当前位置：文档之家 › 分数阶导数

分数阶导数

  • 格式：doc
  • 大小：384.50 KB
  • 文档页数：6

分数阶导数1引言我们都熟悉的导数的定义。

通常记作1()()df x D f x dx 或 222()()d f x D f x dx 或这些都是很容易理解的。

我们同样也熟悉一些有关导数的性质，例如[()()]()()D f x f y Df x Df y +=+但是像这样的记号1/21/21/2()D ()d f x f x dx 或者又代表什么意思呢大多数的读者之前肯定没有遇到过导数的阶数是1/2的。

因为几乎没有任何教科书会提到它。

然而，这个概念早在18世纪，Leibnitz 已经开始探讨。

在之后的岁月里，包括L’Hospital, Euler,Lagrange, Laplace, Riemann, Fourier, Liouville 等数学大家和其他一些数学家也出现过或者研究过的概念。

现在，关于“分数微积分”的文献已经大量存在。

近期关于“分数微积分”的两本研究生教材也出版了，就是参考文献[9]和[11]。

此外，两篇在会议上发表的论文[7]和[14]也被收录。

Wheeler 在文献[15]已编制了一些可读性较强，较易理解的资料，虽然这些都还没有正式出版。

本论文的目的是想用一种亲和的口吻去介绍分数阶微积分。

而不是像平常教科书里面的从定义-引理-定理的方法介绍它。

我们寻找了一个新的想法去介绍分数阶导数。

首先我们从熟悉的n 阶导数的例子开始，比如D n axn axe a e =。

然后用其他数字取代自然数字n 。

这种方式，感觉像是侦探一样，步步深入。

我们将寻求蕴含在这个构思里面的数学结构。

我们在探讨了各种思路，对分数阶导数的概念后，才对分数阶导数给出正式定义。

（如果想快速浏览它的正式定义，请参见米勒的优秀论文，参考文献[8]。

）随着探究的深入，我们会不时地让读者去思考一些问题。

对这些问题的答案将在本文的最后一节呈现。

那到底什么是一个分数阶导数呢让我们一起来看看吧……2指数函数的分数阶导数我们将首先研究指数函数ax e 的导数。

因为他们导数的形式，比较容易推广。

我们熟悉axe 的导数的表达式。

12233,,ax ax ax ax ax axD e ae D e a e D e a e ===，在一般情况下，当n 为整数时，n ax n ax D e a e =。

那么我们能不能用1/2取代n ，并记作1/21/2ax ax D e a e =呢我们何不尝试一下为什么不更进一步，让n 是一个无理数或者复数比如1+i 我们大胆地写作ax ax D e a e αα=， （1）对任意一个α，无论是整数，有理数，无理数，还是复数。

当α是负整数时，考虑（1）式的意义是很有趣的。

我们自然希望有1(())ax ax e D D e -=成立。

因为1(())axax e D e a=，所以我们有1()ax ax D e e dx -=⎰。

同理2()ax ax D e e dxdx -=⎰⎰。

当α是负整数时，我们将D α看作是n 次迭代的积分是合理。

当α是正实数，D α代表导数，当α是负实数，D α代表积分。

请注意，我们还没对一般函数给出分数阶导数的定义。

但是，如果这一定义被发现，我们期望指数函数的分数阶导数遵循关系式（1）。

我们注意到，刘维尔在他的论文[5]和[6]中就是采用这种方法去考虑微分的。

问题问题1：在上述情况下，12121212()a x a x a x a xD c e c e c De c De α+=+成立吗问题2：在上述情况下，ax ax D D e D e αβαβ+=成立吗问题3：上述1()ax ax D e e dx-=⎰和2()ax ax D e e dxdx-=⎰⎰，真的正确吗还是遗漏了一些东西问题4：用蕴含在（1）式的想法，怎样对一般性的函数求分数阶导数3三角函数：正弦函数和余弦函数我们对于正弦函数的导数很熟悉：012sin sin ,sin cos ,sin sin ,D x x D x x D x x ===-这些对于寻求1/2sin Dx ，并没有明显的规律。

但是，当我们画出这些函数的图形时，会挖掘出其中的规律。

即每当我们求一次微分，sin x 的图像向左平移/2π。

所以对sin x 求n 次微分，那么得到的图像就是sin x 向左平移/2n π，即得到sin sin()2n n D x x π=+。

如前，我们用任意数α替换正整数n 。

所以，我们得到正弦函数的任意α次导数的表达式，同理我们也得到余弦函数的：sin sin(),cos cos().22D x x D x x αααπαπ=+=+（2）在得到表达式（2）之后，我们自然想，这个猜测与指数函数的结果是否保持一致。

为了验证这个猜测，我们可以使用欧拉公式cos sin ixe x i x =+。

利用表达式（1），我们可以计算得到(/2)cos()sin()22ix ix i ix D e i e e e x i x ααπααπαπ===+++，这与（2）式是吻合的。

问题问题5：sin()D ax α是什么4px 的导数我们现在看看x 次方的导数。

我们以px 为例有：012,,(1),,(1)(2)(1).(3)p p p p p p n p p n D x x D x px D x p p x D x p p p p n x -===-=---+表达式（3）用连乘()!p n -的分子和分母去替换，则得到结果如下(1)(2)(1)()(1)1!(4)()(1)1()!p p n p n p p p p n p n p n p x x x p n p n p n -----+---==----上式就是n pD x 的一般表达式。

我们通过伽玛函数，用任意数α替换正整数n 。

当（4）式中的p 和n 是不是自然数时，伽玛函数使他们在替换后任然有意义。

伽马函数是欧拉在18世纪引进的概念。

当时是推广记号!z ，当z 不是整数时。

它的定义是1()d t z z e tt ∞--Γ=⎰，它具有这样的性质(+1)!z z Γ=。

那么我们可以将表达式（4）重新写作(1),(1)npp n p D x x p n -Γ+=Γ-+这使得当n 不是整数式，（4）式还是有意义的。

所以对于任意的α，我们写作(1)(5)(1)p p p D x x p ααα-Γ+=Γ-+利用（5）式，我们可以将分数阶导数延伸到很多的函数。

因为对于任意给定的函数，我们可以利用Taylor 级数展开成多项式的形式，0(),nn n f x a x∞==∑假设我们可以对()f x 进行任意次微分，那么我们得到(1)().(6)(1)nn n nn n n D f x a D x a x n αααα∞∞-==Γ+==Γ-+∑∑最终那个表达式（6）呈现出具有作为分数阶导数定义候选项的气质。

因为大量的函数都可以利用Taylor 公式展开成幂级数的形式。

然后，我们很快会发现它会导致矛盾的产生。

问题问题6：()D f x α是否有几何意义5一个神秘的矛盾我们将xe 的分数阶导数写为(7)x xD e e α=现在让我们拿它与（6）式进行对比，看看他们是否一致。

从Taylor 级数来看，01,!xnn e x n ∞==∑结合（6）式，我们得到如下表达式 0.(8)(1)nxn x D e n αα∞==Γ-+∑但是，（7）及（8）是不等价的，除非α是整数。

当α是整数时，（8）式的右侧是xe 的级数形式，只是用不同的表达方式。

但是当α不是整数时，我们得到两个完全不一样的函数。

我们发现了历史上引起大问题的矛盾。

这看起来好像我们，指数函数的分数阶导数的表达式（1）与次方函数的分数阶导数的公式（6）是相互矛盾。

正是因为有这样一个矛盾，所以分数阶微积分一般不会出现在初等阶段的教科书里面。

在传统的微积分中，导数的次数是整数次的，求导的函数是初等函数。

不幸的是，在分数阶微积分中，这是不正确的。

通常，一个初等函数的分数阶导数是较高级的超越函数。

关于分数阶导数的表格，请参阅文献[3]。

此时，您可能会问我们怎么继续探究呢这个谜团将在之后的部分中被解决。

敬请关注……6多重迭代积分我们一直在谈论导数。

积分也是反复被提及的。

我们可以写1()()D f x f x dx -=⎰，但是等式右边是不确定的。

我们可以写作1()()xD f x f t dt -=⎰。

第二次积分可以写成221120()()xt D f x f t dt dt -=⎰⎰。

积分区域是图1中的三角形。

如果我们交换积分的顺序，那么图1的右侧图可以表现出121210()()x xt D f x f t dt dt -=⎰⎰。

因为1()f t 不是一个关于2t 的函数，所以可以将里面的积分移到外面，即121211110()()()()x x xt D f x f t dt dt f t x t dt -==-⎰⎰⎰或者2()()()xDf x f t x t dt -=-⎰。

使用相同的过程步骤，我们可以写出32430011()()(),()()(),223x x D f x f t x t dt D f x f t x t dt --=-=-⋅⎰⎰ 在一般情况下，11()()().(1)!x n n D f x f t x t dt n --=--⎰现在，我们用先前做的方法，用任意数α替换n -，用伽玛函数替换阶乘，然后得到101()().(9)()()x f t dtD f x x t ααα+=Γ--⎰ 这个一般性的表达式（使用积分）的分数阶导数表达式，有成为定义的潜力。

但是存在一个问题。

如果1,α>-该积分是反常积分。

因为当,0.t x x t →-→对任意0α≥，积分是发散的。

当10,α-<<反常积分收敛。

所以当α是负数时，原表达式是正确的。

因此当α是负数时（9）式收敛，即它是一个分数阶次积分。

在我们结束这一部分之前，需要提下，趋于零的下极限是任意的。

可以简单的认为存在下极限b 。

但是会造成最后结果表达式的不同。

正因为如此，很多这个领域的研究人员使用符号()bx D f x α。

这个符号说明了极限过程是从b 到x 的。

这样我们从（9）式得到11()().(10)()()x b xb f t dtD f x x t ααα+=Γ--⎰问题问题7：如下分数阶微分b 的下极限是什么(1)()()(1)p p b x p D x c x c p ααα-Γ+-=-Γ-+7解秘现在，你可以开始去发现前面哪些地方出错了。

我们对于分数阶积分包含极限，并不感到惊讶。

因为积分是涉及到极限的。

然而普通的导数不涉及积分的极限，没有人希望分数阶导数包含这样的极限。

我们认为，导数是函数的局部性质。

合集下载

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程

拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。

它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。

在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。

因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。

本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。

一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。

分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。

分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。

$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。

一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。

下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。

二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。

它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。

当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。

通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。

下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。

分数阶微积分及其应用

分数阶微积分及其应用

分数阶微积分及其应用随着科学技术的不断发展，分数阶微积分作为新兴的数学分支，越来越受到人们的关注。

相比于传统微积分，分数阶微积分所考虑的对象不仅可以是整数次可导函数，还包括分数次可导函数，具有更广泛的适用范围。

因此，许多领域的问题都可以用分数阶微积分进行分析和求解。

一、分数阶微积分的基础分数阶微积分所考虑的是分数阶导数（或称为Caputo导数或Riemann-Liouville导数）。

其中，Caputo导数是一种介于Riemann-Liouville导数和整数次导数之间的导数定义方法。

具体而言，设函数f(x)的Caputo导数为D^αf(x)，其中0<α≤1，那么D^αf(x)定义为：D^αf(x)=I^(m-α)f^(m)(x)，其中m-1<α≤m，m为最小的整数，使得m>α，I为积分算子。

这里，I^(k)f(x)表示对f(x)积分k次。

经过推导，可以得到分数阶导数的一些基本性质，如线性性、Leibniz法则等。

二、分数阶微积分的应用分数阶微积分在科学和工程中有着广泛的应用。

下面就来介绍一些例子。

1、分数阶控制系统理论传统的控制系统理论以整数阶微积分为基础，但是对于某些具有记忆性的系统（如液压缸、三通阀等），整数阶微积分往往难以描述其动态行为。

这时，分数阶微积分便可以发挥作用。

具体而言，通过分数阶微积分可以描述出系统存在的内存效应，并根据分数阶微积分的特殊性质设计控制器，从而获得更优秀的控制性能。

2、分数阶扩散方程扩散方程是描述物质扩散行为的基本方程，其形式一般为：u_t=Du_xx，其中u表示扩散物质的浓度，在时间t和空间位置x 处的值，D表示扩散系数。

然而，在某些情况下，扩散物质的扩散行为可能存在分数阶效应。

这时，就需要使用分数阶扩散方程对其进行描述。

分数阶扩散方程不仅具有更广泛的适用范围，还可以更准确地刻画扩散物质的长程相互作用行为。

3、分数阶量子力学量子力学是理论物理学的重要分支之一，其描述的是微观领域中的物质运动行为。

分数阶fokker–planck方程

分数阶fokker–planck方程

分数阶Fokker-Planck方程I.概述Fokker-Planck方程在物理学和数学领域有着广泛的应用。

它描述了具有随机性质的系统的演化过程，并在统计物理、金融工程、生态学和化学等领域得到了广泛的应用。

然而，传统的Fokker-Planck方程假设了系统的漂移和扩散过程是由布朗运动描述的，而在实际应用中，很多系统的漂移和扩散行为不能完全由布朗运动来描述。

引入分数阶导数来描述非马尔科夫性质的随机过程，成为了当前研究的热点之一。

II.分数阶导数A.分数阶微积分的概念及应用分数阶微积分是指微分和积分可以取非整数次幂的一种微积分。

在不同的领域中，分数阶微积分有着不同的解释和应用。

在描述复杂介质中的传热传质问题时，分数阶微分方程可以更好地描述材料中的多尺度性质。

在描述非马尔科夫性质的随机过程时，分数阶微分方程可以更好地描述系统的长程记忆和非局域性行为。

B.分数阶导数的定义及性质分数阶导数可以由分数阶积分来定义，具体的定义为：[1] $\frac{d^{\alpha} f(t)}{dt^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau$其中，$\alpha$为分数阶，$\Gamma$为gamma函数。

III.分数阶Fokker-Planck方程的推导A.经典Fokker-Planck方程经典的Fokker-Planck方程描述了布朗运动中粒子位置和速度分布的演化过程，其一维形式可以写为：[2] $\frac{\partial}{\partial t}p(x,t)=\frac{\partial}{\partialx}(\mu(x)p(x,t))+\frac{\partial^2}{\partialx^2}(\sigma^2(x)p(x,t))$其中，$p(x,t)$为粒子在位置x处于时间t时的概率密度函数，$\mu(x)$为粒子的漂移系数，$\sigma(x)$为粒子的扩散系数。

与Hermite算子相关的分数阶Carleson测度

与Hermite算子相关的分数阶Carleson测度

与Hermite算子相关的分数阶Carleson测度分数阶Carleson测度是一种用于研究分数阶导数的测度。

而Hermite算子是一种用于描述分数阶导数的算子。

本文将讨论的性质和应用。

首先，我们来介绍一下Hermite算子。

Hermite算子是一类特殊的微分算子，它可以用来表示分数阶导数。

在数学和物理学中，分数阶导数是一种介于整数阶导数和常微分方程之间的导数形式。

Hermite算子可以通过傅里叶变换来定义，并且具有一些特殊的性质，如内积性质和微分性质。

通过研究Hermite算子，我们可以更好地理解和应用分数阶导数。

然后，我们来介绍一下Carleson测度。

Carleson测度是一种用于描述函数的局部振幅和局部平均性质的测度。

在分析学中，Carleson测度是一个重要的工具，被广泛用于研究函数的正则性和奇点结构。

分数阶Carleson测度则是一种将分数阶导数引入Carleson测度中的扩展。

通过引入分数阶导数，我们可以获得更多关于函数的信息，从而更精确地描述函数的振幅和平均性质。

最后，我们来讨论与Hermite算子相关的分数阶Carleson测度的性质和应用。

首先，分数阶Carleson测度可以用于描述函数的分数阶导数的局部振幅和局部平均性质。

通过研究分数阶Carleson测度，我们可以获得关于函数的更多信息，从而更好地理解和应用分数阶导数。

其次，分数阶Carleson测度还可以用于研究分数阶微分方程的解的正则性和奇点结构。

通过研究分数阶Carleson测度，我们可以获得关于分数阶微分方程解的更深入的理解和应用。

综上所述，与Hermite算子相关的分数阶Carleson测度是一种用于研究分数阶导数的测度。

通过引入分数阶导数，我们可以获得更多关于函数的信息，从而更好地理解和应用分数阶导数。

分数阶Carleson测度可以用于描述函数的分数阶导数的局部振幅和局部平均性质，并且可以用于研究分数阶微分方程解的正则性和奇点结构。