等差数列及其前n项和导学案
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高三数学(理科) 一轮复习学案
6.2 等差数列及其前n项和
一自主梳理
1．等差数列的有关定义
(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)．
(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是____________，其中A叫做a，b的____________．
2 等差数列证明方法：
3．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝____________，an＝am＋__________ (m，n∈N*)．
(2)前n项和公式：Sn＝______________＝________________.
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2n.
数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝____________.
5．等差数列的性质
(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有________________，特别地，当m＋n＝2p时，
________________.
(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为________；若d<0，则数列为__________；若d
＝0，则数列为____________．
二自我检测
1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为________．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝________.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
4．若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝________.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5＝________.
探究点一 等差数列的基本量运算
例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50，
(1)求通项an； (2)若Sn＝242，求n.
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变式迁移1 设等差数列{an}的公差为d (d≠0)，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等
比数列，求公差d和通项公式an.
探究点二 等差数列的判定
例2 已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1 (n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
变式迁移2 已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值．
(2)是否存在实数λ，使得数列{an＋λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理
由．
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探究点三 等差数列性质的应用
例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这
个数列的项数．
变式迁移3 已知数列{an}是等差数列．
(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；
(2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；
(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．
探究点四 等差数列的综合应用
例4 已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若
bn＝12an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
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变式迁移4 在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn.
(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．
(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
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6.2 等差数列及其前n项和作业
一、填空题
1．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝______.
2．如果等差数列{}an中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝________.
3．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是________．
4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为________．
5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的序号是________．
①S30是Sn中的最大值；
②S30是Sn中的最小值；
③S30＝0；
④S60＝0.
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
8．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________.
9．已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若11＋an是等差数列，则a11＝________.
10．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a2n＋an－1＝0 (n≥2)，则S2n－1－4n＝________.
11．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝10，b1＝90，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的
第2 012项的值是________．
12．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则
a9b5＋b7＋a
3
b8＋b
4
的值为________．
二、解答题
13．设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.
(1)证明：a1＝d； (2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．
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14．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝1a2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
15．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)证明数列{1an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项；
(3)若λan＋1an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝Sn－12Sn－1＋1 (n≥2)，a1＝2.
(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．
