初中数学——找规律

初中数学——找规律

第一讲 找规律

【知识梳理】

所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。

常见类型有：（1）数字猜想型（2）数式规律型（3）图像变化猜想型（4）数形结合猜想型（5）坐标变化型

解题策略：综合运用比较、猜想、概括、推理等方法；关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。

知识点1：循环规律：一列数每隔T项就开始循环，或一列图形（符号）每隔T个就开始循环，T叫做循环周期。如果一列数或图形的循环周期为T，则其第kT+1(k=1,2,3...)项与第1项相同；则其第kT+2(k=1,2,3...)项与第2项相同；则其第kT+3(k=1,2,3...)项与第3项相同；以此类推........

正整数的n次幂的循环规律：

对于任意一个正整数a，an(n=1,2,3...)的个位数字必循环。例如：2n（n=1,2,3...）的个位数字循环规律为：2,4,8,6,2,4,8,6，...，循环周期为4.

知识点2：不循环的规律：

等差数列：对于一列数a1,a2,a3,...,如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数，那么这列数就叫等差数列。此时后一项与前一项的差值称为公差，通常记为d。对于等差数列，其第n项为an=a1+(n-1)d,前n项的和为2)(1nnaanS.特别地，

奇数列：1,3,5,7,9，...是等差数列，公差为2，第n项为2n-1，前n项和为n2。

偶数列：2,4,6,8,10，...是等差数列，公差为2，第n项为2n，前n项和为n2+n。

等比数列： 对于一列数a1,a2,a3,...,如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定常数，那么这列数就叫等比数列。此时后一项与前一项的比值称为公比，通常记为q。对于等比数列，其第n项为an=a1qn-1.特别地，

数列 -1,1，-1,1，-1，...是等比数列，公比为-1，第n项为(-1)n ；

数列 1，-1,1，-1，...是等比数列，公比为-1，第n项为(-1)n+1 ；

数列 1，0，1，0，1，... 第n项为21-11n ；

平方数列：1,4,9,16,25，...的第n项为n2 。

【例题讲解】

1、（2015朝阳一模）一组按规律排列的式子：a2，25a，310a，417a，526a，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含的n式子表示，n为正整数）．

111210987654321 方向跳3步到达顶点C，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 ．

6、（12石景山二模）如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续跳（2-3n）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ．

7、（11北京）在上表中，我们把第i行第j列的数记为,ija（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数,ija，规定如下：当ij时，,1ija；当ij时，,0ija。例如：当2i，1j时，,2,11ijaa。按此规定，1,3a_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算1,1,11,2,21,3,31,4,41,5,5iiiiiaaaaaaaaaa的值为________。

1,1a 1,2a 1,3a 1,4a 1,5a

2,1a 2,2a 2,3a 2,4a 2,5a

3,1a 3,2a 3,3a 3,4a 3,5a

4,1a 4,2a 4,3a 4,4a 4,5a

5,1a 5,2a 5,3a 5,4a 5,5a

8、（2013朝阳一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3=18；按照这样的规律，l4= ； ln= (用含n的式子表示，n是正整数)．

yx123456789123456789O

9、（2012石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 则第4行中的最后一个数是 ，第n行中共有 个数，第n行的第n个数是 ．

第1行 1

第2行 3 5

第3行 7 9 11 13

… …

10、（2013石景山一模）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n行（n≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含n的代数式表示）

11、（2013通州一模）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为31n；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使得kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n，则：12363105FFF①　　　　　　②②第次第次第次 ……，若1n，则第2次“F运算”的结果是 ；若13n，则第2013次“F运算”的结果是 .

12、（2014年海淀一模）在一次数学游戏中，老师在ABC、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为0a，0b，0c，记为0G（0a，0b，0c）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n次操作后的糖果数记为nG（na，nb，nc）．

（1）若0G（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；

（2）小明发现：若0G（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么2014G________．

13、（2012海淀二模）小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：

挪动珠子数（颗） 2 3 4 5 6 …

所得分数（分） 5 11 19 29 41 …

按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n颗珠子时（n为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n的代数式表示）

【课堂练习】

1、（2015东城期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B,O分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为

,点B2014的坐标为 ．

2、（2015房山期末）抛物线2211-11nyxxnnnn（其中n是正整数）与x轴交于An、Bn两点，若以AnBn表示这两点间的距离，则AB_________11;

ABAB__________1122；

nnABABABAB____________.112233(用含n的代数式表示)

3、（2015丰台期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点,Pxy，其中0y，我们把点)11,1(yxP 叫

做点P的衍生点.已知点1A的衍生点为2A，点2A的衍生点为3A，点3A的衍生点为4A，…，这样依次得到点1A，2A，3A，…，nA，…，如果点1A的坐标为)1,2(，那么点3A的坐标为________；如果点1A的坐标为ba,，且点2015A在双曲线xy1上，那么ba11________．

4、（2015海淀期末）对于正整数n，定义210()=()10，，≥nnFnfnn，其中()fn表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：2(6)636F，22(123)1231310Ff．

规定1()()FnFn，1()(())kkFnFFn（k为正整数）．例如：112312310FF，21(123)((123))(10)1FFFF．

（1）求：2(4)F____________，2015(4)F______________；

（2）若3(4)89mF，则正整数m的最小值是_____________．

5、（2015怀柔期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如右图所示，

点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB xyDC2CC1B2B1BA3A2A1AO

交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于

点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，

第1个正方形的面积为 ；

第n个正方形的面积为 ．

6、（2015门头沟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（－1，－1）、B（－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．

（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，

那么B1的坐标是 ．

（2）如果正方形ABCD经过2014次这样的变换得到

正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐标是