2014年交大附中自主招生数学试卷

2014年自主招生预测试题1.函数2()24f x x x x =--的值域是__________________________.2.函数y =_____________________的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =__________________________. 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于__________________________.6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是__________________________.7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是_________________1.答案：425,8⎡⎤-⎣⎦. 提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 425cos()4y αααϕ=-+=++（其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 425y =-，故425,8y ⎡⎤∈-⎣⎦. 2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11y x e --=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan 2α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21cos 22cos 13αα=-=-. 4. 答案：5提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为1cos 1sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得2sin 21t θ=-.因两曲线相切，∴211t =-，故5t =.5. 答案：13+提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为32323113333-++=+. 6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---， 右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a ac ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件.7. 答案：126提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即126.8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=.1.（10分）集合{|10,}A x x x N *=≥∈，B 为A 的子集，若集合B 中元素满足以下条件：①任意数字都不相等；②任意两个数之和不为9（1）B 中两位数有多少？三位数有多少？（2）B 中是否有五位数？六位数？（3）若将集合B 的元素按从小到大的顺序排列，第1081个数为多少？2.（15分）1sin sin 3x y +=，1cos cos 5x y -=，求sin()x y -与cos()x y +的值。

精品文档，欢迎下载！3-56-33精品文档，欢迎下载！2014年上海实验性示范高中“科学素养”模拟题（四校版）一、填空题数学卷1.已知m 为有理数，则m -1+m -3+m +5+m +6的最小值为。

2.已知正方形的边长为1，其内接正三角形的面积最大值为最小值为。

113.已知a 是-的小数部分，b 是-的小数部分，则a -=。

b 4.方程x 3+6x 2+5x =y 3-y +2的整数解（x ，y ）的个数是。

5.如图，△ABC 中，∠BAC =60︒，AB =2AC ．点P 在△ABC 内，且PA =3，PB =5，PC =2，△ABC 的面积为。

6.如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是。

7.已知抛物线y =2x 2-mx +m 与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，m 的取值范围是。

8.设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积恰好相等的概率是．二、解答题1.已知直角三角形的三条边长都是整数，证明：至少有一条直角边的边长是3的倍数．2.已知方程x 4-x 3-56x 2+36x +720=0有两个根之比为2：3，其余两根之差为1，试解之。

3.△ABC 三边长分别为3、4、5，其内心为点O，三边关于点O 的对称点分别为A′、B′、C′．求△ABC 和△A′B′C′两个三角形重合部分的面积。

4.已知一个圆内有n 条弦，这n 条弦中每两条都相交于圆内的一点，且任何三条不共点，试证：这n 条弦将圆面分割成1n 2+1n +1个区域。

223+56+33。

华约参考答案:1.【解】五个数任取四个应该可以得到455C =个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为123454()xx x x x ++++,是4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,从而有123454445464647574xx x x x ++++++++==,故这五个数分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为3p ;若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为233(1)C p p -;若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为2324(1)C p p -,因此3232334(1)(1)q p C p p C p p =+-+-,所以32323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-,12p >; 设543()61510f p pp p p =-+-,12p >,则432()3060301f p p p p '=-+-, 即432221()306030130[(21)]30f p p p p p p p '=-+-=-+-,所以22221()30[(1)]30(30f p p p p p p p '=--=--+, 又因为1(,1)2p ∈,所以2p p <,故20p p --<, 所以令()0f p '=时,即20pp -+=,得12p ==±;又因为1(,1)2p ∈,所以取12p =+易知当11(,22p ∈时,1()0,(2f p p '>∈+时,()0f p '<,所以当12p =+时,()f p 有唯一极大值,也是最大值.3.【解】易知2221()(cossin )2sin sin 2sin 2f x x x a x b x a x b =--+=--++,令sin t x =, 则问题等价于21()22g t tax b =--++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-.①当对称轴1t a =-≤-,即1a ≥时,则()g t 在[1,1]-上递减,则1(1)21,21(1)242g a b g a b ⎧-=+-=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩,解得5,41a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩②当对称轴10a -<-<,即01a <<时,则21()121(1)242g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩,消去b 得2240aa +-=,解得1(0,1)a =-,舍去.综上①②可知,5,14a b ==-为所求.4.【解】(1)证明:由反函数定义可知(())y f g x =的反函数为(())x f g y =,故11()((()))()f x f f g y g y --==,从而111(())(())g f x g g y y ---==,所以11(())y g f x --=为(())y f g x =的反函数.(2)由()G x 的反函数是()F x ,故1(())(())G F x G G x x -==,则()((())),f x f G F x =又因为1()()G x f x -=,所以1(())(())G F x f F x -=-,代入得1()((())),((()))()()f x f G F x f fF x F x f x -==-=-=--,所以()f x 为奇函数.5.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222xy b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==,于是331||||2|sin 2|EOF E F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 6.【解】(1)当1q =时,1n n n a a np +-=,则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥由累加法得112211(2)nn n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥,即23123(1)(2)n nap p p n p n -=++++-≥ (1)①当1p =时,(1);2nn n a-=当1n =时,10a =也适合; ②当1p ≠时,232(1)n npap p n p =+++- (2)由(1)-(2)得231(1)n n nn apa p p p p n p --=++++--,所以112(1)(1)(1)11(1)n nn n n p p n p n p np p pa p p -+-----+-==--,当1n =时,10a=也适合;于是12(1)12(1)1(1)n nn n n p a n p np p p p +-⎧=⎪⎪=⎨--+⎪≠⎪-⎩.(2)由1||||||||||||n n n n n n n anp qa np qa n p a +=+≤+≤+,所以1||||||n n n a a n p +-≤,于是11||||1)||(2)n nn aa n p n ---≤(-≥由累加法得112211(2)nn n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥故1212(1)||||||||||2||(1)||(1||)n n n nn p n p p ap p n p p +---+≤+++-=-,而1(1)||||(1)||||||0n n n n n p n p n p n p p +--≤--=-<,于是当2n ≥时,有2||||(1||)np a p <-,显然10a=也成立.于是na 有上界.7.【证明】原不等式等价于2((1))xn nx n x n e n-≤-⋅.当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;当2xn <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnn n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证.。

2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。