2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩其导函数在0x =处连续,则λ的取值范围是 .(2)已知曲线b x a x y+-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b.(3)设0,a >,01,()()0,,a x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩若其他而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵T E A αα-=,T aE B αα1+=其中A 的逆矩阵为B ,则a =.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(= (A ) 在0x =处左极限不存在. (B ) 有跳跃间断点0x =. (C ) 在0x =处右极限不存在.(D ) 有可去间断点0x =.(2)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是 (A ) ),(0y x f 在0y y=处的导数等于零.(B ) ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C )),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D ) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A ) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C )∑∞=1n na若条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(D ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩等于1,则必有(A ) a b =或20a b +=. (B ) a b =或20a b +≠. (C ) a b ≠且20a b +=.(D ) a b ≠且20a b +≠.(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确．．．的是 (A ) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B ) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,有1122k k αα+0.s s k α++=L(C ) s ααα,,,21 线性无关的充要条件是此向量组的秩为s . (D ) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A ) 321,,A A A 相互独立. (B ) 432,,A A A 相互独立. (C ) 321,,A A A 两两独立.(D ) 432,,A A A 两两独立.三、(本题满分8分) 设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-,试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求 .2222ygx g ∂∂+∂∂五、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D =}.),{(22π≤+y x y x六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足一下条件:)()(x g x f =',)()(x f x g ='且(0)0f =,.2)()(x e x g x f =+(1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求()F x 出的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证必存在(0,3)ξ∈,使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为12-.(1)求,a b 的值;(2)利用正交变换将二次型化f 为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为[1,8],();0,xf x∈=⎩其他()F x是X的分布函数,求随机变量()Y F X=的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立,其中的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X,而Y的概率密度为()f y,求随机变量U X Y=+的概率密度()g u.2003年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】从题意知参数λ是在实数集中取值,这时幂函数xλ的定义域为0x>.故题目中的函数宜改为10,cos,()0.0,xxf x xxλ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若以下讨论这个函数()f x的导函数'()f x在0x=处的连续的条件.显然()f x在0x=可导的充要条件是1λ>,且当1λ>时有'1001cos01(0)lim lim cos0.x xxxf xx xλλ++-+→→-===-由()f x是偶函数,又可得''00()(0)()(0)(0)lim lim(0)0.00x xf x f f x ff fx x---+→→---==-=-=---故当1λ>时,'(0)f存在且等于0.注意,当0x >时,1211'()cossin f x x x x x λλλ--=+; 当0x <时,1211'()cos sin f x xx x xλλλ--=+. 于是()f x 由的导函数在0x =处连续得0lim '()'(0)0x f x f →==,故λ的取值范围是2λ>.(2)【分析】22'()33y x x a =-,令'()0y x =有x a =或x a =-.由题设还有3330a a b -+=或3330a a b -++=,所以32b a =或32b a =-,即264b a =.(3)【分析】 由题设知201,01,()()0,x y x a f x g y x ⎧≤≤≤-≤-=⎨⎩若且其他,于是,令1{(,)01,01}{(,)01,1}D x y x y x x y x x y x =≤≤≤-≤=≤≤≤≤+,则1112220()()x xDD I f x g y x dxdy a dxdy adx dy a +=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 按可逆定义,有AB E =,即()111()TTT T T T E E E aa aαααααααααααα-+=+--.由于22T a αα=,而Tαα是秩为1的矩阵,故111(12)0120, 1.2T AB E a a a a a a αα=⇔--=⇔--=⇒==-已知0a <,故应填:1-.(5)【分析】 (0.4),DZ D X DX =-=(,)(,0.4)(,)(,),0.9.XY XY Cov Y Z Cov Y X Cov Y X Cov X Y ρρ=-======(6)【分析】 根据简单随机样本的性质,n X X X ,,,21 相互独立都服从参数为2的指数分布,因此22212,,,nX X X L 也都相互独立同分布,且它们共同的期望值为222111()().422i i i EX DX EX =+=+= 根据辛钦大数定律,当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于其期望值12,因此应填:12.二、选择题(1)【分析】 由()f x 是奇函数有(0)0f =.又因为)0(f '存在,所以00()(0)()(0)limlim lim ().0x x x f x f f x f g x x x→→→-'===- 由于函数()g x 在点0x =无定义,但存在0lim ()'(0)x g x f →=,所以0x =是()g x 的可去间断点.故应选(D ).(2)【分析】 由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微,知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零.从而有000(,)(,)(,)0.y y x y x y df x y f dyy==∂==∂故应选(A ).(3)【分析】 利用正项级数的比较判别法,由级数∑∞=1n na绝对收敛以及0,0n n n n p a q a ≤≤≤-≤可知,正项级数∑∞=1n np与1()nn q ∞=-∑都收敛,从而∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛,故应选(B ).(4)【分析】 根据伴随矩阵A *秩的关系式,(),()1,()1,0,()1,n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若知()1()2r A r A *=⇔=.若a b =,易见()1r A ≤,故可排除(A ),(B ).当a b ≠时,A 中有2阶子式0a b b a≠,若()2r A =,按定义只需0A =.由于2222(2)().a b a b a b A b a b a b a b b b a +++⎡⎤⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以应选(C ).(5)【分析】 按线性相关定义:若存在不全为零的数s k k k ,,,21 ,使11220s s k k k ααα+++=L ,①则称向量组s ααα,,,21 线性相关.即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 有非零解,则向量组s ααα,,,21 线性相关,而非零解就是关系式①中的组合系数.按定义不难看出(B )是错误的,因为①式中的常数s k k k ,,,21 不能是任意的,而应当是齐次方程组的解.所以应选(B ).而向量组s ααα,,,21 线性无关,即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 只有零解,亦即系数矩阵的秩12(,,,)s r s ααα=L.故(C )是正确的,不应当选.因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,那么,若s k k k ,,,21 不全为0,则12(,,,)T s k k k L 必不是齐次方程组的解,即必有02211≠+++s s k k k ααα .可知(A )是正确的,不应当选.因为“如果s ααα,,,21 线性相关,则必有11,,,s s ααα+L 线性相关”,所以,若s ααα,,,21 中有某两个向量线性相关,则必有s ααα,,,21 线性相关.那么s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关.因此(D )是正确的,不应当选.(6)【分析】 123411211(),(),(),(),22424P A P A P A P A ===== 124132312311()(),()(),()()044P A A P A P A A P A A P A A A P =====∅=.计算看出121213132323()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A ===但是123123()()()()P A A A P A P A P A ≠.因此事件123,,A A A 两两独立但不相互独立.应选(C ).进一步分析,由于事件24A A ⊃,故2A 与4A 不独立.因此不能选(B )与(D ).三、【解】利用sin sin[(1)]sin (1)x x x ππππ=--=-,并令(1)y x π=-,有111(1)sin lim ()lim (1)sin x x x xf x x xπππππ--→→--=+-200001sin 1sin lim lim sin 11cos 1sin 1lim lim .22y y y y y y y yy y y y y y πππππ++++→→→→--=+=+-=+=+=由于()f x 在1[,1)2上连续,因此定义1(1)f π=,就可使()f x 在]1,21[上连续.四、【解】由一阶全微分形式不变性,得221()()()()2f f f f dg d xy d x y ydx xdy xdx ydy u v u v ∂∂∂∂=+-=+--∂∂∂∂ ()()f f f f y x dx x y dy u v u v∂∂∂∂=++-∂∂∂∂.于是,g f f g f f y x x y x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂. 故22222222()()()()g f f f f f f f f y x y y x y x x x u x v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂22222222,f f f f y xy x u u v v v ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 22222222()()()()g f f f f f f f fx y x x y y x y y y u y v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=----∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 22222222.f f f f x xy y u u v v v ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂ 所以 22222222222222()().g g f f y x x y x y x y u v∂∂∂∂+=+++=+∂∂∂∂五、【解】作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,有2222()2220sin()sin x y r DI eex y dxdy ed r dr πππθ-+-=+=⎰⎰⎰.令2t r =,则0sin t Ie e tdt πππ-=⎰.记0sin t A e tdt π-=⎰,于是sin sin cos t t t A tde e te tdt πππ---=-=-+⎰⎰cos cos sin 1.t t t tde e te tdt e A ππππ----=-=--=+-⎰⎰由此可解得1(1).2A e π-=+ 因此 (1)(1).22I e A e e e πππππππ-==+=+六、【解】将等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑逐项求导,得 2121'()(1)(1).1n n n xf x x x x ∞-==-=-<+∑ 上式两边从0到x 积分,有2201()(0)ln(1)(1).12xt f x f dt x x t -=-=-+<+⎰由于(0)1f =,故得到了和函数()f x 的表达式21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<令'()0f x =,可求出函数()f x 有唯一驻点0x =,因为2221''()''(0)10,(1)x f x f x -=-⇒=-<+ 可见()f x 在点0x =处取得极大值,且极大值为(0)1f =.七、【解】(1)由22()'()()()'()()()F x f x g x f x g x f x g x =+=+22[()()]2()()(2)2().x f x g x f x g x e F x =+-=-可知()F x 所满足的一阶微分方程为2'()2()4.xF x F x e+=(2)用2xe同乘方程两边,可得24(())'4xx eF x e =,积分即得22()4,x x e F x e C =+于是方程的通解是22().xx F x eCe -=+将(0)(0)(0)0F f g ==代入上式,可确定常数1C =-.故所求函数的表达式为22().x x F x e e -=-八、【分析】 本题关键是证明存在一点[0,3)c ∈,使()1f c =,然后(3)1f =,用用罗尔定理即可.【证明】因为()f x 在[0,3]上连续,所以()f x 在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是(0),(1),(2).m f M m f M m f M ≤≤≤≤≤≤故(0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤这表明1[(0)(1)(2)]3f f f ++是函数()f x 当[0,2]x ∈时的值域[,]m M 上的一个点.由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知,至少存在一点[0,2]c ∈,使(0)(1)(2)()13f f f f c ++==.因为()1(3)f c f ==,且()f x 在[,3]c 上连续,在(,3)c 内可导,所以由罗尔定理知,必存在(0,3)(0,3),ξ∈⊂使.0)(='ξf九、【解】方程组的系数行列式12312312312312300000n n n n n a b a a a a b a a a a a b a a b b A a a a b a bb a a a a bbb+++-=+=-+-L L LL LL M M M M M M MM LL2311000().000000in nn i i a ba a ab b a b b b-=+==+∑∑L L L M M M M L(1)当0b ≠且10ni i a b =+≠∑时,0A ≠,方程组仅有零解.(2)当0b =时,原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=L由10nii a=≠∑可知(1,2,,)i a i n =L 不全为零,不妨设10a ≠.因为秩()1r A =,取23,,,n x x x L 为自由变量,可得到方程组的基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,).T T T n n a a a a a a ααα-=-=-=-L L L L当1n i i b a ==-∑时,由10nii a=≠∑知0b ≠,系数矩阵可化为12312311100001010110000.1010100100000011nn in i a b a a a a a a a a b b A bb bb =⎡⎤+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦∑L L L L L L LM M M M uu r uu r L MM M M L M M MM L LL①②由于秩()1r A n =-,则0Ax =的基础解系是(1,1,1,1)T α=L .十、【解】(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=,由题设,有 12321232(2)1,1,22(2)12.a ab A a b λλλλλλ++=++-=⎧⎪⇒==⎨==--=-⎪⎩(已知0b >). (2)由矩阵A 的特征多项式21021220(2)(2)(3),22202E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-+-+-+得到A 的特征值1232, 3.λλλ===-对于2λ=,由102102(2)0,000000,204000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于2λ=的线性无关的特征向量12(0,1,0),(2,0,1).T T αα==对于3λ=-,由402201(3)0,050010,201000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于3λ=-的特征向量3(1,0,2)T α=-.由于123,,ααα已两两正交,故只需单位化,有123(0,1,0),,2).T T T γγγ===- 那么,令1230(,,)100.0P γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣则P 为正交矩阵,在正交变换x Py =下,有122.3T P AP P AP -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦二次型的标准型为222123223f y y y =+-.十一、【解】 易见,当1x <时,()0F x =;当8x >时,()1F x =.对于[1,8]x ∈,有1()1xf x ==⎰.设()G y 是随机变量()Y F X =的分布函数.显然当0y ≤时,()0G y =;当1y ≥时,()1G y =. 对于(0,1)y ∈,有(){}{()}1}G y P Y y P F X y P y =≤=≤=≤33{(1)}[(1)].P X y F y y =≤+=+=于是,()Y F X =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二、【解】 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤0.3{1}0.7{2}0.3{11}0.7{22}.P X Y u X P X Y u X P Y u X P Y u X =+≤=++≤==≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}0.3(1)0.7(2).G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-由此,得U 的概率密度()'()0.3'(1)0.7'(2)0.3(1)0.7(2).g u G u F u F u f u f u ==-+-=-+-。
2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= .【答】 2e【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim 00e ee x x x x x x ==+++→→（2）dx e x x x∫−−+11)(= .【答】 )21(21−−e 【详解】dx ex x x∫−−+11)(=dx xedx ex xx∫∫−−−−+1111=dx ex x−−∫111122x x xe dx xde −−+=−∫∫=1102()xx xe e dx −−−−∫ =)21(21−−e .(3)设a>0，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(= .【答】2a 【详解】 ∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ∫∫≤−≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=−+=∫∫∫+（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(−−E A = .【答】 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=−−−， E E B E A 2)2)((=−−， E E B E A =−⋅−)2(21)(， 可见 1)(−−E A =)2(21E B −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T"α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα−=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= . 【答】 -1【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+−= =TT T T a a E αααααααα⋅−+−11=TT T T a a E αααααααα)(11−+−=TT T a a E αααααα21−+−=E aa E T=+−−+αα)121(,于是有 0121=+−−a a ，即 0122=−+a a ，解得 .1,21−==a a 由于a<0 ,故a=-1.（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .【答】 6 【详解】 因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=××+=⋅⋅DY DX XY ρ二、选择题（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. 【答】 [ D]【详解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 1=−∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处21x xe y =无定义，且∞=→1lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 【答】 [ A ] 【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅−−=−−++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ−=⋅−−−=−−−−→→x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔−=ϕϕϕ 故应选(A).（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. 【答】 [ A ]【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00=′y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【答】 [ C ]【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−，秩(B-E)=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). （5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. 【答】 [ B ]【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答】 [ C ]【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关⇔X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).三 、（本题满分8分） 设 21,0(,)1(11sin 1)(∈−−−=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim 0x f x +→= -.1π+xx xx x ππππsin sin lim 0−+→= -220sin lim 1ππππx x x x −++→= -xxx 202cos lim 1πππππ−++→= -2202sin lim 1ππππxx +→+ = -.1π由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义π1)0(−=f ，使f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g −=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【详解】v f x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vfy u f x y g ∂∂−∂∂=∂∂ 故 v f v f x v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂−∂∂+∂∂∂−∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=∫∫−+−π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=∫∫+−π=.sin 2022dr r re d e r ∫∫−πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0∫−=πππ.记 tdt e A t sin 0∫−=π，则t t de e A −−∫−=int 0π=]cos sin [0∫−−−−ππtdt e te t t=∫−−πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ∫−−+−ππ=.1A e −+−π因此 )1(21π−+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=−六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t−=)(在),(+∞−∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.【详解】 由0ln )(=−=′a a a t f t，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aaa t −= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(−=在a>1时的最小值. 令 0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=−−=−−=′a a aa aa a a t ，得唯一驻点 .ee a =当ee a >时，0)(>′a t ；当ee a <时，0)(<′a t ，因此ee t e11)(−=为极小值，从而是最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++∫x x dt t f x f x .两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =−′++当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f −=−′ 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ]1[)(121C dx e xx ex f x dxx+∫−∫=−−−∫=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+−−∫=)1(22C dx xx x +−∫ =.12Cx x ++ 当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 .)1(21)(22−=−+=x x x x f八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y −==kt A −， ].,0[T t ∈ 由kt A −=0，得 TA k =， 因此 ,)(t TAA t y −= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为∫=Tdt t y T y 0)(1 =∫−T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T)2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+−=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββααα#=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++−463232112110221111a a a a ###⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−+−−→111100112110111201a a a a ###.(1) 当1−≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，有),,,,(321321βββααα#⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→202000112110111201###. 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα#，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α， 由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且 λαα=*A.两边同时左乘矩阵A ，得 αλαA AA =*， αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b (1)(2)(3) 由式(1),(2)解得1=b或2−=b ;由式(1),(3)解得 a=2. 由于 42311121112=−==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2−=b 时，.4=λ十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132−==∫x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤−y X P y X P=.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为 0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P −=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ【详解】 (1) 由ρ的定义，可见0=ρ当且仅当P(AB)-P(A)P(B)=0,而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件.(2) 考虑随机变量X 和Y:A A X 不出现若出现若⎩⎨⎧=,0,1 .,0,1不出现若出现若B B Y ⎩⎨⎧= 由条件知，X 和Y 都服从0—1分布：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)((10~A P A P X ，.)((10~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B P B P Y 易见)(A P EX =， )(B P EY =；)()(A P A P DX =, )()(B P B P DY =;).()()(),cov(B P A P AB P EXEY EXY Y X −=−= 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 .1≤ρ。
