第3讲 有理数培优讲义

学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。

以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。

2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。

3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。

4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。

5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。

6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。

二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。

2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。

3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。

4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。

5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。

三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。

2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。

3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。

4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。

5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。

四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。

2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。

3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。

五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。

2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。

3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。

4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。

通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。

内容 基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。

1． 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

CAB cba（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形DCB A（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：知识点睛中考要求勾股定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222在中如果那么是直角三角形。

∆+=∆,,ABC AC BC AB ABC4．勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 【解析】可知三边为345，，，所以周长为12 【答案】12【例2】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【解析】勾股数中只有唯一的一组:6,8,10. 【答案】6，8，10【例3】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长. 【解析】①当两直角边为3和4时，第三边长为2234255+==；②当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为22437-=.【答案】5或7【例4】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【解析】由勾股定理可知：大于【答案】大于【例5】 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为 【解析】由()()()222512130a b c -+-+-=，得51213a b c ===，，，得三角形ABC 是直角三角形，所以高为6013【答案】6013【例6】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为CBA例题精讲【解析】设BC x =米，则()8AC x =-米，因为6AB =米，根据勾股定理可得：()22268x x +=-，解答74x =，故折断点C 到旗杆底部的距离为74米 【答案】74【例7】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【解析】由题意得，10cm AF AD ==. 在ABF ∆中，应用勾股定理得， 6cm BF =.所以1064FC BC BF =-=-=.在CEF ∆中，应用勾股定理，设cm EC x =，得 ()22284x x -=+. 解得3x = 即3cm EC =. 【答案】3cm【例8】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【解析】可设CD x =，那么8BD x =-，DE x =，4BE =，所以()22248x x +=-，所以3x =【答案】3cm【例9】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【例10】 如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.ED CBA【解析】设DE x =.由AE BC ⊥于点E 可知:22222AB BE AE AC CE -==-.又∵12=10=8==5AB BC AC BD CD =，，，，∴222212585x x -+=--（）（）， 解得=4x ，即4DE =.【答案】4【例11】 某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=o ，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200m AB =，100m CD =，求AD 、BC 的长（精确到1m1.732≈）.DBAEDBA【解析】延长AD 、BC 交于点E ，在Rt ABE ∆中，60A ∠=o ，则30E ∠=o ， 由200m AB =，得400m AE =，从而BE ==在Rt CDE ∆中，∵30E ∠=o ，100m CD =， ∴200m CE =，从而DE ==， ∴AD AE DE =-400=-227≈m ，BC BE CE =-200=146≈m.【答案】227146AD m BC m ==，【例12】 已知钝角三角形的三边为2、3、4，求该三角形的面积．432ACBD432ACB【解析】过点A 作AD BC ⊥于D ，设CD x =，利用勾股定理()22222234AD x x =-=--，解得118x =，AD =．点评：这类题目（含锐角三角形）除了构造直角三角形，也可以用海伦公式：已知三角形的三边为a 、b 、c ，令2a b cp ++=，三角形的面积为S =．对于钝角三角形和锐角三角形的问题，通常采取“特殊处理”，即通过作高利用直角三角形的知识来解决问题．【例13】 如图，M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在AC ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，AP与BQ 的数量关系并证明你的结论．QPMCBA【解析】222PQ AP BQ =+．延长QM 到N ，使MN QM =，连结AN 、PN ． 显然PMQ PMN ∆∆≌，AMN BMQ ∆∆≌ ∴PN PQ =，AN BQ =，MBQ MAN ∠=∠ ∵90CAB ABC ∠+∠=︒∴90PAN PAM MAN ∠=∠+∠=︒ ∴APN ∆为直角三角形． ∴222PQ AP BQ =+．NABCMPQ【答案】见解析【例14】 如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AB AC =，E 、F 为BC 上的点，且45EAF ∠=︒，求证：222EF BE FC =+．F E C B ADF E CB A【解析】过点A 作线段AD ，使CAF BAD ∠=∠，且AD AF =．在ACF ∆和ABD ∆中，AC AB CAF BAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF ABD ∆∆≌ ∴CF BD =，DBA FCA ∠=∠90DBE DBA ABE FCA ABE ∠=∠+∠=∠+∠=︒ 在ADE ∆和AFE ∆中，45AE AE EAF EAD AD AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ADE AFE ∆∆≌ ∴ED EF =在Rt BDE ∆中，222DE BD BE =+，∴222EF BE FC =+．【答案】见解析【例15】 在ABC ∆中，90,,A AB AC D ∠==o 为斜边上任一点，求证：2222BD CD AD +=.DC BA D'DCBA【解析】将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90o，得ACD '∆.∴,,AD AD BD CD BAD CAD '''==∠=∠.∵90,A AB AC ∠==o ，∴45B ACB ACD '∠=∠=∠=o ，90DAD '∠=o . ∴90DCD '∠=o ，∴222DD AD '=.∴22222CD CD DD AD ''+==， 即2222BD CD AD +=.【答案】见解析【例16】 已知ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高为12，求ABC ∆的面积.DCBA【解析】设AD 是BC 边上的高，由勾股定理得222256BD AB AD =-=，∴16BD =.22281CD AC AD =-=， ∴9CD =.（1）若C ∠为锐角，如图所示， 则25BC BD CD =+=.∴11502ABC S BC AD ∆==g .（2）若C ∠为钝角，如图所示， 则7BC BD CD =-=，∴1422ABC S BC AD ∆==g .即ABC ∆的面积为150或42.DCBADCBA【答案】ABC ∆的面积为150或42【例17】 已知Rt ABC ∆斜边AB 的长为5cm 2，两直角边的差为1cm 2，求三角形的周长及斜边上的高.【解析】由条件可设()51,22c a b a b =-=>，∵()222a b ab c -+=，∴3ab =.又∵()222c a b ab =+-，∴72a b +=. 从而三角形的周长为57622+=cm .由三角形的面积公式可得1122ab AB CD =g ，解得65CD =cm .【答案】65CD =【例18】 如图，ON 是垂直于地面OM 的前面，AB 是一根斜靠在墙面上长为a 的木条，当木条端点A 沿墙面下滑时，B 沿地面向右滑行⑴设木条AB 的中点为P ，试判断木条滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离怎样变化？说明理由 ⑵木条在什么位置时，ABO ∆的面积最大？最大面积为多少？HP N MOBA【解析】⑴木条在滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离保持不变，连结OP ，因为木条在滑行过程中，ABO∆始终是以AB 为斜边的直角三角形，所以斜边上的中线1122OP AB a ==⑵设Rt ABO ∆中AB 边上的高为h ，则12ABC S ah ∆=，在木条滑动的过程中，三角形的面积随h 的变化而变化，显然除OH 与OP 重合外，总有OH OP <，即12h a <，当Rt ABO ∆是等腰直角三角形时，OH 与OP 重合，h 取得最大值12a ，这时三角形的面积最大，所以当木条与底面夹角为45︒时，ABO ∆的面积最大，最大面积为211112224ABC S ah a a a ∆==⋅=【答案】见解析【例19】 已知ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．GFED CB A【解析】由题意可得：第1个等腰直角三角形，ABC ∆中，斜边长1,AB BC AC ====第2个等腰直角三角形，ACD ∆中，斜边长22AD ==；第3个等腰直角三角形，ADE ∆中，斜边长3AE ==；依此类推，……第n个等腰直角三角形中，斜边长为n.【答案】n【例20】 如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234.....n a a a a ，，，，请求出234a a a ，，的值；（2）根据以上规律写出n a 的表达式．【解析】（1） 22a =，32a =，422a =. （2）12n n a -=.【答案】（1） 22a =，32a =，422a =.（2）12n n a -=.【例21】 小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图1n +）的一条腰长为_______________________．【解析】图1中的等腰三角形，腰长为122112+图2中，第12； 图3中，第2222212==⎝⎭； 图4中，第323222=⎝⎭⎝⎭； 依此类推，……图1n +中，第n 1222n n-=⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1） 22a =32a =，42a = （2）12n n a -=.【习题1】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.【解析】直接应用勾股定理,且c 为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25. 【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25【习题2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【解析】勾股数中只有唯一的一组:6,8,10. 【答案】6，8，10【习题3】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为 【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得高度为12 【答案】12m【习题4】如图,点P 是AOB ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC OA 交OB 于点C .若60,4AOB OC ∠==o ,课后作业则点P 到OA 的距离PD 等于__________.PODC B A EP ODC BA【解析】过P 点作PE OB ⊥，并交OB 于点E .∵60,AOB OP ∠=o 是AOB ∠的角平分线， ∴630BOP ∠==o . 又∵//PC OA ，∴60PCB AOB ∠=∠=o .∴30OPC BOP BPC ∠==∠=∠o .∴14,22PC OC EC PC ====.∴PB =.【答案】【习题5】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【解析】a=,c=选D.【答案】D【习题6】在三角形ABC中，已知2AB AC BC ==，边上的高AD ，求边BC 的长 【解析】本题有两种情况：⑴高AD 在三角形内，如图1，分别在Rt ABD ∆和Rt ACD ∆中，求得31BD CD ===，,所以4BC BD CD =+=⑵高AD 在三角形外，如图2，同样可求得31BD CD ==，，则2BC BD CD =-=图2图1DC BADCBA【答案】见解析【习题7】如图，已知ABC ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB DCE D ∠=∠=︒，为AD 边上一点，求证：222AD AE DE +=EDCBA【解析】因为EC DC =，AC BC ACE BCD =∠=∠，，所以可知ACE BCD ∆∆≌,所以90EAD ∠=︒，得证 【答案】见解析。

第一章 有理数培优题【知识点一】 有理数的分类按有理数的定义分类： 按有理数的性质符号分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数 “0”不是正数也不是负数，是正数与负数的分界点，是一个中性数。

例1、把下列各数填入相应的大括号内：①－7；②3.01；③300%；④－0.142857；⑤0.1；⑥0；⑦39；⑧－113355；⑨－3；⑩722；⑾3.1416；⑿ 5（1）正数：{ } （2）负数：{ } （3）正整数：{ } （4）负整数：{ } （5）正分数：{ } （6）非正分数：{ } 1、用－a 表示的数一定是（ ）A 、负数B 、负整数C 、正数或负数D 、以上结论都不对2、下列说法正确的是（ ）A 、整数就是正整数和负整数B 、分数包括正分数、负分数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D 、一个数不是正数就是负数。

3、下列说法正确的是（ ） A 、一个有理数不是整数就是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D 、0不是有理数4、下列说法：①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括0，其中正确的是（ ） A 、①②B 、①②③C 、③④D 、①⑤5、在有理数中，是整数而不是正数的是_______________，是分数而不是负分数的是________________。

6、最大的负整数是______，最小的正整数是______，最大的非正数是______，最小的非负数是______。

【知识点二】 数轴规定了原点、______、______的直线叫做数轴。

（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况来定。

1.2有理数知识要点：1.有理数的两种分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数；0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数.2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度.4.只有符号不同的两个数叫相反数．5.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a 和a ，这两个点关于原点对称.6.一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记住∣a ∣. 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．即：a>0a 0a 0a a 0⎧⎪=⎨⎪-<⎩a =.7.有理数的大小比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数都大于负数．（2）两个负数比较，绝对值大的反而小. 温馨提示：1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏；2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数；3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数;4.相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反数.5.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同之外其他完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如－2和＋3的符号不同，但它们不是互为相反数．6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大. 方法技巧：1.若a ，b 互为相反数，则a +b =0；2.多重符号的结果由“－”的个数决定，与“＋”无关.当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为“－”；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为“+”，“＋”号一般省略不写．3.若∣a ∣=a ，则a≥0；若∣a ∣=－a ，则a≤0.4.比较两个数的大小常用的方法：（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.专题一 有理数的分类1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？ ＋7，－23，59，0，722，－3.14，0.009，－888． 正数（ ）；负数（ ）； 非负数（ ）；正分数（ ）.2、已知有A 、B 、C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分． A.{－5，2.7，－9.7，2.1} B.{2.1，－8.1，10，7}C.{－8.1，2.1，－5，9.2，－17}3、写出5个有理数（不重复），同时满足三个条件：①其中三个数不是正数；②其中三个数不是负数；③不都是整数.专题二 利用数轴上的点的位置确定数的大小 4、如图，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A. 1.5B.－1.5C.－2.6 D. 2.65、小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有 个.6、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点之间的距离为 .专题三 利用数轴解决生活中的实际问题7、金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表：若现在的北京时间是11月16日8：00，那么，现在的惠灵顿时间11月_________日___________时，巴西利亚时间是11月_________日___________时。