AD '⊥于点E ，过点B 作BF AB ⊥'于点F ，由题意得：10AD AD '==，6D E CD '==，6AB AB ='=，DAD BAB ∠'=∠'．63sin 105D E DAD AD '∠'==='， 3sin 5BAB ∴∠'=． ∴11354662255BAB S AB BF ∆'=⨯'⨯=⨯⨯⨯=． 故答案为：545． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x =的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 2y x =- ．【解答】解：点(6,2)E -在反比例函数k y x =的图象上， 6(2)12k ∴=⨯-=-，∴反比例函数为12y x=-， 如图，OE 顺时针旋转90︒，得到OD ，连接DE ，交OA 于F ，点(6,2)E -，(2,6)D ∴--，45AOE ∠=︒，45AOD ∴∠=︒，OD OE =，OA DE ∴⊥，DF EF =，(2,4)F ∴-，设直线DE 的解析式为y kx b =+，∴2662k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线DE 的解析式为152y x =-， ∴设直线OA 的解析式为y mx =，把F 的坐标代入得，42m -=，解得2m =-，∴直线OA 的解析式为2y x =-，故答案为2y x =-．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2)223134x x x x +>--⎧⎪+⎨-⎪⎩． 【解答】解：解不等式3(5)3(2)x x +>--，得： 2.5x >-，解不等式223134x x +-，得：20x ， ∴不等式组的解集为20x ．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a =23b = 【解答】解：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--2()[]()()()1a b b a b ab a b a b a b b -+=-⋅-+-- 1()1b ab a b a b b =-⋅--- 11b ab a b b -=⋅-- ab a b=-， 当23a =+，23b =-时，原式(23)(23)3(23)(23)232323+-====+--+-+． 21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，10AB =，以AB 为直径的O 经过点C 、D ，且点C 、D 三等分弧AB ．（1）求CD 的长；（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F ，求EF 的长．【解答】解：（1）AB 为直径，点C 、D 三等分弧AB ，∴60AD CD BC ===︒60AOD COD BOC ∴∠=∠=∠=︒．OC OD =，OCD ∴∆为等边三角形．152CD OD AB ∴===． （2）点E 是劣弧DC 的中点，∴DE EC =．AD BC =，∴AE BE =．OF CD ∴⊥．OC OD =，1302DOFDOC∴∠=∠=︒．在Rt ODF∆中，cosOF FODOD∠=．353cos5OF OD FOD∴=⋅∠=⨯=．5OE OD==，535EF OE OF∴=-=-．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：箱号每箱橘子的损耗重量（千克）箱号每箱橘子的损耗重量（千克）10.88110.77根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；（2）(8.578.15)(1020)100%8.36%+÷⨯⨯=．即估计这批橘子的损耗率为8.36%；（3）10000(18.36%)2100005000⨯--⨯=，x解得， 2.73x≈．答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．23．（12分）如图，在ACBABC∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：3【解答】（1）证明：四边形CBDE 是平行四边形， //DE BC ∴，90ABC ∠=︒，90AFD ∴∠=︒，DF AB ∴⊥，又D 为AC 的中点，AD BD ∴=，AF BF ∴=，即EF 垂直平分AB ；（2）证明：延长ED 交AB 于点F ，由（1）知，EF 垂直平分AB ，12DF BC ∴=， 四边形CBDE 是平行四边形，BC DE ∴=，32EF DF DE BC ∴=+=， BE 平分ABC ∠，45FBE ∴∠=︒，45FBE FEB ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=， 32BF BC ∴=， 23AB BF BC ∴==．24．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．【解答】解：（1）对于443y x =-+①，令4403y x =-+=，解得3x =，令0x =，则4y =， 故点A 、B 的坐标分别为(0,4)、(3,0)，由点A 、B 的坐标知，4OA =，3OB =，则5AB =， 连接BC ，如下图，点C 在ABO ∠的平分线上，则OC CD =，BC BC =，Rt BCD Rt BCO(HL)∴∆≅∆，故3BD OB ==，则532AD =-=，设OC CD x ==，则4AC x =-，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，解得32x =， 故点C 的坐标为3(0,)2， 则抛物线的表达式为21322y x =+； （2）如上图，过点C 作//CH x 轴交AB 于点H ，则ABO AHC ∠=∠， 由AB 得表达式知，4tan tan 3ABO AHC ∠==∠，则3tan 4ACH ∠=， 故直线CD 的表达式为3342y x =+②， 联立①②并解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D 的坐标为6(5，12)5， 如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则//DE y 轴，且DE CF =， 故125D DE y ==， 则123395210F C y y DE =+=+=， 故点F 的坐标为39(0,)10； （3）点E 是BO 的中点，故点3(2E ，0)， 由（2）知，直线CD 的表达式为34y x m =+③， 联立①③并解得，点D 的坐标为4812(25m -，3616)25m +， 而点E 、C 的坐标分别为3(2，0)、(0,)m ， CEDF 是菱形，则DE CE =， 即22224812336163()()()252252m m m -+-+=+， 即29360m m -=，解得4m =（舍去）或0，故0m=．25．（14分）如图，已知BAC∠，且3cos5BAC∠=，10AB=，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ BP x==，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在MPB∠的边上，求AQ的长．【解答】解：3cos5A=，则4sin5A=．（1）当点E在AC上时，则90AQP∠=︒，AQ PB x==，则10AP AB PB x=-=-，则3 cos105AQ xAAP x===-，解得154x=；（2）如图1，过点Q作QH AP⊥于点H，P经过D、M两点，则PQ PD PB AQ x====，∴点H是AP的中点，则622cos 5AP AH x A x ===， 则6105AB AP PB x x =+=+=， 解得5011x =， 即正三角形PBM 的边长为5011；（3）①当点E 在PC 边上时，如图2，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，作PQ 的中垂线交QH 于点G ，交PQ 于点N ， 则180180456075QPA MPB QPE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则907515HQP ∠=︒-︒=︒，则15230HGP ∠=︒⨯=︒， 在Rt PHQ ∆中，设PH t =，则2GQ GP t ==，3GH t =，423sin 5QH t t x A x ∴===，解得5(23)t =+ 则31055(23)AP AH PH PB x x =++==+， 解得100253x +=； ②当点E 在AB 边上时，如图3，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，则3sin5PH QH AQ A x===，3cos5AH x A x==，PH AH∴>，即点P在BA的延长线上，与题意不符；综上，100253 AQ+=．。

2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.若集合(),1A =-∞，()0,B =+∞，则A B = ___________.2.复数2z i =-，则z =___________.3.直线l 的参数方程为2,12,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩R ，则直线l 的斜率为___________.4.()1012x +的二项展开式中,2x 项的系数为___________.5.若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为___________.6.函数()1lg f x x =+的反函数是1()f x -=___________.7.设,,,a b c d ∈R ，若行列式12903ab cd =，则行列式a bc d的值为___________.8.已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，从集合A 中任取一个元素a ，使函数ay x =是奇函数且在()0,+∞上递增的概率为___________.9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57S S =，且238a a +=，则2limnn S n →∞=__________.10.已知点P 为正ABC ∆边上或内部的一点，且实数,x y 满足2AP xAB y AC =+，则x y -的取值范围是___________.11.设点P是曲线y =(0,F，)A满足4PF PA +=，则点P 的坐标为___________.12.函数()()cos 0,Z f x x x ωω=>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.“0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.下列不等式恒成立的是（）A.x y x y +≥-B.x +>C.12x x+≥ D.x y x y x y++-≤+15.上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22C ︒.立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（）A.总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒B.总体均值为25C ︒，总体方差大于20C ︒C.总体中位数为23C ︒，众数为25C︒ D.总体均值为25C ︒，总体方差为21C︒16.记函数()11,y f x x D =∈，函数()22,y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有()()21f x f x ≤成立，则称函数()1f x 包裹函数()2f x .判断如下两个命题真假①函数()1f x kx =包裹函数()2cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意0p >，()()12f x f x p -<对任意x D ∈都成立，则函数()1f x 包裹函数()2f x ；则下列选项正确的是（）A.①真②假B.①假②真C.①②全假D.①②全真FED 1C 1B 1A 1DCBA 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F .（1）求证：平面BDE ∥平面11B D F ；（2）连结1B D ，求直线1B D 与平面BDE 所成的角的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin cos f x t x x =+，其中常数t R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，b =，()2f A =，求当t =ABC ∆的面积.北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin5方向，且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记AMB ∠为观测角.（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角AMB ∠的大小；（精确到0.1︒）.（2）为了确保观测质量，要求观测角AMB ∠不小于45︒，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8.椭圆Γ上有两点,P Q ，连结,OP OQ ，记它们的斜率为 , OP OQ k k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；（3）设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ分别与直线x =交于点,M N ，若PQR ∆和PMN ∆的面积相等，求点P 的横坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+，对一切*n ∈N 都成立.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若存在一个非零常数*T ∈N ，对于任意*n ∈N ，n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，T 是一个周期.（1）求2a 、3a 所有可能的值，并写出2022a 的最小可能值；（不需要说明理由）（2）若0n a >，且存在正整数(),p q p q ≠，使得p a q与q a p均为整数，求p q a +的值；（3）记集合*{0,}n S n S n ==∈N ，求证：数列{}n a 为周期数列的必要非充分条件为“集合S 为无穷集合”.y参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分1.()0,12.3.24.1805.12π6.110x -7.38.389.12-10.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.,44⎫⎪⎪⎝⎭12.29π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13.A 14.B 15.D 16.D三、解答题17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,2,1,0,4,0,1,4,1,1,2B D E B D F （2分）()10,1,2DE FB ==-∴DE∥1FB 同理BD ∥11B D （2分）平面BDE 与平面11B D F 不重合，∴平面BDE 与平面11B D F 平行.（2分）（2）同（1）建系设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2x y z ==不妨取1z =，则()2,2,1n =（4分）又()11,1,4DB =-设直线1B D与平面BDE所成的角为θ故11sin9n DBn DB⋅θ===（2分）直线1B D与平面BDE所成的角为arcsin9.（2分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）()sin cosf x t x x=+，x∈RⅠ0t=时，()cosf x x=()()()cos cosf x x x f x-=-==∴偶函数（2分）Ⅱ0t≠时， ()010f=≠∴不是奇函数（2分）1 , 122f t f tππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22f fππ⎛⎫⎛⎫≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不是偶函数（2分）∴函数()f x非奇非偶函数；（2）由t=，()2f A=cos2A A+=，因为2a b=<=，所以0,2Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin16Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，3Aπ=（4分）由2222cosa b c bc A=+-，解得12c±=（2分）1sin28ABCS bc A∆==.（2分）北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则()()()0,2,4,3,1,0A B M ，则()1,2MA =- ,()3,3MB =（2分）10cos 10MA MBAMB MA MB⋅∠==（2分）故观测角71.610AMB ∠=≈︒（2分）（2）设()(),0 0M x x >①4x =时，tan 2AM B ∠=，arctan 245AMB ∠=>︒（2分）②4x ≠时，2MAk x =-，34MB k x=-2460MA MB x x ⋅=-+>，AMB ∴∠为锐角,设tan y AMB=∠()2238464614x x x y x x x x --+-∴==-+--（2分）当4x =时，2y =符合上式，综上28, 046x y x x x +=>-+45A M B ∠≥︒ ，1y ∴≥整理得2520x x --≤（2分）502x +<≤所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.（2分）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由已知条件，设椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，则 4c a ===（2分）椭圆Γ：221164x y +=（2分）（2）设()()1122,,,P x y Q x y 则121214OP OQy yk k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()22222222121212384OP OQ x x y y x x ∴+=+++=++（2分）222222121212444416x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得221216x x +=（2分）代入()22221238204OP OQ x x +=++=，为定值.（2分）（3）由椭圆的对称性可知，()22,R x y --()211121:PQ y y l y y x x x x --=--，()211121:RP y yl y y x x x x +-=-+，故()211121Ny y y y x x x -=+--，()211121M y yy y x x x +=+-+，于是()2122111222112PMN M N x y x y S x y y x x x ∆-=-⋅-=-（2分）又1122122112101PQR OPQ x y S S x y x y x y ∆∆===-（2分）代入PQR PMN S S ∆∆=，再将222116x x =-代入得()2211162x x -=-.若()2211162x x -=-，化简得2113320x-+=，方程无解；若()2211216x x -=-，化简得211640x +-=解得：14x =（4-+舍去）∴点P横坐标为4.（2分）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）2 1 , 3a =-；3 3 , 1 , 5a =-（2分）()()()20222021min max 1202024041a a =-=-+⨯=-；（2分）（2）首先证明：pa q 和q a p 中至少一个等于1.（2分）反证法：设pa q 和qa p 都大于等于2，则212212p q q p-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即212212p q q p -≥⎧⎨-≥⎩，相加得20-≥，矛盾！（2分）所以pa q 和qa p 中至少一个等于1.不妨设1qa p=，则211q p -=，即21p q =-那么214334pa p q q q q q--===-，所以83,5,15p q q p a a +====.（2分）（3）非充分：取数列{}n a 如下：11a =，23a =，33a =-，1(1)(4)n n a n -=-≥.数列{}n a 满足条件，且对一切*N ,2n n ∈≥，均有20n S =，但不为周期数列；（3分）必要性：已知数列{}n a 为周期数列，设正整数T 为其一个周期.分如下三步证明1下证：若01n a =-，则00n S =；若数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+由22112()n n n n a a a a ++-=+可得：221144(1)(1)n n n n S S a a ++-=+-+所以2n ≥时：22212111444444(1)(1)4(1)n n n n n S S S S S S a a a -=-++-+=+-++=+ 1n =时，21144(1)S a ==+，即对一切*n N ∈，24(1)n n S a =+（2分）利用上式可知：0021(1)04n n S a =+=.（1分）2下证：若1(3)n a n =≥，则11n a -=-；由条件：1n n a a -=-，或12n n a a -=-可得：11n a -=-.1分3由11a =，21a =-或23a =，可知，周期2T ≥.由11kT a +=，且13(*)kT k N +≥∈，由②可知1kT a =-，由①可知0kT S =，所以，对一切*k N ∈，kT S ∈，即集合S 为无穷集合.1分。

2021届上海市普陀区高三二模数学试题一、单选题1．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b --> B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >【答案】D【分析】利用作差法逐项进行判断即可.【详解】A ．因为()()22222222b a b a b a a b a b a b---+--==，+a b 的正负无法确定，故错误； B ．因为11b aab ab----=，ab 的正负无法确定，故错误； C ．因为()()22a b a b a b -=+-，+a b 的正负无法确定，故错误；D ．因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2230,024b b a b a ⎛⎫->++> ⎪⎝⎭ ，所以330a b ->，所以33a b >，故正确，故选：D.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.2．设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是（ ）A ．()4,0±B ．()3,0±C ．(0,5)±D ．()0,4±【答案】B【分析】确定双曲线的焦点位置，求出c 的值，即可得出双曲线的焦点坐标. 【详解】716m <<，则160m ->，70m -<，所以，双曲线的标准方程为221167x y m m -=--，所以该双曲线的焦点在x 轴上，且216a m =-，27b m =-，则3c =， 因此该双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B.3．设,αβ是两个不重合的平面，,l m 是两条不重合的直线，则“//αβ”的一个充分非必要条件是（ ）A ．l ⊂α，m ⊂α且l β//，//m βB ．l ⊂α，m ⊂β，且//l mC ．l α⊥，m β⊥且//l mD ．//l α，//m β，且//l m【答案】C【分析】根据线面垂直的性质和面面平行判定定理的推论，可得由C 项的条件能证出//αβ，由面面平行判定定理和空间线面位置关系，对A 、B 、D 各项的条件加以推理，可得都有可能,l m 平行于,αβ的交线，得它们不正确.【详解】对于A ，若l α⊂，m α⊂且l β//，//m β，若,l m 是平行直线，则它们可能都平行于,αβ的交线，所以A 不正确； 对于B ，l ⊂α，m ⊂β，且//l m ，可得,l m 都平行于,αβ的交线，所以B 不正确；对于C ，l α⊥且//l m ，可得m α⊥，再由m α⊥，m β⊥，得到//αβ， 所以l α⊥，m β⊥且//l m 是//αβ的一个充分非必要条件，所以C 正确； 对于D ，由//l α，//m β，且//l m ，可能有,l m 都平行于,αβ的交线，所以D 不正确； 故选：C.【点睛】关键点点睛：该题给出几个位置关系的条件，求能使//αβ的一个充分条件，正确解题的关键是要明确面面平行的判定定理.4．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-， 所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示， ①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x fx f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>， 即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>， 所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.二、填空题5．设全集U ={}1,0,1,2-，若集合{}1,0,2A =-，则UA___________．【答案】{1}【分析】根据集合的补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，全集U ={}1,0,1,2-，集合{}1,0,2A =-， 根据集合补集的概念及运算，可得{1}UA =.故答案为：{1}. 6．若复数2iz i+=（i 表示虚数单位），则Im z =__________． 【答案】2-【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后可直接判断出z 的虚部.【详解】因为()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，所以z 的虚部为2-， 所以Im 2z =-， 故答案为：2-. 7．函数1y x x=的零点为___________． 【答案】1【分析】令10y x ==求解.【详解】令10y x ==1x=，两边平方得：()310x x =>，解得1x =，所以函数1y x=的零点为1. 故答案为：1.8．曲线24y x =的顶点到其准线的距离为__________． 【答案】1【分析】根据抛物线的定义求出顶点坐标和准线方程，求出其到准线的距离即可. 【详解】因为曲线24y x =，所以其顶点为(0,0)，准线方程为：1x =-， 所以曲线24y x =的顶点到其准线的距离为1， 故答案为：1.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，正确解题的关键是要理解抛物线的性质，明确抛物线的顶点和焦点坐标. 9．若cos()13πθ+=，则cos θ=__________．【答案】12【分析】根据cos cos()33ππθθ=+-，利用两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为cos()13πθ+=，所以sin()03πθ+=，所以cos cos()33ππθθ=+-cos()cos sin()sin 3333ππππθθ=+++1102=⨯+12=. 故答案为：1210．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______. 【答案】12π【分析】棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是2r r ==∴球的表面积是4212ππ⨯⨯=.故答案为：12π.11．设8(21)x -280128a a x a x a x =++++，则128a a a +++=___________．【答案】0【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0128a a a a ++++的值，由此可计算出128a a a +++的值.【详解】令0x =，所以()8011a -==， 令1x =，所以2818011a a a a +++=+=，所以128110a a a +++=-=，故答案为：0.【点睛】方法点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种处理二项展开式相关问题的比较常用的方法.对形如()()()2,,,nnax b ax bx ca b c R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和、系数的绝对值之和等，可通过令0,1x =±求得相关式子的值，然后求解出结果.12．设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，则公比q =_________．【答案】12【分析】根据无穷等比数列的求和公式和极限的运算公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，可得1111li +131m 1n n a S S a q q→∞=+=+-=-，解得12q =. 故答案为：12.13．设x 、y 均为非负实数且满足0220x y x y -≤⎧⎨+-≤⎩，则3x y -的最小值为__________．【答案】3-【分析】根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数3x y -的最小值.【详解】记3z x y =-，由条件可知,x y 满足：02200,0x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：由图可知，当直线3z x y =-经过点A 时，此时纵截距最大，所以z 有最小值，又0220x x y =⎧⎨+-=⎩，所以01x y =⎧⎨=⎩，所以()0,1A ，所以min 0133z =-⨯=-， 故答案为：3-.【点睛】思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤： （1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起；（3）通过平移直线确定出直线纵截距取最值时直线所过可行域内的点的坐标，从而目标函数最值可求.14．某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为____________（结果用最简分数表示）． 【答案】47【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为114327124217C C P C ===. 故答案为：47. 15．设(),M x y 是直线3x y +=上的动点，若12x ≤≤值为_________．【分析】233xy =+-32t ⎤=⎥⎦，分析函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32⎤⎥⎦上的单调性，求出()max f t ，即可得解.【详解】211x y x y =+++-3333x y x y xy xyxy +=++-=+-=+-，令32t ⎤===⎥⎦， 设()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，()1g t t t=+32t ≤≤， 任取1t 、232t ⎤∈⎥⎦且12t t<1232t t ≤<≤，所以，()()()()12121212121221121111t t g t g t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212121t t t t t t --=，12322t t ≤<≤，则120t t -<，121t t >，()()12g t g t ∴<，所以，函数()1g t t t =+在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以，函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2max 6332962232222f t f-⎛⎫-∴==+-+== ⎪ ⎪⎭，所以，11x y y x +-+的最大值为63632-=-. 故答案为：63-. 【点睛】关键点点睛：本题求解代数式最值的求解，解题的关键就是将代数式平方后，利用换元法将代数式的最值转化为函数的最值来处理. 16．如图，在△ABC 中，2C π=，3AC =，1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:1【分析】根据已知的向量关系先分析出120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒，然后通过设OCB θ∠=，根据相似三角形以及正弦定理找到,,OA OB OC 的关系，从而可求解出::OA OB OC 的结果.【详解】因为0OA OB OC OAOBOC++=，所以OA OB OC OAOBOC=+，所以22OA OB OC OA OB OC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以111211cos ,OB OCOB OC=++⋅⋅⋅<>，所以,1cos 2OB OC OB OC <>=-，所以120,OB OCOB OC<>=︒，即120BOC ∠=︒，同理可知：120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒， 不妨设OCB θ∠=，所以60OBC θ∠=︒-， 又因为2C π=，3AC =，1BC =，所以2,60AB ABC =∠=︒，所以()6060OBA θθ∠=︒-︒-=，所以18012060OAB θθ∠=︒-︒-=︒-，所以AOBBOC ，所以AO BOBO CO=，所以2OA OC OB ⋅=； 在BOC 中，sin sin sin BC OB OCBOC OCB OBC==∠∠∠，所以()1sin120sin sin 60OB OC θθ==︒︒-，所以23sin 3OB θ=， 又在AOB 中，sin sin OB ABOAB AOB=∠∠，所以()2sin 60sin120OB θ=︒-︒，所以()43sin 603OB θ=︒-， 所以()2343sin sin 60θθ=︒-，所以()sin 2sin 60θθ=︒-， 又因为()sin sin 60OB OC θθ=︒-，所以2OB OC=， 又因为2OA OC OB ⋅=，所以4OAOC=， 所以::4:2:1OA OB OC =. 故答案为：4:2:1.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到,,BOC AOB AOC ∠∠∠的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的O 点要注意和“内心”作区分.三、解答题17．如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径．点C 位于底面圆周上，且90BOC ∠=．异面直线PA 与CB 所成角的大小为60．（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角P BC O --的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）83π；（2）3arccos（或写成arctan 2）． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据异面直线PA 与CB 所成角的大小为60求解出圆锥的高OP ，再根据圆锥的体积公式求解出其体积；（2）根据空间直角坐标系，分别求解出平面PBC 和平面OBC 的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC O --的大小.【详解】解：（1）设圆锥的高为h ．以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．根据题设条件，可得(2,0,0)C 、(0,0,)P h 、(0,2,0)A -、(0,2,0)B ．(0,2,)PA h =--，(2,2,0)CB =-由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60， 得01cos602PA CB PA CB⋅⨯===，解得2h =． 圆锥的体积V =211822333Sh ππ=⨯⨯⨯=． （2）方法一：由（1）知()()()0,0,2,0,2,0,2,0,0P B C , 所以()0,2,2PB =-，()2,2,0BC =-， 设平面PBC 一个法向量为(),,m x y z =，所以00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00y z x y -=⎧⎨-=⎩，令1x =，所以()1,1,1m =，取平面BCO 一个法向量为()0,0,1n =， 所以cos ,13m n m n m n⋅<>===⋅ 结合图形可知二面角P BC O --为锐二面角， 所以二面角P BC O --的大小为arccos3； 方法二：取BC 的中点D ，连接OD 、PD ． 由OB OC =，得ODBC ；再由PB PC =，得PD BC ⊥．所以PDO ∠即为二面角P BC O--的平面角．PO ⊥圆锥的底面，所以PO OD ⊥，故POD 为直角三角形．在△POD 中，12OD BC==2PO =，故tan PDO ∠PO OD==即PDO ∠=P BC O --的大小为【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 18．设函数()()2log 0f x x x =>的反函数为()1f x -．（1）解方程：()()220f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数．当01x <<时，()()1g x f x -=，试求()2log 10g 的值．【答案】（1）原方程的解集为{}2；（2）()28log 105g =-． 【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当01x <<时，()2xg x =，通过计算得出()22258log 10log log 85g g g ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.【详解】（1）()()()22220log 22log 0f x f x x x +-=⇔+-=，则()222log 2log x x +=即220x x --=，解得2x =或1-．由20x x +>⎧⎨>⎩可得0x >，2x ∴=，所以，原方程的解集为{}2； （2）()2log f x x =，其中0x >，令2log y x =，可得2y x =，即()12x f x -=，所以当01x <<时，所以，()2xg x =，由于()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有()()2g x g x +=，()()g x g x -=-．342102<<，则23log 104<<，故()()()222225log 10log 104log 10log 16log 8g g g g ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 又因为15128<<，所以251log 08-<<，故28log 522588log log 2855g g ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()28log 105g =-. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.19．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为iA （1,2,3,4i =），1230A A =米，214120A A A ∠=，D 为对角线24A A 和13A A 的交点．他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 相交于1A 、另一段弧与34A A 相交于3A ，这两段弧恰与24A A 均相交于D ．设12A A D θ∠=．（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S ．对于条件（1）中的L ，当11320.12S LA A S -<时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由． 【答案】（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析． 【分析】（1）在△124A A A 中，根据正弦定理求出1423A A A ∠=公式可求出结果；（2）利用余弦定理求出1A D ，可得13A A ，利用三角形面积公式和扇形的面积公式求出1S ，2S ，可得1132||S LA A S -，再通过近似计算可得答案. 【详解】（1）根据题设条件，可得在△124A A A 中，24122A A A A =．由正弦定理，得2412214142sin sin A A A A A A A A A A =∠∠，即142123sin sin 234A A A π∠==．所以1423arcsinA A A ∠=，所以3arcsin 3πθ=-， 所以12260L A A θθ=⋅==360arcsin 3π⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭≈36米． 答：甬路L 的长约为36米．（2）由（1）得60L θ=，在△12A A D 中，由余弦定理，得21221800180303023030c cos 0os A D θθ=+-⨯⨯⨯=-，所以13022cos A D θ=-， 故13A A =6022cos θ-，所以13LA A =22cos θ-，2112002930S θθ==⨯⨯，2914303000(2s )sin 90n 0i 2S θθθθ=⨯⨯⨯-=-，故122sin S S θθθ=-， 当3arcsin34πθ=-时，0.11810.122sin 22cos θθθθθ-≈<--．所以此人的设计是“用心”的．【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、余弦定理、弧长和扇形的面积公式、三角形的面积公式求解是解题关键.20．已知曲线Γ：223412x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点．（1）求△12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）1)y x =+；（3）存在；4(,0)19M -． 【分析】（1）根据椭圆方程求出,a c ，再根据椭圆的定义可求出结果；（2）圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），根据弦长求出r ，再根据直线l 与圆2F 相切可出k ，从而可得直线l 的方程；（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，满足题意，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理求出AB 的中点坐标，利用AB 的中垂线方程求出M ，再根据点到直线的距离公式求出点M 到直线l的距离，再根据tan MAB ∠=可求出结果. 【详解】（1）根据题设条件，可得22143x y +=，故2a =，根据椭圆定义，可知12||||24AF AF a +==，1c =，12||22F F c ==，由12126AF AF F F ++=，得△12F AF 的周长为6．（2）设圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），令0x =，得y =，故=r = 由l 与圆2F 相切，得2(1,0)F 到直线l ：(1)y k x =+的距离d ==k =故直线l的方程为1)y x =+．（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 并整理，得2222(34)84(3)0k x k x k +++-=，42226416(34)(3)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>，令11(,)A x y ，11(,)B x y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，AB ==2212(1)34k k++， 121212(1)(1)()2y y k x k x k x x k +=+++=++2228623434k kk k k=-+=++， 故线段AB 的中点C 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段AB 中垂线1l 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =，得0x =2234k k -+，点M 22,034k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭到直线l的距离d =， 又因为||||MA MB =，所以tan 12d MAB AB ∠===2212(1)1034k k ++，k =，解得24k =，故4(,0)19M -．所以在x 轴上是否存在一点4(,0)19M -，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=. 【点睛】关键点点睛：设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），利用直线l 的方程与椭圆方程联立求出AB 的中点坐标，再根据AB 的中垂线方程得到M ，再根据点M 到直线l的距离与tan MAB ∠=建立方程求出2k 是解题关键， 21．记实数a 、b 中的较大者为max{,}a b ，例如{}max 1,22=，{}max 1,11=．对于无穷数列{}n a ，记{}212max ,k k k c a a -=（*N k ∈），若对于任意的*N k ∈，均有1k k c c +<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列{}n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②sin 2n n a π=； （2）设首项为1的等差数列{}n a 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列{}n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n d 满足1d 、2d 均为正实数，且21n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0．【答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）12d <-；（3）证明见解析．【分析】（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”可得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=，①若12S S ≥，推出1d ≤-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”； ②若12S S <，推出112d -<<-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”，由此可得结果；（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.【详解】（1）①中，由2121102k k a --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22102k k a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得14kk c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（k 为正整数），因为11131044414k k kk k c c ++⎛⎫⎛-⎫=-⎝⎛⎪⎫-=⎝ < ⎪⎭⎪⎝⎭⎭，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.②中，由121(1)k k a +-=-，20k a =，所以0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），因为3210c c =>=，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”，得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=． ①若12S S ≥，则212S S a -==10a d +≤，即10d +≤，也即1d ≤-， 此时{}n a 为递减数列，故230n a a a ≥>>>>．所以1234n S S S S S ≥>>>>>，故21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件． ②若12S S <，则20a >，则10d +>，即1d >-， 由{}{}112234max ,,c S S c S S =>=得23S S >， 则3320a S S =-<，则120a d +<， 即120d +<，解得12d <-，所以112d -<<-．此时{}n a 为递减数列， 所以1230n a a a a >>>>>>， 所以1234n S S S S S <>>>>>，所以当2k ≥且*k N ∈时，21211k k k k c S S c -++=>=，又12c c >， 所以21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件， 由①②可得，12d <-． （3）先证明必要性：用反证法．假设存在正整数m (3)m ≥，使得0m d =，21||0m m m d d d --=-=，令12m m d d a --==， 因为120,0d d >>，且21n n n d d d ++=-，所以0n d ≥，故0a ≥， 则数列{}n d 从1m d -项开始以后的各项为,,0,,,0,a a a a ，则当211k m -≥-时，212max{,)k k k c d d a -==，所以12122max{,}k k k c d d a +++==， 所以1k k c c a +==，与{}n d 是“趋势递减数列”矛盾． 故假设不成立，故{}n d 的项中没有0. 再证明充分性：由21n n n d d d ++=-，得{}21max ,n n n d d d ++<，因为{}n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0n d ≠．于是230k d +≠（k 为正整数），所以2122k k d d ++≠，①当2122k k d d ++>时，{}{}1212221212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， ②当2122k k d d ++<时，{}{}1212222212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， 所以均有1k k c c +<，故{}n d为“趋势递减数列”的充要条件是数列{}n d的项中没有0．【点睛】关键点点睛：理解并运用“趋势递减数列”的定义求解是解题关键.第 21 页共 21 页。

2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分，满分54分）1.（4 分）已知 zi = l+z', Z2=2+3Z',求 zi+z2=.2.（4 分）已知 A={x|2xWl}, B={-1, 0, 1},贝i| .3.（4分）若^+y2 -2x~ 4y=0,求圆心坐标为 .4.（4分）如图正方形ABCD,求百.5.（4 分）已知f（x）+2,则广1 （1） =.x6.（4分）已知二项式（x+a） 5展开式中，x2的系数为80,则a=.x<37.（5分）已矢小2x-y-2》o, z=x-y,则z的最大值为 .3x+y-8》08.（5分）已知{a”}为无穷等比数列，671=3, S的各项和为9, bn=ain,则数列化”}的各项和为.9.（5分）己知圆柱的底面圆半径为1,高为2, AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 .10.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A, B, C, D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为.11.（5分）已知抛物线y2=2px（p>0）,若第一象限的A, B在抛物线上，焦点为F, |时| =2,|BF|=4, |AB|=3,求直线AB的斜率为.12.（5 分）已知 a庭N* （z=l, 2,…，9）对任意的k€N* （2WZW8）, ak=ak-l+]或破=ak+i - 1中有且仅有一个成立，ai—6, <29=9,则ai+---+a9的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y= - 3xB. j=x3C. y=log3xD. y=3xx=3t~4t314.（5分）已知参数方程< * 二_, re[-i, 1],以下哪个图符合该方程（）.y=2tVl-t2三、解答题17. （14 分）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2, 441=3.(1) 若F 是棱A L D I 上的动点，求三棱锥C-PAD 的体积;(2) 求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小.18. （14 分）在△ABC 中，已知 Q =3, b=2c.（1）若 A = 求 S/VlBC.(2) 若 2sinB - sinC= 1,求 C MBC .19. (14分)已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增 长4%.A. C. 15. （5 分） 已知 f （x ） =3sinx+2,对任意的 xi£[O,=2/-(x+0) +2成立，则下列选项中，。

2022届上海市金山区高三数学二模试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{1,3,0}A =-，2{3,}B m=，若B A ⊆，则实数m 的值为．2．已知(1i)2i z +=(i 为虚数单位)，则z=．3．已知等比数列{}n a 各项均为正数，其中11a =，2312a a +=，则{}n a 的公比为．4．4(12)x -的二项展开式中2x 项的系数为．(结果用数字作答)5．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则顶点A 到平面11BB D D 的距离为．6．不等式组3,+0,40x y x y x -⎧⎪⎪⎩+⎨表示的平面区域的面积等于．7．已知向量(sin 2,2cos )a x x =，)b x = ，则函数()1f x a b =⋅- ，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为．8．将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为．(结果用最简分数表示)9.过抛物线22y px =(0p >)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若||||8AF BF ⋅=，则p 的值为．10.已知平面向量OA 、OB 满足||||1OA OB == ，若关于x 的方程1||4x OA OB ⋅-= 有实数解，则△AOB面积的最大值为．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231n n S a =-(*n ∈N )，函数()f x 定义域为R ，对任意x ∈R都有1()(1)1()f x f x f x ++=-.若(2)1f =，则2022()f a 的值为．12．设()sin f x a x =+，若存在12π5π,,,,36n x x x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使121()()()()n n f x f x f x f x -+++= 成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是_______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设,m n ∈R ，则“0m n ⋅<”是“方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线”的()．(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件14．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为()．(A )若m ∥α，n ∥α，则m ∥n (B )若m α⊥，n α⊥，则m ∥n (C )若m ∥α，m ∥β，则α∥β(D )若m α⊥，αβ⊥，则m ∥β15．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是()．(A )所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业(B )该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%(C )估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时(D )估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间16．对于定义在D 上的函数()y f x =，若同时满足：(1)对任意的x D ∈，均有()()0f x f x -+=；(2)对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，且21x x ≠-，使得1122()()f x x x f x -=-成立，则称函数()y f x =为“等均”函数.下列函数中：①()f x x =；②1()1x f x x -=+；③2()f x x =；④()sin f x x =，“等均”函数的个数是()．(A )1(B )2(C )3(D )4三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，SA ⊥平面ABCD ，1SA BC ==，2AD =，AB =．(1)求四棱锥S ABCD -的体积；(2)求直线BS 与平面SCD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知02sin b A =，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若33c a =+，证明△ABC 是直角三角形.19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月(30天)内的日销售量()m t (百件)与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310…30日销售量()m t （百件）236.5…16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润1()f t (元)与时间第t 天的函数关系式为1()388f t t =-+(115t ，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润2()f t (元)与时间第t 天的函数关系式为2600()2f t t=+(1630t ，且t 为整数).(1)现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+(k b 、为常数)；②()t m t b a =⋅(a b 、为常数，0a >且1a ≠).分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R .(1)求△12PQ F 的周长；(2)当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；(3)记△11F Q R 与△22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最大值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于集合123{,,,,}n A a a a a = ，2n 且*n ∈N ，定义{|},A A x y x A y A x y +=∈+∈≠且.集合A 中的元素个数记为||A ，当(1)||2n n A A -+=时，称集合A 具有性质Γ.(1)判断集合1{1,2,3}A =，2{1,2,4,5}A =是否具有性质Γ，并说明理由；(2)设集合{1,3,,}B p q =(,p q ∈N ，且3p q <<)具有性质Γ，若B B +中的所有元素能构成等差数列，求p 、q 的值；(3)若集合A 具有性质Γ，且A A +中的所有元素能构成等差数列，问：集合A 中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．0；2．1i+；3．3；4．24；5．；6．25；7．6π,3π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；8．19；9．2；10．18；111-；12．151773,,1416167⎡⎫⎛⎤----⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．C；14．B；15．D；16．B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)1(2212)S=+⨯=梯形.………2分又SA⊥平面ABCD，所以1133122V S h⨯==⨯⋅=梯形.………5分即四棱锥S ABCD-的体积为2.………6分(2)以A为原点，射线AB、AD、AS分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(BS=，(0,2,1)SD=-，(CD=.………8分设(,,)n u v w=是平面SCD的一个法向量，则由0n SD⋅=,0n CD⋅=，得20,0,v wv-=⎧⎪⎨+=⎪⎩取v=n=.………11分设直线BS与平面SCD所成的角为θ，向量BS与n所成的角为ϕ，则|||cos |248||si |n |BS n BS n θϕ⋅====⨯⋅ ，………13分3arcsin8θ∴=.故直线BS 与平面SCD 所成角的大小为3arcsin8.………14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由正弦定理可知，sin sin a bA B=，2sin 0b A -=,2sin sin B A A ∴=，………2分又在△ABC 中，sin 0A >，2sin B ∴=，即sin 2B =，………5分B 为锐角，π3B ∴=．………6分（2）33c a =+ ，∴由正弦定理得：1sin sin sin sin 32C A B A =+=+，………8分又()πA B C =-+，π111sin sin cos sin 32222C C C C ⎛⎫∴=++=++⎪⎝⎭，即11sin cos 222C C -=，π1sin 32C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，………11分2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，故可得ππ36C -=，………13分即π2C =，∴△ABC 为直角三角形．………14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)若选择模型（1），将()1,2以及()3,3代入可得233k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()322t m t =+，经验证，符合题意；………2分若选择模型（2），将()1,2以及()3,3代入可得323b a b a ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得62a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()26632t m t ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，………4分当10t=时，()1012.4m ≈，故此函数模型不符题意，………5分因此选择函数模型（1），其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）………6分(2)记日销售利润为y ，当115t 且t 为整数时，()()()2133793881322222t y m t f t t t t ⎛⎫=⋅=+⋅-+=-++ ⎪⎝⎭，对称轴796t =，故当13t =时，利润y 取得最大值，且最大值为392（百元）………9分当1630t 且t 为整数时，()()23600900230322ty m t f t t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1630t 时，利润y 单调递减，故当16t=时取得最大值，且最大值为375.25（百元）………12分所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型．………14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：(1)由椭圆的定义知，12||||4PF PF +=，1112||||4Q F Q F +=，………2分故△12PQ F 的周长为8.………4分(2)因1(1,0)F -、2(1,0)F ，故3(1,)2P 、23(1,)2Q -，直线1PF 的方程为3(1)4y x =+.………6分联立223(1),41,43y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或13,79,14x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1139(,)714Q --.………8分从而，直线12Q Q 的方程为33(1)210y x +=--，即310120x y ++=.………10分(3)设00(,)P x y (00x >，00y >)、111(,)Q x y 、222(,)Q x y .设直线1PF 的方程为1x ty +=，其中001x t y +=.联立221,1,43x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690t y ty +--=.………11分则20012220099343(1)4y y y t x y --==+++.又2200143x y +=，即2203412x y +=，故00012200009933(1)4126352y y y y x y x x ---===+++++.同理，00022200009933(1)4126352y y y y x y x x ---===-+-+-.于是21211221Q F F Q F F S S S S ∆∆-=-00001221212000331211||||||||225252254y y x y F F y F F y x x x =⋅-⋅=-=-+-.………13分又2222220000000025925254(34)41243x x y x x y y =-=+-=+，故00212512254x y S S x -==-,………15分当且仅当220092543x y =，即53417x =，34y =时等号成立.故21S S -的最大值为435.………16分另解：令02cos x θ=，0y θ=，π02θ<<，则00212222012122cos 2542516co s 25sin n cos 9cos x y S S x θθθθθθθ⋅=+-==--.5=.………15分当且仅当2225ns si 9co θθ=，即3tan 5θ=.故21S S -的最大值为435.………16分21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：(1)11{3,4,5}A A +=，11||3A A +=，故集合1A 具有性质Γ.………2分22{3,5,6,7,9}A A +=,2243||52A A ⨯+=<，故集合2A 不具有性质Γ.………4分(2)因集合B 具有性质Γ，故||6B B +=，{4,1,1,3,3,}B B p q p q p q +=+++++.(i)若41133p q p q p q <+<+<+<+<+，则13,2(1)4(1),2(1)(1)(3),q q p q q p p +<+⎧⎪+=++⎨⎪+=+++⎩解得4,5.p q =⎧⎨=⎩………6分经检验，符合题意.故p ，q 的值分别为4，5.………7分(ii)若41313p p q q p q <+<+<+<+<+，则31,2(1)4(3),2(3)(1)(1),q q p p p p q +<+⎧⎪+=++⎨⎪+=+++⎩解得5,9.p q =⎧⎨=⎩………9分经检验，符合题意.故p ，q 的值分别为5，9.………10分(3)不妨设1231n n a a a a a -<<<<< ，则在集合A A +中，121321n n n n a a a a a a a a --+<+<<+<+ .又A A +中的所有元素能构成等差数列，设公差为d ，则131212()()()()n n n n d a a a a a a a a --=+-+=+-+，即3212n n d a a a a --=-=-，故3221n n a a a a --+=+.当5n >时，2a ，3a ，2n a -，1n a -是集合A 中互不相同的4项，从而(1)||2n n A A -+<，与集合A 具有性质Γ矛盾.………13分当5n =时，3242a a a =+，即2a ，3a ，4a 成等差数列，且公差也为d ，故A A +中的元素从小到大的前三项为12a a +，13a a +，14a a +，………14分且第四项只能是15a a +或23a a +.(i)若第四项为15a a +，则1415a a d a a ++=+，从而5432a a d a a -==-，于是5234a a a a +=+，故(1)||2n n A A -+<，与集合A 具有性质Γ矛盾.………15分(ii)若第四项为23a a +，则1423a a d a a ++=+，故122a d a +=.另一方面，4512()()9a a a a d +-+=，即517a a d =+.于是1512342723a a a d a d a a +=+=+=+，故(1)||2n n A A -+<，与集合A 具有性质Γ矛盾.………16分因此，4n .由(2)知，4n =时，存在集合A 具有性质Γ，………17分故集合A 中的元素个数存在最大值，最大值为4.………18分另解：当5n =时，3242a a a =+.若此时集合A 具有性质Γ，对集合A A +的所有元素求和，则有1234512454()5()a a a a a a a a a ++++=+++，化简，得2415a a a a +=+，故(1)||2n nA A-+<，与集合A具有性质Γ矛盾.………16分第7页共6页。

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。

20XX 年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第7部分:立体几何一、选择题：15．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试文科）如右图，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是下列各图中的（ B ）．15、（上海市奉贤区20XX 年4月高三质量调研理科）已知一球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π,则线段AB 的长度为（ C ）（A ） 1 （B ）3 （C ） 2 （D ） 2316、（上海市长宁区20XX 年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试理科) 四棱A ．俯视主视左视俯视主视左视俯视主视左视B ．C ．D ．第17题图锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD内的轨迹一定是（ B ）17. (上海市普陀区20XX 年高三第二次模拟考试文科) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）A ．33；B ．3；C ．3；D ．3.17．(上海市松江区20XX 年4月高考模拟文科)三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( A ) A ．4 B ．6 C ．8 D ． 1014．（上海市闸北区20XX 年4月高三第二次模拟理科）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 A 】[AB CDC.AB CDA.AB CDB.ABCDD.15．（上海市浦东新区20XX 年4月高考预测理科）“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的 （ C ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15. （20XX 年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（B ）.(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件 二、填空题：6．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为（结果保留π）．10．（上海市卢湾区20XX 年4月高考模拟考试理科）如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为 （结果保留π）．128π7[第1010、在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成的角是________________。

2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）1.下列计算正确的是（）A。

1-1=-1B。

1+1=2C。

(-1)-1=-2D。

(-1)×(-1)=12.如果关于x的方程x²-6x+m=0有实数根，那么m的取值范围是（）A。

m>9B。

m≥9C。

m<9D。

m≤93.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（）A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限4.对于等边三角形，下列说法正确的为（）A。

既是中心对称图形，又是轴对称图形B。

是轴对称图形，但不是中心对称图形C。

是中心对称图形，但不是轴对称图形D。

既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5.某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，2，2，3，4，3.那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A。

2.5与1.5B。

2与1.5C。

2.5与2D。

2与66.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离。

下列判断正确的是（）A。

①是真命题，②是假命题B。

①是假命题，②是真命题C。

①、②都是真命题D。

①、②都是假命题二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.化简：|4-7|÷|3-6|=1/3.8.计算：x÷(x²-x)=1/(x-1)。

9.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域为(-∞,1]∪[3,∞)。

10.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小。

11.方程组2x-3y=7，3x+2y=1的解为x=-5，y=-9.12.从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是1/3.13.为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计。