课时规范练15 导数与函数的小综合基础巩固组1.函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)2.(2017山东烟台一模)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( )>0,b>0,c>0,d<0 >0,b>0,c<0,d<0 <0,b<0,c>0,d>0 >0,b>0,c>0,d>03.若f (x )=-1(x-2)2+b ln x 在(1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1) 4.(2018湖南郴州一模)若b>a>3,f (x )=lnxx,则下列各结论中正确的是( )(a )<f (√ab )<f (a+b)(√ab )<f (a+b2)<f (b ) (√ab )<f (a+b2)<f (a )(b )<f (a+b2)<f (√ab )5.(2018衡水中学九模,8)已知函数f (x )=2x-ln |x|,则f (x )的大致图象为( )6.函数f (x )=12x 2-ln x 的最小值为( )A.12 D.不存在7.已知函数f (x )=x (ln x-ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B .(0,12)C .(0,1)D .(0,+∞)8.(2018衡水中学月考,21改编)已知函数f (x )=ln x-2x 2+3,则函数f (x )的单调增区间为 . 9.设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .10.(2018河北衡水中学仿真,21改编)已知函数f (x )=e x -(1+a )x-b (a ,b ∈R ),其中e 为自然对数的底数.讨论函数f (x )的单调性及极值.综合提升组11.若函数f (x )=x+bx(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点,则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-2) 12.(2018河北衡水中学九模,15)设函数f (x )=x 2+1x ,g (x )=x e x ,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式g (x 1)k≤f (x 2)k+1恒成立,则正数k 的取值范围是 .创新应用组13.(2018陕西咸阳二模,12)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f'(x ),且f (x )+f'(x )>1,设a=f (2)-1,b=e[f (3)-1],则a ,b 的大小关系为( ) <b >b =b D.无法确定14.(2018湖南长郡中学三模,12)若函数f (x )在区间A 上,对∀a ,b ,c ∈A ,f (a ),f (b ),f (c )为一个三角形的三边长,则称函数f (x )为“三角形函数”.已知函数f (x )=x ln x+m 在区间[1e 2,e]上是“三角形函数”,则实数m 的取值范围为( )A.(1,e 2+2) B.(2,+∞) C.(1e ,+∞)D.(e 2+2e ,+∞)课时规范练15 导数与函数的小综合函数f (x )=(x-3)e x 的导数为f'(x )=[(x-3)e x ]'=e x +(x-3)e x =(x-2)e x .由导数与函数单调性的关系,得当f'(x )>0时,函数f (x )单调递增,此时由不等式f'(x )=(x-2)·e x >0,解得x>2. 由题图可知f (0)=d>0,排除选项A,B;∵f'(x )=3ax 2+2bx+c ,且由题图知(-∞,x 1),(x 2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D .故选C .由题意可知f'(x )=-(x-2)+bx ≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立,即b ≤x (x-2)在x ∈(1,+∞)上恒成立.由于φ(x )=x (x-2)=x 2-2x 在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b ≤-1即可.∵f (x )=lnxx ,∴f'(x )=1-lnxx 2. 令f'(x )=0,解得x=e .当x ≥e 时,f'(x )<0,为减函数;当0<x<e 时,f'(x )>0,为增函数.∵b>a>3>e,∴ab>b>a+b2>√ab >a>e,∴f (a )>f (√ab )>f (a+b2)>f (b )>f (ab ).故选D . 当x<0时,f (x )=2x-ln(-x ),f'(x )=2-1-x ·(-1)=2-1x>0,∴f (x )在(-∞,0)单调递增,则B 、D 错误;当x>0时,f (x )=2x-ln x ,f'(x )=2-1x =2x -1x ,则f (x )在(0,12)单调递减,在(12,+∞)单调递增,故选A . f'(x )=x-1x =x 2-1x ,且x>0.令f'(x )>0,得x>1;令f'(x )<0,得0<x<1.∴f (x )在x=1处取得极小值也是最小值,且f (1)=12-ln 1=12.∵f (x )=x (ln x-ax ),∴f'(x )=ln x-2ax+1,由题意可知f'(x )在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'(x )=0,得2a=lnx+1x ,设g (x )=lnx+1x ,则g'(x )=-lnxx 2,∴g (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.∵当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→0,而g (x )max =g (1)=1,∴只需0<2a<1,即0<a<12.8.(0,12) 依题意,f'(x )=1x -4x=1-4x 2x=(1+2x )(1-2x )x,x ∈(0,+∞). 令f'(x )>0,即1-2x>0,解得0<x<12.故函数f (x )的单调递增区间为(0,12).9.(-∞,-1)∪(0,1) 当x>0时,令F (x )=f (x )x ,则F'(x )=xf '(x )-f (x )x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f (x )x 为减函数.∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0.在区间(0,1)内,F (x )>0;在(1,+∞)内,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 10.解 由题意,得f'(x )=e x -(1+a ).当1+a ≤0,即a ≤-1时,f'(x )>0,f (x )在R 内单调递增,没有极值. 当1+a>0,即a>-1时,令f'(x )=0,得x=ln(a+1), 当x<ln(a+1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x>ln(a+1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,故当x=ln(a+1)时,f (x )取得极小值f (ln(a+1))=a+1-b-(1+a )ln(a+1),无极大值.综上所述,当a ≤-1时,f (x )在R 内单调递增,没有极值;当a>-1时,f (x )在区间(-∞,ln(1+a ))内单调递减,在区间(ln(1+a ),+∞)内单调递增,f (x )的极小值为a+1-b-(1+a )ln(a+1),无极大值.由题意知,f'(x )=1-bx 2,∵函数f (x )=x+bx (b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点, ∴当1-bx 2=0时,b=x 2.又x ∈(1,2),∴b ∈(1,4),令f'(x )>0,解得x<-√b 或x>√b , 即f (x )的单调递增区间为(-∞,-√b ),(√b ,+∞). ∵b ∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意,故选D . 12.[12e -1,+∞) 对任意x 1,x 2∈(0,+∞),不等式g (x 1)k≤f (x 2)k+1恒成立等价于(g (x 1)k )max≤(f (x 2)k+1)min,∵x>0,∴f (x )=x 2+1x =x+1x ≥2,当且仅当x=1时取等号,∴f (x )min =f (1)=2,即(f (x 2)k+1)min=2k+1,g'(x )=e x -xe x (e x )2=1-x e x,当0<x<1时,g'(x )>0,当x>1时,g'(x )<0,∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g (x )max =g (1)=1e ,∴(g (x 1)k )max=1ke ,∴1≤2,解得k ≥1. 设g (x )=e x [f (x )-1]=e x f (x )-e x ,则g'(x )=e x f (x )+e x f'(x )-e x =e x [f (x )+f'(x )-1].∵f (x )+f'(x )>1,∴g'(x )>0,即函数g (x )是R 上的增函数,则g (2)<g (3), ∵g (2)=e 2[f (2)-1]=e 2a ,g (3)=e 3[f (3)-1]=e 2b ,∴e 2a<e 2b ,即a<b. ∵f'(x )=ln x+1,∴f (x )在[1e 2,1e )单调递减,在[1e ,e]单调递增,f (x )min =f (1e )=-1e+m ,f (x )max =f (e)=e +m ,当2f (x )min >f (x )max 时,函数f (x )就是“三角形函数”, ∴2(-1e +m)>e +m ,解得m>e +2e ,故选D .。
专题15导数与函数的极值、最值最新考纲1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).重点难点突破【题型一】用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值【典型例题】函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．【再练一题】已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（﹣1）＝0，f′（2）＝0 但当x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，x＞2时，f′（x）＜0∴﹣1不是极值点，2是函数f（x）的极大值点故选：C．命题点2 求函数的极值【典型例题】设f（x）＝x3x2﹣2x+5（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）求极值点与极值．【解答】解：（I）f（x）＝x3x2﹣2x+5，f′（x）＝3x2﹣x﹣2，令f′（x）＞0即3x2﹣x﹣2＞0解得x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）令f′（x）＜0即3x2﹣x﹣2＜0解得x∈（，1），故函数在，（1，+∞）上为单调递增区间，在上为单调递减区间．（II）由f′（x）＝0，即3x2﹣x﹣2＝0解得x或x＝1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，）（，1）1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↑极大值↓极小值↑∴当x＝1时，f（x）取得极小值，当x时，f（x）取得极大值．【再练一题】已知函数f（x）＝（x2﹣mx﹣m）e x+2m（m＞﹣2，e是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（）A．4e﹣2或（4+ln2）e﹣2+2ln2B．4e﹣2或（4+ln2）e2+2ln2C．4e﹣2或（4+ln2）e﹣2﹣2ln2D．4e﹣2或（4+ln2）e2﹣2ln2【解答】解：由题意知，f′（x）＝[x2+（2﹣m）x﹣2m]e x＝（x+2）（x﹣m）e x．由f′（x）＝0得，x1＝﹣2，x2＝m，因为m＞﹣2，所以函数f（x）在区间（﹣∞m﹣2）和（m，+∞）内单调递增，在区间（﹣2，m）内单调递减．于是函数f（x）的极小值为f（m）＝0，即x2﹣（m2﹣m2﹣m）e x+2m＝0，m（2﹣e x）＝0，解得m＝0或m＝ln2，当m＝0时，f（x）的极大值为f（﹣2）＝4e﹣2．当m＝ln2时，f（x）的极大值为f（﹣2）＝（4+ln2）e﹣2+2ln2．故选：A．命题点3 根据极值求参数【典型例题】已知函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值X围（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．，解得a．故选：A．【再练一题】已知x函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，则a＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：函数f（x）＝xln（ax）+1，可得f′（x）＝ln（ax）+1，已知x函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，可得：ln（a）+1＝0，解得a＝1，经验证a＝1时，x函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，故选：B．思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．【题型二】用导数求函数的最值【典型例题】函数f（x）＝e x﹣2x的最小值为．【解答】解：f′（x）＝e x﹣2，令f′（x）＝e x﹣2＝0，解得x＝ln2．可得：函数f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x＝ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）＝2﹣2ln2．故答案为：2﹣2ln2．【再练一题】已知函数，其导函数f′（x）为偶函数，，则函数g（x）＝f′（x）e x在区间[0，2]上的最小值为（）A．﹣3e B．﹣2e C．e D．2e【解答】解：由函数的解析式可得：f′（x）＝x2+2mx+n，导函数为偶函数，则m＝0，故，，∴n＝﹣3．函数的解析式为，故g（x）＝e x（x2﹣3），g′（x）＝e x（x2﹣3+2x）＝e x（x﹣1）（x+3），据此可知函数g（x）在区间[0，1）上单调递减，在区间（1，2]上单调递增，函数g（x）的最小值为g（1）＝e1⋅（12﹣3）＝﹣2e．故选：B．思维升华求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【题型三】函数极值和最值的综合问题【典型例题】已知函数f（x）＝ax2+bx+clnx（a＞0）在x＝1和x＝2处取得极值，且极大值为，则函数f（x）在区间（0，4]上的最大值为（）A．0B．C．2ln2﹣4D．4ln2﹣4【解答】解：函数的导数f′（x）＝2ax+b∵f（x）在x＝1和x＝2处取得极值，∴f′（1）＝2a+b+c＝0 ①f′（2）＝4a+b0 ②，∵f（x）极大值为，∵a＞0，∴由函数性质当x＝1时，函数取得极大值为，则f（1）＝a+b+cln1＝a+b，③，由①②③得a，b＝﹣3，c＝2，即f（x）x2﹣3x+2lnx，f′（x）＝x﹣3，由f′（x）＞0得4≥x＞2或0＜x＜1，此时为增函数，由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时f（x）为减函数，则当x＝1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）＝8﹣12+2ln4＝4ln2﹣4，即函数在区间（0，4]上的最大值为4ln2﹣4，故选：D．【再练一题】设函数f（x）＝lnx﹣x+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间上的极值及最值．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣x+1，x＞0，∴f′（x）1，令f′（x）＝0，解得x＝1，当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0，即x＞1，函数f（x）单调递减，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，（2）由（1）可知，f（x）在[，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，当x＝1时，函数有极大值，极大值为f（1）＝0，极大值即为最大值，即最大值为0，∵f（）ln2，f（2）＝ln2﹣1，由于ln2﹣ln2+12ln2＞0，∴f（）＞f（2），∴f（x）min＝ln2﹣1．思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规X，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．基础知识训练1．【某某市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】设函数，则（ ）A ．2x =为()f x 的极大值点B ．2x =为()f x 的极小值点C ．2x =-为()f x 的极大值点D ．2x =-为()f x 的极小值点【答案】D 【解析】 因为，所以，由得2x =-，所以，当2x >-时，()0f x '>，故单调递增；当2x <-时，()0f x '<，故单调递减；所以函数在1a =-处取得极小值，无极大值.故选D2．【某某省日照实验高级中学2018-2019学年高二下学期第二次阶段性考试】函数的极值点是（ ） A ．1x = B ．0x =C ．1x =或-1或0D ．1x =-【答案】B 【解析】 函数的导数为；令()0f x '=，解得：11x =-，20x =，x =31，令()0f x '>，解得：0x >，函数的单调增区间为(0,)+∞； 令()0f x '<，解得：0x <，函数的单调减区间为(,0)-∞； 所以当0x =时，函数取极小值。
课时规范练15 导数与函数的小综合基础巩固组1.函数f()=(-3)e的递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)2.已知函数f()=a3+b2+c+d的图像如图所示,则下列结论成立的是()A.a>0,b>0,c>0,d<0B.a>0,b>0,c<0,d<0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d>03.若f()=- (-2)2+b ln 在(1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是()A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1)4.(2018湖南郴州一模)若b>a>3,f()=,则下列各结论中正确的是()A.f(a)<f()<fB.f()<f<f(b)C.f()<f<f(a)D.f(b)<f<f()5.(2018衡水中学九模,8)已知函数f()=2-ln||,则f()的大致图像为()6.函数f()= 2-ln 的最小值为()A. B.1C.0D.不存在7.已知函数f()=(ln -a)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.C.(0,1)D.(0,+∞)8.(2018衡水中学月考,21改编)已知函数f()=ln -22+3,则函数f()的递增区间为.9.设函数f'()是奇函数f()(∈R)的导函数,f(-1)=0,当>0时,f'()-f()<0,则使得f()>0成立的的取值范围是.10.(2018河北衡水中学押题二,21改编)设函数f()=-a2ln +2-a(a∈R).试讨论函数f()的单调性.综合提升组11.若函数f()=+ (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f()在下列区间上递增的是()A.(-2,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-2)12.(2018衡水中学九模,15)设函数f()=,g()=,对任意1,2∈(0,+∞),不等式恒成立,则正数的取值范围是.创新应用组13.(2018陕西咸阳二模,12)已知定义在R上的函数f()的导函数为f'(),且f()+f'()>1,设a=f(2)-1,b=e[f(3)-1],则a,b的大小关系为()A.a<bB.a>bC.a=bD.无法确定14.(2018湖南长郡中学三模,12)若函数f()在区间A上,对任意a,b,c∈A,f(a),f(b),f(c)为一个三角形的三边长,则称函数f()为“三角形函数”.已知函数f()=ln +m在区间上是“三角形函数”,则实数m的取值范围为()A. B.C. D.参考答案课时规范练15 导数与函数的小综合1.D函数f()=(-3)e的导数为f'() =[(-3)e]'=e+(-3)e=(-2)e.由导数与函数单调性的关系,得当f'()>0时,函数f()单调递增,此时由不等式f'()=(-2)·e>0,解得>2.2.C由题图可知f(0)=d>0,排除选项A,B;∵f'()=3a2+2b+c,且由题图知(-∞,1),(2,+∞)是函数的递减区间,可知a<0,排除D.故选C.3.C由题意可知f'() =-(-2)+≤0在∈(1,+∞)上恒成立,即b≤(-2)在∈(1,+∞)上恒成立.由于φ()=(-2)=2-2在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可.4.D∵f()=,∴f'()=.令f'()=0,解得=e.当≥e时,f'()<0,此时f()是减少的;当0<<e时,f'()>0,此时f()是增加的.∵b>a>3>e,∴ab>b>>>a>e,∴f(a)>f()>f>f(b)>f(ab).故选D.5.A当<0时,f()=2-ln(-),f'()=2-·(-1)=2->0,∴f()在(-∞,0)内递增,则B、D错误;当>0时,f()=2-ln ,f'()=2-=,则f()在内递减,在内递增,故选A.6.A f'()=-=,且>0.令f'()>0,得>1;令f'()<0,得0<<1.∴f()在=1处取得极小值也是最小值,且f(1)= -ln 1=.7.B∵f()=(ln -a),∴f'() =ln -2a+1,由题意可知f'()在(0,+∞)内有两个不同的零点,令f'()=0,得2a=,设g()=,则g'()=,∴g()在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减.∵当→0时,g()→-∞,当→+∞时,g()→0,而g()=g(1)=1,∴只需0<2a<1,即0<a<.ma8. 依题意,f'()= -4==,∈(0,+∞).令f'()>0,即1-2>0,解得0<<.故函数f()的递增区间为.9.(-∞,-1)∪(0,1)当>0时,令F()=,则F'()=<0,∴当>0时,F()=是减少的.∵f()为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)内,F()>0;在(1,+∞)内,F()<0,即当0<<1时,f()>0;当>1时,f()<0.又f()为奇函数,∴当∈(-∞,-1)时,f()>0;当∈(-1,0)时,f()<0.综上可知,f()>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).10.解∵f()=-a2ln +2-a,∴函数f()的定义域为(0,+∞),f'()=-+2-a==.①若a>0,则当∈(0,a)时,f'()<0,函数f()递减,当∈(a,+∞)时,f'()>0,函数f()递增;②若a=0,则当f'()=2>0在∈(0,+∞)内恒成立,函数f()递增;③若a<0,则当∈时,f'()<0,函数f()递减,当∈时,f'()>0,函数f()递增.11.D由题意知,f'()=1-,∵函数f()=+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,∴当1-=0时,b=2.又∈(1,2),∴b∈(1,4),令f'()>0,解得<-或>,即f()的递增区间为(-∞,-),(,+∞).∵b∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意,故选D.12. 对任意1,2∈(0,+∞),不等式≤恒成立等价于≤,∵>0,∴f()==+≥2,当且仅当=1时取等号,=f(1)=2,∴f()min即=,g'()==,当0<<1时,g'()>0,当>1时,g'()<0,∴函数g()在区间(0,1)上递增,在区间(1,+∞)上递减,∴g()ma=g(1)=,∴=,∴≤,解得≥.13.A设g()=e[f()-1]=e f()-e,则g'()=e f()+e f'()-e=e[f()+f'()-1].∵f()+f'() >1,∴g'()>0,即函数g()是R上的增函数,则g(2)<g(3),∵g(2)=e2[f(2)-1]=e2a,g(3)=e3[f(3)-1]=e2b,∴e2a<e2b,即a<b.14.D∵f'()=ln +1,∴f()在区间内递减,在区间上递增,f()min =f=-+m,f()ma=f(e)=e+m,当2f()min>f()ma时,函数f()就是“三角形函数”, ∴2>e+m,解得m>e+,故选D.。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《函数的极值与最值》【题型一】：利用导数解决函数的极值等问题 【题型二】：利用导数解决函数的最值问题【题型三】：导数在研究实际问题中最值问题的应用 【题型一】：利用导数解决函数的极值等问题【例1】.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
又(1)3,'(1)12f f ==所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 【变式训练】：【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．【解析】（1）由()22,x f x e x a x =-+∈R 知()2,x f x e x '=-∈R ．令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+(2)证明：设2()21x g x e x ax =-+-，x ∈R 于是()22x g x e x a '=-+，x ∈R由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+> 于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增． 于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >． 而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>． 即2210x e x ax -+->，故221x e x ax >-+．【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。
