初中数学竞赛专项训练--找规律题

欢迎共阅 观察——归纳—猜想——找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：

（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；

（2）猜想符合规律的一般性结论；

（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.

一、数字类

基本技巧

（一）标出序列号：

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号：1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是2n-1

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（2)12(n），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）增副

A：2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18

答案与3有关且是n的3次幂，即：n3+1

B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：n2

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……，

序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为12n。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12n的基础上加2，得到原数列第n项12n

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：4，16，36，64，？，144，196，…？（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n2，则求出第一百个数为4*1002=40000

(一)等差数列

例题：2，5，8，()。

例题5：12，15，18，()，24，27。

欢迎共阅 A.20B.21 C.22D.23

(二)等比数列

例题1：2，1，1/2，()。

A.0B.1/4 C.1/8D.-1

例题2：2，8，32，128，()。

(三)平方数列

1、完全平方数列：

正序：1，4，9，16，25

逆序：100，81，64，49，36

2、一个数的平方是第二个数。

1)直接得出：2，4，16，(256)

解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。

2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：

1，2，5，26，(677)前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。

3、隐含完全平方数列：

1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，(35)

前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35

2)相隔加减，得到一个平方数列：

例：65，35，17，(3)，1

A.15B.13 C.9D.3

解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。

*(四)立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题1：1，8，27，64，(125)

解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

例题2：0，7，26，63，(124)

解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

(五)、加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3

例题1：1，1，2，3，5，(8)。

A8B7 C9D10

解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3+5=8答案为A。

例题2：4，5，(9)，14，23，37

A6B7 C8D9

解析：与例一相同答案为D

例题3：22，35，56，90，(145)99年考题

A162B156 C148D145

解析：22+35-1=56，35+56-1=90，56+90-1=145，答案为D

(六)、减法数列

前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3

例题1：6，3，3，(0)，3，-3

A0B1 C2D3

解析：6-3=3，3-3=0，3-0=3，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规

欢迎共阅 律”)

(七)、乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数

例题1：1，2，2，4，8，32，(256)

前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。

例题2：2，12，36，80，()(2007年考题)

A.100B.125 C.150D.175

解析：2×1，3×4，4×9，5×16自然下一项应该为6×25＝150选C，此题还可以变形为：212，322，432，245…..,以此类推，得出)1(2nn

2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。

例题2：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8(A)(99年海关考题)

A1/6B2/9C4/3D4/9

解析：3/2×2/3=12/3×3/4=1/23/4×1/3=1/41/3×3/8=1/83/8×?=1/16答案是A。

(八)、除法数列

与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：

1、两数相除等于第三数。

2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。

(九)、质数数列

由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19…

(十)、循环数列

几个数按一定的次序循环出现的数列。

例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。

1、二级数列

这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。

例1：26122030(42)

A.38B.42 C.48D.56

解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。

例2：2022253037()

A.39B.45 C.48D.51

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。

例3：25112032(47)

A.43B.45 C.47D.49

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。

例4：4571l19(35)

A.27B.31 C.35D.41

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。

例5：34716(43)

欢迎共阅 A.23B.27 C.39D.43

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。

例6：3227232018(17)

A.14B.15 C.16D.17

解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。

例7：1，4，8，13，16，20，(25)

A.20B.25 C.27D.28

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。

例8：1，3，7，15，31，(63)

A.61B.62 C.63D.64

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。

例9：(69)，36，19，10，5，2

A.77B.69 C.54D.48

解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是B。

例10：1，2，6，15，31，(56)

A.53B.56 C.62D.87

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。

例11：1，3，18，216，(5184)

A.1023B.1892 C.243D.5184

解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D：216*24=5184。

例12：-21716(28)43

A.25B.28 C.3lD.35

解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。

例13：1361015()

A.20B.21 C.30D.25

解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，则15+？=36=62呢，答案应该是B。

例14：102，96，108，84，132，(36)，（228）

解析：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。

二、设计类

【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。