【青岛版】八年级数学下册 ：巧用勾股定理解决几何问题试题

一、选择题1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD 、EF 、GHB ．AB 、EF 、GHC ．AB 、CD 、GH D ．AB 、CD 、EF 2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30，40，50B ．8，12，13C ．5，9，13D ．3，4，63．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ） A ．三个内角之比为1︰2︰3 B ．一边上的中线等于该边的一半 C ．三边为111,,12135D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．405．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上．下列结论：其中正确的有（ ）①△ACE ≌△BCD ；②∠DAB ＝∠ACE ；③AE +AC ＝AD ；④AE 2+AD 2＝2AC 2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．17cmD ．94cm 7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，若30B ∠=︒，3AC =，2AD =，则ABD △的面积为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．38．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．若实数m 、n 满足|m ﹣4n -0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）A ．5B ．57C ．12D ．12或711．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ）A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠=二、填空题13．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积1258S π=，22S π=，则3S 是________．14．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．15．平面直角坐标系中，点()()4,2,2,4A B -，点(),0P x 在x 轴上运动，则AP BP +的最小值是_________．16．如图，在ABC 中，90A ∠=，AB AC =，点E ，点F 为BC 边上的三等分点，且12BC =，点P 在AB 边上运动（包括A 、B 两点），连结PE 、 PF ，若设PE PF a +=，则a 的取值范围为______．17．如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD 是BC 边上的高．E 是AC 边中点，点P 是AD 上的一个动点，则PC ＋PE 的最小值是_______ ，此时∠CPE 的度数是_______．18．已知直角坐标平面内的Rt △ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），则直角顶点是_________．19．有一个三角形的两边长是8和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_______．20．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的高是_________．三、解答题21．已知：在ABC ∆中，点E 在直线AC 上，点,,B D E 在同一条直线上，且BA BD =，.BAE D ∠=∠（问题初探）（1）如图1，若BE 平分ABC ∠，求证：180AEB BCE ∠+∠=︒．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．（变式再探）（2）如图2，若BE 平分ABC ∆的外角ABF ∠，交CA 的延长线于点E ，问：AEB ∠和BCE ∠的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．（拓展运用）（3）如图3，在()2的条件下．若,1AB BC CD ⊥=，求EC 的长度．22．已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．（1）依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；（2）当且时，求的度数；（3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．23．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出_________（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．①试判断DEF 的形状，并说明理由． ②直接写出DEF 的面积．24．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出3m CD =，4m AD =，12m BC =，13m AB =，AD CD ⊥．（1）求证：90ACB ∠=︒． （2）求需要绿化部分的面积．25．如图，在△ABC 中，AC ＝20，AD ＝16，CD ＝12，BC ＝15，求AB 的长．26．如图，长方体的长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径S 甲为：翻过棱EH 后到达G 处（即A →P →G ），蚂蚁乙的行走路径S 乙为：翻过棱EF 后到达G 处（即A →M →G ），蚂蚁丙的行走路径S 丙为：翻过棱BF 后到达G 处（即A →N →G ）．（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度. 2．A解析：A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵82+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C 、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D 、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3．C解析：C 【分析】根据直角三角形的判定条件分别判断即可； 【详解】三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意； 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 符合题意； 三边长的关系为()()()()222222220m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键．4．C解析：C 【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ， ∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°， 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°， ∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ==，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°， ∴AC ＝2BC ＝，∵△ABC 的面积为120，∴11212022ABCSAC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，解得：2x∵21122BCDSBD CD x =⨯⨯=⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．5．C解析：C 【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS 证出△ACE ≌△BCD ，①正确；证出△ADB 是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∠E ＝∠CDE ＝45°，∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵∠DAB +∠CAB ＝∠ACE +∠E ， ∴∠DAB ＝∠ACE ，故②正确； ∴∠ACE +∠ACD ＝∠ACD +∠DCB ＝90°， ∴∠ACE ＝∠DCB ， 在△ACE 和△BCD 中，CA CBECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ），故①正确； ∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠CDB ＝45°， ∴∠ADB ＝∠CDB +∠EDC ＝90°， ∴△ADB 是直角三角形， ∴AD 2+BD 2＝AB 2， ∴AD 2+AE 2＝AB 2，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴ABAC ，∴AE 2+AD 2＝2AC 2，故④正确；在AD 上截取DF ＝AE ，连接CF ，如图所示：在△ACE 和△FCD 中，45AE FD E CDF CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△FCD （SAS ），∴AC ＝FC ，当∠CAF ＝60°时，△ACF 是等边三角形，则AC ＝AF ，此时AE +AC ＝DF +AF ＝AD ，故③不正确； 故选：C ． 【点睛】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．6．A解析：A 【分析】根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长． 【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =， 22AC BC +，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ， ∵AC=12cm ， ∴CE=AE-AC=3cm ， 设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ， 在Rt △CDE 中，根据勾股定理得 CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2， 解得x=4， 即CD 长为4cm ． 故选：A ． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．7．A解析：A【分析】根据含30度角的直角三角形性质可求出CD=1，过点D 作DE ⊥AB ，证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，得AE=AC=3，再证明Rt △BED ≌Rt △AED ，得BE=AE=3，最后利用三角形面积公式即可求出答案．【详解】解：∵30B ∠=︒，90C ∠=︒，∴∠BAC=90゜-30゜=60゜∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD=1302BAC ∠=︒ 在Rt △ACD 中，由AD=2∴CD=1；过点D 作DE ⊥AB ，如图，∵AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，∴DE=DC=1又AD=AD ∴Rt △ACD ≌Rt △AED ，∴3在Rt △ADE 和Rt △BDE 中DAE DBE AED BED DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △BED ≌Rt △AED∴3∴3∴11123322ABD S AB DE ∆=⨯=⨯⨯=故选：A ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理、性质是解答此题的关键．8．B解析：B【分析】根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．【详解】解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，∴BD ﹣CD ＝4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．9．B解析：B【分析】根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．【详解】根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．在Rt ABE △中，22221068AEBE AB ． ∵//AD BC ，∴AEB CBF ∠=∠，∴()ABE FCB AAS ≅，∴BF=AE=8，∴EF=BE-BF=10-8=2．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．10．D解析：D【分析】根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵|m﹣0，∴|m﹣3|＝00，∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0，解得，m ＝3，n ＝4，当45，则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，当4，则△ABC 的周长＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．11．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：20AB ===，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ． ∴1102AE BE AB ===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．12．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；【详解】解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C ∠=︒⨯=︒，不是直角三角形． 故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 二、填空题 13．【分析】由勾股定理得推出由此得到将数据代入计算得出答案【详解】解：在直角三角形中利用勾股定理得：∴变形为：即又∴故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用圆的面积计算公式正确理解各部分图形之间的面积关解析：98π． 【分析】 由勾股定理得222+=a b c ，推出222111()()()222222a b c πππ+=，由此得到231S S S +=，将数据代入计算得出答案.【详解】解：在直角三角形中，利用勾股定理得：222+=a b c ，∴222888a b c πππ+=，变形为：222111()()()222222a b c πππ+=，即231S S S +=.又1258S π=，22S π=， ∴312259288S S S πππ=-=-=， 故答案为：98π. 【点睛】 此题考查勾股定理的应用，圆的面积计算公式，正确理解各部分图形之间的面积关系及勾股定理的计算公式是解题的关键.14．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒， ∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中，EC ==故答案为：【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15．【分析】根据题意先做点A 关于x 轴的对称点求出坐标连结A′B 交x 轴于C 用勾股定理求出A′B 即可【详解】解：如图根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇连结A′B 交x 轴于C=A′P+BP≥A′B 得到A ＇(-4解析：62．【分析】根据题意先做点A 关于x 轴的对称点'A ，求出'A 坐标，连结A′B ，交x 轴于C ，用勾股定理求出A′B 即可．【详解】解：如图根据题意做A 点关于x 轴的对称点A ＇,连结A′B ，交x 轴于C ，AP BP +=A′P+BP≥A′B ，得到A ＇(-4，-2)，当点P 与C 点重合时，PA+PB 最短，点B （2，4）由勾股定理()()222+4+4+2=62AP BP +的最小值为：62故答案为： 2【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称，两点之间线段最短，勾股定理的应用，正确转化AP BP +的值最小是解题的关键．16．≤a≤【分析】根据已知条件首先求出BEEFCF 的值再分别求出点P 与点A 重合时点P 与点B 重合时PE+PF 的值再根据对称性求出PE+PF 的最小值综合比较即可【详解】解：∵∠A=90°AB=ACBC=12解析：45410【分析】根据已知条件首先求出BE 、EF 、CF 的值，再分别求出点P 与点A 重合时，点P 与点B 重合时PE+PF 的值，再根据对称性求出PE+PF 的最小值，综合比较即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=AC ，BC=12，E 、F 是BC 的三等分点，∴BE=EF=CF=4，当点P与点A重合时，如图，过点A作BC的垂线，垂足为Q，∴BQ=CQ=AQ=6，∴EQ=FQ=2，∴PE=PF=22+=210，62∴PE+PF=410；当点P与点B重合时，PE+PF=4+8=12；作点E关于AB的对称点E′，连接E′F，与AB交于点P，此时PE+PF最短，即为E′F的长，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵E和E′关于AB对称，∴∠ABC=∠ABE′=45°，∴∠E′BE=90°，BE′=BE=4，∴E′F=22'+=45，E B BF∵10160144，∴PE+PF的最大值为1045∴a的取值范围是510，故答案为：510．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，无理数的估算，最短路径问题，勾股定理，知识点较多，解题的关键是求出a的最小值和特殊值．17．60°【分析】作点E关于AD的对称点F然后连接CF交AD于点H连接HE 由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值进而由等边三角形的性质可求解【详解】解：作点E关于AD的对称点F然解析：3 60°【分析】作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=DC，∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，∴∠BCF=30°，∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长，∵BC=2，∴BF=1，在Rt△CBF中，223-C BCF BF=∴PC+PE3∴∠DHC=∠FHP=60°，∵AD垂直平分EF，∴FH=HE，∴∠FHP=∠PHE=60°，∴∠CHE=60°，即为∠CPE=60°；3；60°．【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．18．B【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2BC2AC2的值然后根据勾股定理的逆定理即可解答【详解】解：∵A（43）B（12）C（3-4）∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10AC2=（3-4）2解析：B【分析】先根据两点间的距离公式得到AB2、BC2、AC2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．【详解】解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC为直角三角形，∴∠B=90°，即该直角三角形的直角顶点为B．故答案为B．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．19．或6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论利用勾股定理即可求解【详解】设第三边长为x当第三边是斜边时则x2=82+102=164;∴x=（负值舍去）当第三边是直角边时则斜边长为10∴x2+8解析：6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】设第三边长为x，当第三边是斜边时，则x2=82+102=164;∴x=当第三边是直角边时，则斜边长为10，∴x2+82=102，解得：x=6，（负值舍去）故答案是：6【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想是解题关键关键．20．或【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3利用勾股定理求得第三边再利用等面积法即可得出斜边上的高【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边由勾股定理得：第三边长∴斜边上 解析：125或37 【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3．利用勾股定理求得第三边，再利用等面积法即可得出斜边上的高．【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长22435=+=∴斜边上的高为341255⨯=； ②斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长22437=-=，∴斜边上的高为373744⨯=； 故答案为：125或37． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用． 三、解答题21．（1）见解析 （2）BEC BCE ∠=∠；理由见解析 （3）12+【分析】（1）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得BEC BCE ∠=∠，进一步可得结论； （2）根据ASA 证明ABE DBC ∆≅∆得BE=BC ，得ABE BCE ∠=∠；（3）连结AD ，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD ，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC ，由EC=EA+AC 可得结论．【详解】解：（1）证明BE 平分ABC ∠，在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=,BEC BCE ∴∠=∠180AEB BCE AEB BEC ∴∠+∠=∠+∠=︒；()2BEC BCE =∠∠．理由：BE 平分ABF ∠，,ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠在ABE ∆和DBC ∆中，BAE D BA BDABE DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABE DBC ASA ∴∆≅∆，,BE BC ∴=BEC BCE ∴∠=∠．()3连结AD ，AB BC ⊥，45ABE EBF CBD ∴∠=∠=∠=︒，ABE DBC ∆≅∆，,BAE BDC ∴∠=∠且E E ∠=∠，45,ABE ACD ∴∠=∠=︒由()2得BE BC =，22.5BCD BCE BEC ∴∠=∠=∠=︒，,AB BD =22.5,BAD BDA ∴∠=∠=︒,45,AE AD DAC ACD ∴=∠=︒=∠1,CD = 221,112AD AE AC ∴===+=， 12EC ∴=+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD 是解答此题的关键．22．（1）；（2）或；（3），证明见解析 【分析】 （1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出，得出，证出AE=AC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果 （2）分两种情况：当时，当时分别求解即可 （3）作CG ⊥AP 于G ，由AAS 证明，得出CG=AM ，证出点A 是的外接圆的圆心，，得出和是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论【详解】解：（1）补全示意图如图所示连接AE ，设AP 与BE 交于点M ，如图：由轴对称的性质得AE=AB ，BM=EM ，AM ⊥BE ，∵是等腰直角三角形∴AB=AC∴AE=AC∴（2）当时，如图：由（1）得，，在中∴∴∴∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴∴当时，如图：∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴∴∵AE=AB=AC∴∴即在与中，∴∴由上可知，的度数为或（3），理由如下：由（2）得：FE=FB ，∴∴∵在中 ∴【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键23．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）①DFE △为等边三角形，证明见解析．23． 【分析】（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出DE AD AE BD CE =+=+．（2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即DE AD AE BD CE =+=+．（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．【详解】（1）DE BD CE =+，理由：∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵BD m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+．故答案为：DE BD CE =+．（2）结论DE BD CE =+成立；理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE DA AE BD CE =+=+．（3）①DEF 为等边三角形，理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，∴BD AE =，∵ABD CAE ∠=∠，∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)FBD FAE ≌，∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DEF 为等边三角形．②∵DEF 为等边三角形． ∴DEF的高为2DE ．∴213224DFE S DE DE ==． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．24．（1）证明见解析；（2）224m【分析】（1）由AD ⊥CD ，可得△ACD 是直角三角形，根据勾股定理可求出AC=5，在△ABC 中，AB=13，BC=12，AC=5，可知222AB BC AC =+ ，继而证得∠ACB= 90︒；（2）根据S 阴影=ABC ACD SS -计算即可． 【详解】（1）证明：∵AD CD ⊥，∴ACD 为直角三角形，由勾股定理得：222AC CD AD =+，∵3m CD =，4m AD =，∴5m AC =，在ABC 中，2213169AB ==，2212144BC ==，22525AC ==，∴222AB BC AC =+，∴ACB △为直角三角形，∴90ACB ∠=︒．（2）ABC ACD S S S =-阴1122AC BC CD AD =⋅-⋅ 111253422=⨯⨯-⨯⨯ 306=-()224m =答：需要绿化的面积为224m ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．25．AB ＝25．【分析】先利用勾股定理的逆定理证得∠ADC ＝90°，再利用勾股定理求出BD 即可．【详解】∵AC ＝20，AD ＝16，CD ＝12，∴CD 2+AD 2＝AC 2，∴∠ADC ＝90°，在Rt △BCD 中，BC ＝15，CD ＝12，∴BD 9，∴AB ＝AD +BD ＝25．【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，熟记定理的计算方法是解题的关键．26．（1）三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙cm ，，cm ；（2）蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达【分析】（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，根据勾股定理分别求出S 甲，S 乙，S 丙的值即可；（2）比较S 甲，S 乙，S 丙的值即可得到答案．【详解】解：（1）将长方体侧面展开，由行走路径最小值确定：路线为线段，∵长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，∴EF =AB =5cm ，GF =BC =EH =4cm ，AE =BF =CG =6cm ，∴图1：S 甲=2222()114137AE EF G F '''++=+=（cm ）图2：S 乙=2222()10555AE EH G H '''++=+=（cm ），图3：S 丙=2222()96117AB BC C G '''++=+=（cm ），答：三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是137cm ，55cm ，117cm ；（2）由（1）知，S 甲137cm ），S 乙5125cm ），S 丙117cm ）． ∵137125117∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．。

勾股定理的综合使用一、勾股定理1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c += 2. 勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

二、定理适用范围及应用 1. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。

2. 勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a =； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题。

总结（1）掌握好定理的内容及基本证明；（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。

例题1 已知直角三角形斜边上的中线长为1，周长为2+6，则这个三角形的面积为（ ） A.21B. 1C. 2D. 6 解析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计算。

答案：解：设两直角边长分别为x 、y ；∵直角三角形斜边上的中线长为1，故斜边长为2。

周长为2+6=x+y+2，得x+y=6。

① 由勾股定理得22y x ＝2。

②①②联立解得x y=1，故这个三角形的面积为21xy=21。

故选A 。

例题2 在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+2S 2+2S 3+S 4=（ ）A. 5B. 4C. 6D. 10解析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB ，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE ，然后利用勾股定理得到DE 2+BE 2=BD 2，代换后有ED 2+AC 2=BD 2，根据正方形的面积公式得到S 1=AC 2，S 2=DE 2，BD 2=1，所以S 1+S 2=1，利用同样方法可得到S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，通过计算可得到S 1+2S 2+2S 3+S 4=1+2+3=6。

青岛版八年级数学下册第7章7.4勾股定理的逆定理同步训练题（含答案）一．选择题（共10小题）1．（•桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2．（春•兴业县期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．8，15，17 C．6，8，10 D．9，12，15 3．（•岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米（3题图）（4题图）（5题图）（6题图）4．（春•天津期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m5．（•科左中旗校级一模）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C．D．6．（•峄城区校级模拟）如图所示，是一圆柱体，已知圆柱的高AB=3，底面直径BC=10，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬行到对角C处去捕食，则它爬行最短路径是（）（本题π取3）．A．13 B．3C．D．27．（•资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm（7题图）（8题图）（9题图）（10题图）8．（春•大同期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=（）A．30°B．45°C．60°D．35°9．（春•东平县校级期末）如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（）m2的红地毯．A．21 B．75 C．93 D．9610．（春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是（）cm2．A．336 B．144 C．102 D．无法确定二．填空题（共10小题）11．（•魏县二模）四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，则△BDC 为三角形．12．（•本溪模拟）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个．（12题图）（14题图）（18题图）（19题图）13．（春•博兴县期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．14．（春•大石桥市校级期末）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，DB=8，则四边形ABCD的周长为．15．（春•日照期中）已知一个三角形的三边长分别为12、16、20，则这个三角形的面积是．16．（春•祁阳县期末）下列四组数：①4，5，8；②7，24，25；③6，8，10；④，，2．其中可以为直角三角形三边长的有．（把所有你认为正确的序号都写上）17．（春•潍坊期中）已知Rt△ABC的三边AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则AB边上的中线为cm，AB边上的高为cm．18．（春•启东市期中）如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米．19．（•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）20．（春•台安县期中）如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=9，S3=25，当S2=时∠ACB=90°．三．解答题（共5小题）21．（春•大石桥市校级期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．22．（春•临清市期中）如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．23．（春•天河区期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？求出四边形ABCD 的面积．24．（春•石林县校级月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块空地的面积？25．（春•邹平县校级期末）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，试判断△ABC的形状．请说明理由．青岛版八年级数学下册第7章7.4勾股定理的逆定理同步训练题参考答案一．选择题（共10小题）1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．C 10．B 二．填空题（共10小题）11．直角12．4 13．3或 14．20 15．96 16．②③④17．54.818．7 19． 20．16三．解答题（共5小题）21．解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．（21题图）（22题图）22．解：连接BD，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，∴BD===5，△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，52+122=132，即BC2+BD2=DC2，∴△BCD是直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AD•AB+BD•BC=×4×3+×5×12=6+30=36．23．解：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∴∠A=90°，∠DBC=90°，∴这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积=3×4÷2+5×12÷2，=6+30，=36．故这个零件的面积是36．24、解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×5×12﹣×3×4=24（平方米）．25．解：△ABC是直角三角形．理由：∵AB===，BC==，AC===，∴AC2+BC2=45+20=65，AB2=65，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．。

一、选择题1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD 、EF 、GHB ．AB 、EF 、GHC ．AB 、CD 、GH D ．AB 、CD 、EF 2．ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定ABC 为直角三角形的是（ ）A ．ABC =+∠∠∠B ．::1:1:2A BC ∠∠∠= C ．222b a c =+D ．::1:1:2a b c = 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（ ）A ．103B ．256C ．203D ．1544．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．40 5．在ABC 中，10AB =，40AC ，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ）A ．10B ．8C ．6或10D ．8或10 6．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．187．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若实数m 、n 满足340m n --=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B 7C ．57D ．以上都不对 9．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 23|4|10250a b c c -+-+-+=，则c 边上的高为（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．4.8 10．()224129x x ++-+ ） A ．12 B ．13C ．14D ．11 11．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）A ．144B ．22C ．16D ．13 12．等腰三角形腰长10cm ，底边长16cm ，则等腰三角形面积是（ ）A ．296cmB ．248cmC ．224cmD ．232cm 二、填空题13．如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm ，底面圆的周长为10cm ，在杯内离底4cm 的点N 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上2cm 与蜂蜜相对的点M 处，则蚂蚁到达蜂蜜所爬行的最短路程为________cm ．14．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a π，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．16．如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，点D 是AB 的中点，过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长是_______．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝10，AD ＝5，AC ＝4，则△ABD 的面积为 ____________．18．如图，ABC 中，17AB =，10BC =，21CA =，AM 平分BAC ∠，点D ．E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD DE +的最小值是__________．19．如图，△DEF 为等边三角形，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上一点，且∠C ＝60°，AD 3BD 5=，AE ＝7，则AC 的长为_________．20．如图，∠AOD =90°，OA =OB =BC =CD ，若AC =3，则AD =_______．三、解答题21．已知：如图，AB =12cm ，AD =13cm ，CD =4cm ，BC =3cm ，∠C =90°．求△ABD 的面积．22．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．23．如图，△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝42cm ，BC ＝25cm ，点P 以1cm/s 的速度从点B 出发沿边BA→AC 运动到点C 停止，运动时间为ts ，点Q 是线段BP 的中点． （1）若CP ⊥AB 时，求t 的值；（2）若△BCQ 是直角三角形时，求t 的值；24．如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AD 于点E ．（1）△AOB 与△DOC 全等吗?请说明理由； （2）若OA=3，AD=4，求△AOD 的面积．25．在如图方格纸中，每个小方格的边长为1．请按要求解答下列问题：（1）以格点为顶点，画一个三角形ABC ，使∠ACB ＝90°，三边中有两边边长都是无理数；（2）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出ABC 各顶点的坐标；（3）作ABC 关于y 轴的轴对称图形A B C '''．（不要求写作法）．26．阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）c=，这个三角形是否是奇异三角形？（2）在Rt ABC中，两边长分别是52a=10请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB、CD、EF、GH各自的长度.2．D解析：D【分析】根据三角形内角和定理可判断A 和B ，根据勾股定理可判断C 和D ．【详解】A.A B C ∠=∠+∠，180A B C ∠+∠+∠=︒，2180A ∴∠=︒，∴90A ∠=︒，ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故A 错误；B.::1:1:2A B C ∠∠∠=，A B ∴∠=∠，2C A ∠=∠，又∵180A B C ∠+∠+∠=︒，2180A A A ∴∠+∠+∠=︒，45A ∠=︒，290C A ∴∠=∠=︒，ABC ∴为直角三角形，不符合题意，故B 错误；C.222b a c =+，ABC ∴是直角三角形，不符合题意，故C 错误；D.::1:1:2a b c =，b a ∴=，2c a =，222a b c ∴+≠，ABC ∴不是直角三角形，符合题意，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中．3．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴6BC ===，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．4．C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD 3x ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝23x ，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ()222223BC BD x x x -=-=，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝23x ，∵△ABC 的面积为120， ∴1122312022ABC S AC BC x x =⨯⨯=⨯⨯=， 解得：2=203x ∵211333203=3022BCD S BD CD x x =⨯⨯=⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．5．C解析：C【分析】分两种情况分类讨论，如图所示，分别在Rt ABD △与Rt ACD △中，利用勾股定理求出BD 与CD 的长，即可求出BC 的长．【详解】根据题意画出图形，如图所示，AD 是ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，如图1，10AB =，40AC ，6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=， ∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴10BC BD CD =+=；如图2，10AB =，40AC 6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴6BC BD CD =-=，∴BC 的长度为：6或10．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即AC =， ∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒， ∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．7．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.8．C解析：C 【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边． 【详解】∵30m -=，30m -≥≥， ∴m-3=0，n-4=0， 解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长= 故选：C ． 【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．9．C解析：C 【分析】先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出a 、b 、c 的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c 边上的高，利用面积求解即可． 【详解】2|4|10250b c c -+-+=()2|4|50b c -+-=，()2|4|50b c -+-=，30a ∴-=，40b -=，50c -=，解得：3a =，4b =，5c =， 22222291653452a b c =+=+=+==，ABC ∆∴是直角三角形， 设C 边上的高为h ，由直角三角形ABC 的面积为：1122c h a b =， 整理得3412===2.455a b h c ⨯=， c ∴边上的高为：2.4，故选择：C ． 【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求a 、b 、c 的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．10．B解析：B 【分析】建立直角坐标系，设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，则AB 的长即为代数式()224129x x ++-+ 的最小值，然后根据Rt △ABC ，利用直角三角形的性质可求得AB 的值． 【详解】解：如图所示：设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，∴BC=3－(-2)=5，AC=12 ()()()()2222002203x x ⎡⎤+--+-+-⎣⎦-1，()()22002x ⎡⎤+--⎣⎦-AP ()()22203x -+-1BP ，∴()224129x x +-+=AP ＋BP根据两点之间线段最短AB ()224129x x +-+ 的最小值∴AB 22BC AC +13． ()224129x x +-+的最小值为13．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．11．B解析：B 【分析】先求出四个直角三角形的面积，再求出直角三角形的斜边的长即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积12，小正方形的面积是2，∴四个直角三角形的面积和是12-2=10，即4×1ab=102∴2ab=10，∵直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b∴a2+b2=12∴(a+b)2= a2+b2+2ab=22．故答案为B．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、完全平方公式等知识点，完全平方公式和勾股定理的灵活变形是解答本题的关键．12．B解析：B【分析】如图：作AD⊥BC于D，先根据等腰三角形的性质求得BD，然后运用勾股定理求得AD，最后运用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：如图：作AD⊥BC于D，∵AB=AC=10，∴BD=DC=1BC=8cm，2∴AD=2222-=-=AC CD1086∴S△ABC=1BC·AD=48cm2．2故答案为B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．二、填空题13．【分析】过N作NQ⊥EF于Q作M关于EH的对称点M′连接M′N交EH于P连接MP则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出M′QNQ根据勾股定理求出M′N即可【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开得解析：55．【分析】过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出M′Q，NQ，根据勾股定理求出M′N即可．【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH 的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵ME=M′E，M′P=MP，∴MP+PN=M′P+PN=M′N，∵NQ=1×10cm=5cm，M′Q=12cm-4cm+2cm=10cm，2在Rt△M′QN中，由勾股定理得：M′N=22+=cm．51055故答案为：55．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．14．【分析】要求一只蚂蚁从A点出发从侧面爬行到C点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC的长度即为所求在Rt△ABC中AB=解析：2+4a【分析】要求一只蚂蚁从A点出发，从侧面爬行到C点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求．【详解】解：圆柱的展开图如下，在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求， 在Rt △ABC 中，AB=π•aπ=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以． 【点睛】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图．15．3【分析】作DG ⊥AC 于GEH ⊥AC 于H 则∠DGM ＝∠MHE ＝90°DG ∥BC 由勾股定理得出BC ＝6证出DG 是△ABC 的中位线得出DG ＝BC ＝3AG ＝CG ＝AC ＝4证明△MDG ≌△EMH （ASA ）得解析：3 【分析】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，由勾股定理得出BC ＝6，证出DG 是△ABC 的中位线，得出DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4，证明△MDG ≌△EMH （ASA ），得出MG ＝EH ，由三角形面积关系得出DG ＝2EH ＝3，得出MG＝EH ＝32，再证明∆DGF~∆EHF ，从而求出GF ，进而即可得出答案． 【详解】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，如图所示： 则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ， ∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC6=， ∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点， ∴DG 是△ABC 的中位线， ∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形， ∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°， ∴∠GDM ＝∠EMH ， 在△MDG 和△EMH 中，DGM MHE DM MEGDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△MDG ≌△EMH （ASA ）， ∴MG ＝EH ， ∵S △MDF ＝2S △MEF ，∴DG ＝2EH ＝3， ∴MG ＝EH ＝32， ∵DG ∥EH ， ∴∆DGF~∆EHF ， ∴21DG GF EH HF ==， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-32=32， ∴GF=32×221+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3， 故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．16．【分析】连接AE 设CE ＝x 由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE 在Rt △ACE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度【详解】解：如图连接AE 设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴解析：76【分析】连接AE ，设CE ＝x ，由线段垂直平分线的性质可知AE ＝BE ＝BC ＋CE ，在Rt △ACE 中，利用勾股定理即可求出CE 的长度． 【详解】解：如图，连接AE ，设CE x =，∵点D 是线段AB 的中点，且DE AB ⊥， ∴DE 是AB 的垂直平分线， ∴3AE BE BC CE x ==+=+， ∴在Rt ACE 中，222AE AC CE =+， 即()22234x x +=+，解得76x =． 故答案为：76．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键．17．15【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=3然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵∠C=90°∴在Rt △ACD 中∵∠C=90°DE ⊥A解析：15 【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ， ∵∠C=90°，∴在Rt △ACD 中，2222543CD AD AC =-=-=,∵∠C=90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE=CD=3， ∴△ABD 的面积为111031522AB DE ⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．18．8【分析】过B 点作于点与交于点根据三角形两边之和小于第三边可知的最小值是线段的长根据勾股定理列出方程组即可求解【详解】过B 点作于点与交于点作点E 关于AM 的对称点G 连结GD 则ED=GD 当点BDG 三点在解析：8 【分析】过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点，根据三角形两边之和小于第三边，可知 BD DE +的最小值是线段BF 的长，根据勾股定理列出方程组即可求解． 【详解】过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点， 作点E 关于AM 的对称点G ，连结GD ， 则ED=GD ，当点B 、D 、G 三点在一直线上时较短，BG BF >， 当线段BG 与BF 重合时最短，BD+BE=BD+DG=BF ， 设AF=x ，CF-21-x ，根据题意列方程组：()222222172110BF x BF x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩， 解得：158x BF =⎧⎨=⎩，158x BF =⎧⎨=-⎩（负值舍去）．故BD ＋DE 的值是8， 故答案为8，【点睛】本题考查轴对称的应用，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握轴对称的性质，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，会利用轴对称找出最短路径，再利用勾股定理构造方程是解题关键．19．8【分析】以CE 为边作等边△CEH 证明△CEF ≌△HED 可得∠DHE=60°DH ∥BC 则设AH=3xCH=5x 过点E 作EM ⊥AC 于点M 在△AEM 中解得x=1则答案得出【详解】解：以CE 为边作等边△C解析：8 【分析】以CE为边作等边△CEH，证明△CEF≌△HED，可得∠DHE=60°，DH∥BC，则AH3 CH5=，设AH=3x，CH=5x，过点E作EM⊥AC于点M，在△AEM中，22253117(x)(x)22=+，解得x=1，则答案得出．【详解】解：以CE为边作等边△CEH，连接DH，∴CE=EH，∠EHC=60°，∵△DEF为等边三角形，∴∠DEF=60°，DE=EF，∴∠DEH=∠CEF，在△CEF和△HED中∵CE HECEF HEDEF ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEF≌△HED（SAS），∴∠DHE＝∠FCE＝60°，∴∠DHE＝∠HEC＝60°，∴DH//BC，∴AD AHBD CH=，∵AD3BD5=，∴AH3CH5=，过点E作EM⊥AC于点M，设AH＝3x，CH＝5x，则EC=5x，22155311,222x xMC EC ME EC MC AM AC MC x ===-==-=,在△AEM中，22253117x)(x)2=+，∴x＝1，∴AC＝8．故答案为：8． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法能正确作出辅助线是解题的关键．20．【分析】设OA=OB=BC=CD=a 可知AB=AC=AD=由题意知AC=3即可求出AD 的长；【详解】∵OA=OB=BC=CD ∴设OA=OB=BC=CD=a ∵∠AOD=90°∴AC===∴∵AC==3解析：【分析】设OA=OB=BC=CD=a ，可知 ， ， ,由题意知AC=3，即可求出AD 的长； 【详解】 ∵ OA=OB=BC=CD ， ∴ 设OA=OB=BC=CD=a ， ∵∠AOD=90°，∴，∴AD ===， ∵=3，∴∴=故答案为： 【点睛】本意考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键；三、解答题21．230cm【分析】先利用勾股定理，求得BD=5；再利用勾股定理的逆定理，证明三角形ABD 是直角三角形，利用面积公式计算即可. 【详解】4CD cm =，3BC cm =，90C ∠=︒，5BD cm ∴==，12AB cm =，13AD cm =，222BD AB AD ∴+=，90ABD ∴∠=︒， ∴211·1253022ABD S AB BD cm ∆==⨯⨯=． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握两个定理是解题的关键.22．5m【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．23．（1）2；（2）4或6＋42﹣25【分析】（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，利用勾股定理构建方程求出x ，当点P 与H 重合时，CP ⊥AB ，此时t ＝2；（2）由题意易知分两种情形①如图2中，当点Q 与H 重合时，BP ＝2BQ ＝4，②如图3中，当CP ＝CB ＝25时，CQ ⊥PB ，然后根据题意求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．设BH ＝x ，∵CH ⊥AB ，∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°，∴AC 2﹣AH 2＝BC 2﹣BH 2，∴（42）2﹣（6﹣x ）2＝（25）2﹣x 2，解得x ＝2，∴当点P 与H 重合时，CP ⊥AB ，此时t ＝2．（2）由（1）可得：BH=2，CH=4，∴点P 的运动路程为1×t=t ，∴如图2中，当点Q 与H 重合时，则有BP ＝2BQ ＝4，此时t ＝4；如图3中，当CP ＝CB ＝25时，CQ ⊥PB ，此时t ＝6＋（42﹣25）＝6＋42﹣25．综上所述：当t ＝4或64225+，△BCQ 是直角三角形．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．24．（1）△AOB ≌△DOC ，理由见解析；（2）△AOD 的面积为5【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AO=DO ，根据等腰三角形的性质得到AE=12AD=2，由勾股定理得到225OE AO AE =-=【详解】（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， AOB COD B CAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以△AOB ≌△DOC （AAS ）；（2）因为△AOB≌△DOC，所以AO＝DO，因为OE⊥AD于点E．所以AE12=AD＝2，所以OE225AO AE=-=，所以S△AOD1452=⨯⨯=25．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析，A(0，0)，B(﹣5，0)，C(﹣4，2)；（3）见解析【分析】(1)每个小正方形的边长为1，对角线就是无理数，根据要求画出图形(答案不唯一)．(2)构建平面直角坐标系，写出坐标即可；(3)分别作出 A ，B ，C 的对应点 A '，B '，C'即可．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）平面直角坐标系如图所示，A（0，0），B（﹣5，0），C（﹣4，2）．（3）如图，△A′B′C′即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形．【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；（2）分c是斜边和b是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．【详解】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，=，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，需要熟练掌握勾股定理的公式，运用分类讨论的思想是解决第（2）问的关键．。