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第三章Cauchy定理Cauchy积分12()()()111.nk kk nk k k k S f z f z z ζζ=−==Δ=−∑∑复变函数积分设复变函数f (z ) 在复平面上的曲线C 上有定义，在C 上任选n ─ 1个点z 1, z 2, …, z n -1把C 分为n 段。
ζk 是(z k -1, z k )内任意一点，作如下求和：10定义3.2 如果函数()z ϕ的导数等于()f z ，即有'()()z f z ϕ=，则称()z ϕ为()f z 的一个原函数．可以证明函数如果()f z 在区域B 上解析，则0()()d zz F z f ξξ=∫也在B 上解析，且有'()().F z f z =故0()()d zz F z f ξξ=∫是()f z 的原函数．1112'')()()(())CDl l D C dz f z dz f f z dz f z dz z z d +++++∫∫∫∫∫v v 12)()()l l z dz f z dz f z dz ++∫∫v v例3.3 计算积分()nlI z dz α=−∫v ，其中n 为整数. 15解: 若回路 l 不包含α, 则被积函数在整个回路内部是解析的,积分等于零; 若l 包含α, 但是0n ≥, 则被积函数在整个l 内部解析, 因而积分为零; 对于l 包含α，且0n <的情况, 我们总可以在l 内部找到一个以为α圆心, 以r 为半径的圆周C . 在C 上，i z reθα−=. 且:()()()21(1)00, for 1,2, for 1.nnn in i lCCn i n I z dz z dz r e d re n ired i n θθπθαααθπ++=−=−=+≠−⎧==⎨=−⎩∫∫∫∫v v vThe End25作业(3)P682, 6, 9, 10, 1426。
叙述并证明cauchy积分公式Cauchy积分公式是复变函数分析中的重要定理之一，它描述了沿着闭合曲线的路径上的积分与曲线内部的解析函数之间的关系。
本文将叙述并证明Cauchy积分公式。
Cauchy积分公式的叙述部分，可以按照以下格式进行书写：【叙述部分】设Γ是某条闭合曲线，f(z)是在Γ内部解析的复变函数，z_0是Γ内的任意点。
那么Cauchy积分公式可以表述为：∮_Γ f(z) dz = 2πi * f(z_0),其中∮_Γ表示沿着曲线Γ的路径的积分，f(z)是函数在Γ内的取值，dz代表路径的微元，2πi是圆周率与虚数单位i的乘积。
【证明部分】为了证明Cauchy积分公式，我们可以借助于格林公式。
格林公式又称为柯西-里曼公式，它是复分析中的另一个重要定理，描述了解析函数的积分与边界上函数的取值之间的关系。
根据格林公式，对于任意解析函数f(z)，在Γ所围成的区域内，我们可以表示为：∮_Γ f(z) dz = ∬_D (∂f/∂x - i∂f/∂y) dx dy,其中D表示由Γ所围成的区域，(∂f/∂x - i∂f/∂y)为f(z)的复共轭导数。
由于f(z)在Γ内部解析，那么根据柯西-里曼方程，我们有：∂f/∂x = -i∂f/∂y,代入格林公式中，可以得到：∮_Γ f(z) dz = ∬_D -2i (∂f/∂y) dx dy.又根据Cauchy-Riemann方程，我们有∂f/∂y = i∂f/∂x，所以上述等式可以进一步变为：∮_Γ f(z) dz = -2i∬_D (∂f/∂x) dx dy.现在我们需要证明，当z_0在Γ内部时，沿着Γ的路径积分∮_Γ f(z) dz等于2πi乘以函数f(z_0)的值。
为了证明这一点，我们可以选择一个特殊的曲线C，将其选取为以z_0为圆心，半径为r的圆。
在这个圆C内，函数f(z)是解析的。
由于f(z)是解析函数，根据柯西积分定理，我们有：∮_C f(z) dz = 0.将这个积分展开，可以得到：∮_C f(z) dz = ∫_0^2π f(z_0 + re^(iθ)) i re^(iθ) dθ = 0,其中θ是角度参数。
