福建省厦门双十中学2015届高考数学热身试卷文(含解析)

- 1 - 福建省厦门双十中学2015届高考数学热身试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）

A． {﹣1，0，1，2，4} B． {﹣1，0，2，4} C． {0，2，4} D． {0，1，2，4}

2．（5分）如果（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（）

A． 1 B． ﹣1 C． 2 D． 0

3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）

A． B． C． ln（a﹣b）＞0 D． 3a﹣b＜1

4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）

A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

5．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）

A． B． C． D．

6．（5分）已知命题p：∀x∈R，ex＞0命题q：∃x∈R，x﹣2＞x2，则（）

A． 命题p∨q是假命题 B． 命题p∧q是真命题

C． 命题p∧（¬q）是真命题 D． 命题p∨（¬q）是假命题

7．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（） - 2 - A． B． C． D．

8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值是（）

A． 1 B． 4 C． D． 0

9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，三个视图都为直角三角形，其中主视图是以2为直角边的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A． 16π B． 9π C． 8π D． 4π

10．（5分）已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量．若向量与向量的夹角是，且acosB+bcosA=csinC，则A﹣B的大小为（）

A． ﹣ B． C． D． 0

11．（5分）如图，，，，，若m=，那么n=（）

- 3 - A． B． C． D．

12．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）

A． （0，2] B． [1，2] C． [1，+∞） D． [2，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

13．（4分）过抛物线y=x2上一点P（，）的切线的倾斜角为．

14．（4分）已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=．

15．（4分）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．

16．（4分）设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，∃y∈D，使=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，已知四个函数：

①y=x3（x∈R）；

②y=（）x（x∈R）；

③y=lnx（x∈（0，+∞））；

④y=2sinx+1（x∈R），

上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知等差数列{an}中，其前n项和Sn=n2+c（其中c为常数），

（1）求{an}的通项公式；

（2）设b1=1，{an+bn}是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．（12分）某环保部门对甲、乙两类A型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下（单位：g/km）．

甲 80 110 120 140 150

乙 100 120 x y 160

经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为=120g/km． - 4 - （Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超过130（g/km）的概率是多少？

（Ⅱ）若90＜x＜130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．

19．（12分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期是π，其图象的一条对称轴是直线x=，又锐角三角形ABC中，满足f（C）=﹣

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若tanA﹣=tanB，求角A．

20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中（如图），底面ABCD是直角梯形，M为PC中点，且AB∥DC，又∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．

（Ⅰ）求证：CD∥平面MAB；

（Ⅱ）求三棱锥M﹣PAD的体；

（Ⅲ）若点K线段PA上，试判断平面KBC和平面PAC的位置关系，并加以证明．

21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点（1，）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C的两条切线交于点M（4，t），其中t∈R，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆+=1上的点（x0，y0）处的椭圆切线方程是+=1，证明直线AB恒过椭圆的右焦点F2；

（Ⅲ）试探究+的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．

22．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（x＞0，a∈R，b∈R），e=2.718…，为自然对数的底数．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0，求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）当b=1时，若f（x）的极大值大于零？求出a的取值范围；

（Ⅲ）证明命题“已知h（x）在其定义域D上是单调递增函数，若∃x0∈D，满足h（h（x0））=x0，则h（x0）=x0”是真命题，并探索：当a＞0，b=1时，函数y=f（f（x））﹣x是否存在大于1的零点． - 5 -

福建省厦门双十中学2015届高考数学热身试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）

A． {﹣1，0，1，2，4} B． {﹣1，0，2，4} C． {0，2，4} D． {0，1，2，4}

考点： 并集及其运算．

专题： 集合．

分析： 求出集合A，然后利用并集的求法，求解即可．

解答： 解：集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，

集合B={0，2，4}，

则A∪B={﹣1，0，1，2，4}．

故选：A．

点评： 本题考查并集的定义以及求解，基本知识的考查．

2．（5分）如果（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（）

A． 1 B． ﹣1 C． 2 D． 0

考点： 复数代数形式的乘除运算．

专题： 计算题．

分析： 把给出等式的左边变形为a+bi（a，b∈R）的形式，然后运用复数相等的概念求m．

解答： 解：因为，

而（m∈R，i表示虚数单位），

所以，m=1．

故选A．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．

3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）

A． B． C． ln（a﹣b）＞0 D． 3a﹣b＜1

考点： 对数函数的单调性与特殊点．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 不妨令a=2，b=1，带入各个选项检验，可得结论．

解答： 解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确， - 6 - 故选：A．

点评： 本题主要考查不等式与不等关系，运用了特殊值代入法，属于基础题．

4．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）

A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

考点： 程序框图．

专题： 算法和程序框图．

分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=103时，不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．

解答： 解：执行程序框图，可得

k=1，s=1

满足条件s＜100，s=4，k=2；

满足条件s＜100，s=22，k=3；

满足条件s＜100，s=103，k=4；

不满足条件s＜100，退出循环，x=8，输出x的值为8．

故选：D．

点评： 本题主要考查了程序框图和算法，准确判断退出循环时k的值是解题的关键，属于基础题．

5．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）

A． B． C． D．

考点： 几何概型．

专题： 概率与统计．

分析： 根据正方形的面积介于36cm2与81cm2之间可知边长介于6到9之间，再根据概率公式解答即可

解答： 解：如图所示

当M点位于6到9之间时，正方形的面积介于36cm2与81cm2之间， - 7 - 所以所求概率为 ．

故选B

点评： 此题考查了几何概型的概率公式，将AB间的距离分段，利用符合题意的长度与AB的长度比即可，属于基础题

6．（5分）已知命题p：∀x∈R，ex＞0命题q：∃x∈R，x﹣2＞x2，则（）

A． 命题p∨q是假命题 B． 命题p∧q是真命题

C． 命题p∧（¬q）是真命题 D． 命题p∨（¬q）是假命题

考点： 复合命题的真假．

专题： 简易逻辑．

分析： 先判断出两个命题的真假，再由复合命题的真假判断规则进行判断即可得出正确选项．

解答： 解：因为命题p：∀x∈R，ex＞0是真命题，

而命题q：∃x∈R，x﹣2＞x2，是假命题，

由复合命题的真值表可知命题p∧（¬q）是真命题．

故选：C．

点评： 本题考查复合命题的真假判断规则，熟练掌握真假的判断规则是解答的关键．

7．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）

A． B． C． D．

考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．

解答： 解：由于f（x）=x+cosx，

∴f′（x）=x﹣sinx，