导数与函数单调性的关系

编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 数学教研工作室 1 5.3.1函数的单调性与导数 导学案 【学习目标】 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次) 【自主学习】 知识点1函数的单调性与导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 知识点2利用导数求函数的单调区间 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间.或则作出导函数的函数图像，x轴上方对应函数的递增区间，x轴下方对应函数递减区间

知识点3 导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 数学教研工作室 2 反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.

如图，函数y＝f(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(－∞，a)和(b，＋∞)内的图象“平缓”. 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波

数学教研工作室 3 【合作探究】 探究一 利用导数确定函数的单调区间 例1求下列函数的单调区间.

(1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋1x .

解 (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞).∵f′(x)＝6x－2x，令f′(x)＝0，得x1＝33，x2＝－

3

3

(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：

2.［人B选必三P95练习B第1题变式］对于上可导的任意函数,若满足 ,则必有( )
C
A. B. C. D.
【解析】由，得或①函数在上单调递减， ;在上单调递增，，所以.②若函数 为常数函数，则.综合①②得 .故选C.
3.［人B选必三P114复习题C组第2题变式］已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有 ，则下列表述正确的是( )
求解含参函数的单调性的技巧对于含参数的函数的单调性问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.如果一阶导数的正负不好判断，那么需要对一阶导函数进行求导，判断二阶导数的正负.分类讨论主要是：①讨论 是否有根；②讨论 的根是否在定义域内；③讨论根的大小关系.
注意 （1）讨论含参数的函数的单调性时优先考虑导数是否恒大于0或恒小于0，再考虑可能大于0或小于0的情况；（2）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如 , （ 在 时取到）， 在 上是增函数.
变式4 在区间上单调已知函数，若函数在上单调递减，则实数 的取值范围为__________.
【解析】 解法一 因为在上单调递减，所以在上恒成立.所以 即 解得,即实数的取值范围为 .解法二 由题意知在上恒成立，所以在 上恒成立.记,当时，,（由对勾函数的单调性可得）所以,即实数 的取值范围为 .
【解析】 由变式4知在上单调递减时，的取值范围是.若在 上单调递增，则在上恒成立，又在上的值域为,所以实数 的取值范围是,所以函数在上单调时，实数的取值范围是,故 在上不单调时，实数的取值范围是 （补集思想的应用）
变式7 递增和递减区间同时存在如果函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增，则实数 的取值范围是( )
2.确定单调区间端点值的两个依据：（1）导函数等于0的点；（2）函数不连续的点.

答案:A
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,

单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。