微分几何练习题库及参考答案已修改

格式：docx
大小：907.32 KB
文档页数：17

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232lim[(31)ijk]ttt138ijk． 2．设f()(sin)ijttt，2g()(1)ijttte，求0lim(()())tftgt 0 ． 3．已知42r()d=1,2,3tt， 64r()d=2,1,2tt，2,1,1a，1,1,0b，则4622()()artdt+bartdt=3,9,5.

4．已知()rta（a为常向量），则()rttac． 5．已知()rtta，（a为常向量），则()rt 212tac． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()rrt在t = 2处有3，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)uv处v0urr，则00(,)uv为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln)fttjtk，()(sin)(cos)gttitj，0t，则4

0()dfgdtdt4cos62．

13．曲线3()2,,trttte在任意点的切向量为22,3,tte． 14．曲线()cosh,sinh,rtatatat在0t点的切向量为0,,aa． 15．曲线()cos,sin,rtatatbt在0t点的切向量为0,,ab．

16．设曲线2:,,ttCxeyezt，当1t时的切线方程为2111zeeyeex． 17．设曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________. 19. u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cossinnkkk中，是方向(d) 与u－曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK . 22．已知r(,),,uvuvuvuv，其中2,sinutvt，则drdt2cos,2cos,2costtttvtut．

23．已知r(,)coscos,cossin,sinaaa，其中t，2t，则dr(,)dt

sincos2cossin,sinsin2coscos,cosaataata．

24．设(,)rruv为曲面的参数表示，如果0uvrr，则称参数曲面是正则的；如果:()rGrG 是一一对应的，则称曲面是简单曲面． 25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面r(,),,0uvuv的第一基本形式为22dduv，面积微元为dduv． 27．悬链面r(,)coshcos,coshsin,uvuvuvu第一基本量是22cosh0,coshEuFGu，．

28．曲面zaxy上坐标曲线0xx，0yy的交角的余弦值是200222200(1)(1)axyaxay. 29．正螺面(,)cos,sin,ruvuvuvbv的第一基本形式是2222d()duubv． 30．双曲抛物面r(,)(),(),2uvauvbuvuv的第一基本形式是2222222222(4)d2(4)dd(4)dabvuabuvuvabuv．

31．正螺面(,)cos,sin,ruvuvuvbv的平均曲率为 0 ． 32．方向(d)d:duv是渐近方向的充要条件是22()020nkdLduMdudvNdv或． 33. 方向(d)d:duv和(δ)δ:δuv共轭的充要条件是(,)0()0drδrLduδuMduδvdvδuNdvδvII或．

34.是主曲率的充要条件是0ELFMFMGN． 35.(d)d:duv是主方向的充要条件是22dddd00dddddvdudvduEuFvLuMvEFGFuGvMuNvLMN或．

36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d:d)uv是主方向，则nndnkdrk，其中是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面． 38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,gnkkk之间的关系是222gnkkk．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为

cossin22cossinvuEGd=dsEGGEdu=dsEdv=dsG





．

42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 .

二、单项选择题 1．已知(),,ttrtete，则r(0)为（ A ）． A. 1,0,1； B. 1,0,1； C. 0,1,1； D. 1,0,1. 2．已知()()rtrt，为常数，则()rt为（ C ）． A. ta； B. a； C. tea； D. ea. 其中a为常向量． 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）． A．切线与固定方向成固定角； B．副法线与固定方向成固定角； C．主法线与固定方向垂直； D．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ） A．至少有两个； B．只有一个； C．只有两个； D．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ） A．测地线； B．曲率线； C．法截线； D．渐近线．. 6. 已知r(,),,xyxyxy，求(1,2)dr为（ D ）． A. d,d,d2dxyxy； B. dd,dd,0xyxy； C. d-d,d+d,0xyxy； D. d,d,2ddxyxy. 7．圆柱螺线cos,sin,rttt的切线与z轴（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角4； D. 有固定夹角3. 8．设平面曲线:()Crrs，s为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）． A. 为单位向量； B. ； C. k； D. k. 9．直线的曲率为（ B ）． A. -1； B. 0； C. 1； D. 2. 10．关于平面曲线的曲率:()Crrs不正确的是（ D ）．

A. ()()kss； B. ()()kss，为()s的旋转角； C. ()ks； D. ()|()|ksrs. 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）． A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）． A. ,,均为单位向量； B. ； C. ； D. . 13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）． A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 既不充分也不必要条件； D. 充要条件.

14．2sin4),cos1(),sin(taztayttax在点2t的切线与z轴关系为（ D ）．

A. 垂直； B. 平行； C. 成3的角； D. 成4的角. 15．椭球面2222221xyzabc的参数表示为（ C ）． A. ,,coscos,cossin,sinxyz； B. ,,coscos,cossin,sinxyzab； C. ,,coscos,cossin,sinxyzabc； D. ,,coscos,sincos,sin2xyzabc. 16．曲面2233(,)2,,ruvuvuvuv在点(3,5,7)M的切平面方程为（ B ）． A. 2135200xyz； B. 1834410xyz； C. 756180xyz； D. 1853160xyz. 17．球面(,)coscos,cossin,sinruvRuvRuvRu的第一基本形式为（ D ）． A. 2222(dsind)Ruuv； B. 2222(dcoshd)Ruuv；

(整理)微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

微分几何试卷及答案

微分几何试卷及答案【篇一：微分几何测试题集锦(含答案)】t>一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在p点的切向量为?，主法向量为?，则过p由?,?确定的平面是曲线在p点的___密切平面__________。

⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。

⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___c___。

a、直线b、平面曲线c、球面曲线d、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在p(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___a___不正确。

a、k?13r??r??r?2 b、k?对于曲r??r??r?3 c、k?r d、??的第一基本?r?r??r 2?r??r???形式、面i?edu2?2fdudv?gdv2,eg?f2__d___。

a、?0b、?0c、?0d、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求0,1,⑴在点的切线和法平面。

?2?⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:rcos?,?sin?,u?，试求⑴ ?的第一、第二基本形式；⑵ ?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶ ?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。

微分几何考试题及答案

微分几何考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 曲面上的一条曲线，若其切线与曲面的法线垂直，则该曲线称为：A. 测地线B. 等温线C. 子午线D. 法线答案：A2. 黎曼曲率张量描述的是：A. 曲面的内在性质B. 曲面的外在性质C. 曲面的局部性质D. 曲面的全局性质答案：B3. 以下哪个概念不是微分几何中的？A. 度量张量B. 联络C. 流形D. 向量场答案：D4. 曲面的第一基本形式是用于描述曲面的：A. 内在性质B. 外在性质C. 局部性质D. 全局性质答案：A5. 测地线是曲面上连接两点的最短路径，这种说法是：A. 正确B. 错误答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在微分几何中，曲面上的一个点的邻域可以与______同胚，这个局部性质称为曲面的局部欧几里得性质。

答案：欧几里得空间2. 曲面的高斯曲率是该点的主曲率的______。

答案：乘积3. 曲面上的一条曲线，如果其切向量沿曲线的变化率与曲线的曲率向量平行，则该曲线称为______。

答案：测地线4. 曲面的第二基本形式是描述曲面的______性质的。

答案：外在5. 黎曼曲率张量是描述曲面______性质的。

答案：外在三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述微分几何中联络的概念及其作用。

答案：联络是微分几何中描述流形上向量场平行传输的数学工具。

它允许我们定义向量场沿曲线的协变导数，从而研究向量场在流形上的几何性质，如曲率和挠率等。

2. 描述曲面的第一基本形式和第二基本形式，并说明它们在微分几何中的意义。

答案：第一基本形式是描述曲面内在度量的数学工具，它通过度量张量定义了曲面上点的邻域内向量的长度和角度。

第二基本形式描述了曲面的外在性质，即曲面如何嵌入到更高维的空间中，通过主曲率和高斯曲率等量来表征曲面的弯曲程度。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个曲面上的曲线，其参数方程为 \( x = t, y = t^2, z = t^3 \)，请计算该曲线在 \( t = 1 \) 处的曲率和挠率。

微分几何测试题集锦(含答案)