无穷级数中的柯西定理和黎曼定理

无穷级数中的柯西定理和黎曼定理
在《微积分》（上册）第364页上提到柯西定理和黎曼定理，它们说的是绝对收敛级数与非
绝对收敛级数（即条件收敛级数）各自的特性或两者的区别。设有级数

121`nn
nuuuu




而它对应的绝对值级数为
121`nn
nuuuu




令2nnnuup，2nnnuuq，因为0nnpu，0nnqu，所以若级数1`nnu
收敛，则正项级数1nnp和1nnq都收敛（比较判别法），从而级数

1111()nnnnnnnnnupqpq



也收敛。此时，称1nnu的收敛性为绝对收敛。
其次，若级数1`nnu发散，但级数1`nnu收敛，则后者的收敛性称为非绝对收敛或条件收
敛。此时，1nnp和1nnq都发散，（反证法）譬如若1nnp收敛，根据111nnnnnnupq，
则1nnq也收敛，从而1`1`1`nnnnnnupq也收敛，这与1`nnu发散的假设矛盾。
现在，设有收敛的任意项级数
121`nn
nuuuuS



（★）

用任意方式重新配置级数（★）的项的次序（即用任意方法交换它的项的次序），得到新的级数
121`kk
kuuuu






（★★）

原来级数的每一项都不遗漏也不重复出现在新级数中，而新级数各项也都是原级数中的项（没有
添加新的项），并且认为新级数的项ku对应原级数的项记为knu。
现在所要讨论的问题是：（1）级数（★★）是否仍收敛？（2）若收敛，它是否仍收敛于级数
（★）的和数s？在讨论这两个问题时，必须把级数的绝对收敛与非绝对收敛（即条件收敛）区
别开来。
柯西定理 若级数（★）绝对收敛，则任意交换它的项的次序后重新得到的级数（★★）仍
收敛，而且和数不改变。换句话说，绝对收敛级数具有任意项之间的可交换性。
证 首先假设级数（★）是正项收敛级数(0)nu。因为级数（★★）的部分和1`Kkku单调
增大有上界S，所以级数（★★）收敛，并且和1`limKkKkSuS；另一方面，对于级数（★）
的部分和1`Nnnu，取K足够大，使1`Kkku包含项12,,,Nuuu，则1`1`KNknknuu，先让K，
再让N，则得SS，因此，SS
其次，假若（★）是任意项的绝对收敛级数，其中nnnupq，当用任意方式重新配置级
数（★）的项的次序时，得到的新级数（★★）的项kkkupq，根据上面所证，1kkp和1kkq

都收敛，而且11knknpp，11knknqq。因此，

1111111()kkknnnnnkkknnnnupqpqpqu





即用任意方式重新配置级数（★）的项的次序时，得到的新级数（★★）仍收敛且和数不改变。
黎曼定理 若级数（★）条件收敛（即非绝对收敛），则适当交换它的项的次序，可使它收敛
到预先给定的任何数值，也可使它发散到或。

证 因为级数（★）条件收敛，所以1nnp和1nnq（但是，0np，0nq）。

与开始采用的记号略有不同，下面不妨认为0,0nnpq，即级数1nnp和1nnq中已经删除
了那些值为零的项（这不影响它们的敛散性）。现在，对于预先给定的数值T（不妨认为0T），
首先取级数1nnp前面若干项，使

112npppT【但1
121npppT

】

再接着取级数1nnq前面若干项，使

11112()()nmppqqqT【但11
1121()()nmppqqqT

】

再接着取级数1nnp中剩下项的前面若干项，使

1112
111()()()nmnnppqqppT

【但11121111()()()nmnnppqqppT】

再接着取级数1nnq中剩下项的前面若干项，使

111212
1111()()()()nmnnmmppqqppqqT

【但11121211111()()()()nmnnmmppqqppqqT】
重复以上方法，一直继续下去，则得到一个新级数
111212
1111()()()()nmnnmmppqqppqq


它的部分和数列在数值T左右摆动，而且与T的偏差的绝对值逐渐趋于零，所以它收敛于T；又
因为每个括号内各项都是正数，则去掉括号后的级数

111212
1111nmnnmmppqqppqq

（★★★）

的部分和介于前者两个部分和之间，所以去掉括号后的级数仍收敛且也收敛于T。级数（★★★）
的每一项都是原来级数（★）的项，这就证明了黎曼定理的前一个结论。

其次，凭借1nnp和1nnq，并用上面同样的方法，只要适当调换级数（★）
的项的次序，就可以证明黎曼定理的后一个结论。