高二数学上学期期中试题

2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(8+i)(1−i)=( )A. 7−9iB. 9−9iC. 7−7iD. 9−7i2.已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin 2α=sin α，则cos 2α=( )A. −78B. 78C. −78或1D. −15163.一艘轮船北偏西65∘方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为16海里，该轮船以20海里/时的速度沿南偏西55∘的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为( )A. 18海里B. 16海里C. 14海里D. 12海里4.已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为( )A. 63πB. 39πC. 52πD. 42π5.设函数f(x)={ax−2,x⩽1ln x,x >1.若f(x)在R 上单调递增，则a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (0,2]C. (−∞,2]D. (0,3]6.已知点P(2,1)，Q(1,0)，H 在直线x−y +1=0上，则|HP|+|HQ|的最小值为( )A. 2 3B. 11C. 10D. 37.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件A =“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件B =“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件C =“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件D =“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则( )A. A 与C 是对立事件B. C 与D 相互独立C. A 与D 相互独立D. B 与D 不互斥8.已知A(2,0)，B(10,0)，若直线tx−4y +2=0上存在点P ，使得PA ⋅PB =0，则t 的取值范围为( )A. [−3,215]B. [−215.3]C. (−∞,−215]∪[3,+∞) D. (−∞,−7]∪[95,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

上海市上海中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是.2．空间中的4个点最多能确定个平面.3．在空间直角坐标系中，点()1,3,5关于xOy 平面的对称点的坐标是.4．若一个球的半径为3，则其体积为.5．若空间向量()1,2,3a = ，()4,2,1b =，(),2,7c x =-- 共面，则实数x =.6．将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于.7．若二面角l αβ--内一点P 到,,l αβ的距离分别等于2，则该二面角的大小为.8．已知空间向量()()1,1,2,,1,1a b t t =-=-的夹角是钝角，则实数t 的取值范围是.9．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为.10．记等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T .若213n n S n T n +=+，则58a b =.11．已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点,P Q 分别在其内切球和外接球上，则线段PQ 长度的取值范围是.12．空间中有五个球两两外切，它们的半径分别为1,1,2,2,r ，则r =.二、单选题13．二面角的取值范围是（）.A ．()0π,B ．[)0,πC ．(]0,πD ．[]0π,14．满足条件{}1231,2,31,2,3a a a ---∈的等差数列{}n a 共有（）个A ．2B ．3C ．4D ．515．给出命题p ：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题q ：对任意n ∈N 且3n ≥，均存在所有侧面都是直角三角形的n 棱锥，则（）.A ．,p q 都是真命题B ．p 是真命题，q 是假命题C ．p 是假命题，q 是真命题D ．,p q 都是假命题16．在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==且,,PA PB PC 两两垂直，M 是AB 的中点，过直线BC 作平面α，则直线PM 与平面α所成角的最大值为（）.A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2三、解答题17．在等差数列{}n a 中，892aa +=-且10120i i a ==-∑.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和的最小值.18．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，11π3A BAD BAA D A =∠∠==∠，M 是1CC 的中点.(1)求1BD 的长；(2)求1B D A M ⋅.19．在矩形ABCD 中，1,2AB AC ==.(1)将矩形ABCD 绕直线AB 旋转一周，求所得几何体的表面积；(2)将矩形ABCD 绕直线AC 旋转一周，求所得几何体的体积.20．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，且2π,2,3,43BAD AB PA AD ∠====，M 是BC 的中点.(1)求二面角A PM B --的余弦值；(2)求异面直线AD 和PM 之间的距离.21．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，,F G 分别是1,CD DD 上的动点.考查过,,E F G三点的平面截正方体所得的截面：(1)当F 是CD 的中点且G 是1DD 的中点时，直接写出截面的周长和面积；(2)当13DF DC =时，若截面为六边形，求1DG DD 的取值范围；(3)当G 是1DD 的中点且截面为五边形时，是否存在点F ，使得截面将正方体分为体积比1:2的两个部分，若存在，求出DFDC的值；若不存在，说明理由.。

陕西省西安铁一中滨河高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集R U =，{}223A x x x =+<，20x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()U A B = ð（）A ．{}30x x -<<B ．{}30x x -<≤C ．{}32x x -<<D ．{}01x x ≤<2．直线310x +-=的倾斜角是（）A ．30oB ．60oC ．120D ．1503．已知直线l 1：10x ay +-=与l 2：210x y -+=平行，则l 1与l 2的距离为（）A ．15B C ．35D 4．向量()1,2a = ，()3,4b =，在直线l 方向向量上的投影向量相等，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－25．已知椭圆222:1(0)x C y a a +=>，则“3a =”是“椭圆C 的离心率为3”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若a ，*b R =，24ab a b ++=，则a b +的最小值为()A ．2B1C ．2D ．37．由曲线2222x y x y +=+围成的图形的面积为（）A ．2πB ．3πC ．2π3+D ．3π2+8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为5，点M 在棱AB 上，且2AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为25，则动点P 到B 点的最小值是（）A ．BCD 二、多选题9．下列命题中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,0,1,4,0,2a b =-=-，则1l ∥2l B ．直线l 的方向向量()1,1,2c =-，平面α的法向量()6,4,1m =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,1,1d = ，平面α的法向量()1,0,1n = ，则直线l 与平面α所成角的大小为π610．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y +=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB 为等腰三角形时，点P +C ．当PAB 的重心在x 轴上时，PAB 的面积为4D ．当PAB 为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题12．若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则m 的取值范围是.13．在平行六面体ABCD A B C D -''''中，60BAD BAA DAA ''∠=∠=∠= ，2AB =，2AD =，3AA '=，则AC '=．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点，且12AB F F ⊥，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使面12PF F ⊥面12BF F ，若25cos 9PF B =∠，则双曲线C 的离心率为．四、解答题15．已知直线1:260l x y -+=和2:10l x y -+=的交点为P ．(1)若直线l 经过点P 且与直线343:50x y l --=平行，求直线l 的方程；(2)若直线m 经过点P 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m 的方程．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0c A A a b --=.(1)求角C ；(2)若4c =，ABC V 的面积为a，b .17．已知圆O ：228x y +=，过点()4,0P 的直线与圆O 相切，切点M 在第一象限，M 在x 轴上的射影为点F .(1)求F 的坐标；(2)过P 且斜率不为零的另一条直线与圆O 交于A ，B 两点，A 在线段PB 上，设N 为线段FP 的中点，直线BN 交直线MF 于点Q ，证明：AQ 与x 轴平行.18．如图：等边三角形ABC 的边长为3，2AM MB = ，2AN NC =．将三角形AMN 沿着MN折起，使之成为四棱锥A MBCN '-．点P 满足2MP PN =，点Q 在棱BC 上，满足MQ BP ⊥．且A Q '=．(1)求A '到平面MBCN 的距离；(2)求面A NQ '与面A NC '夹角的余弦值；(3)点Q 在面A MB '的正射影为点S ，求SA '与平面A NC '夹角的正弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:14x C y +=，圆22:5,O x y P +=为圆O 上任意一点.(1)过P 作椭圆C 的两条切线12,l l ，当12,l l 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值；(2)动点Q 满足OQ =，设点Q 的轨迹为曲线E .（i ）求曲线E 的方程；（ii ）过点A ⎝⎭作曲线E 的两条切线分别交椭圆于,R T ，判断直线RT 与曲线E 的位置关系，并说明理由.。

重庆市第十八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为22110036x y +=，则焦距是（）A ．8B ．12C ．20D ．162．倾斜角为30o 的直线的单位方向向量是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．(C ．12⎫⎪⎪⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎭3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c -++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c4．PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60o ，那么直线PC 与平面PAB 所成的夹角的余弦值是（）AB C ．12D 5．已知(),P x y 点是曲线22x y x y +=+围成的图形内的一个动点（包含边界），则2y x +的最小值是（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．6．若对圆()()22114x y -+-=上任意一点(),P x y ，343410x y a x y -++--的取值与x 、y 无关，则实数a 的取值范围是（）A ．6a ≥B ．911a -≤≤C ．9a ≤-或11a ≥D ．11a ≥7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大.”如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（）A ．1B ．7-C ．1或7-D ．2或18．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D–PR–Q ，D–PQ–R ，D–QR–P 的平面角为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α二、多选题9．已知直线1:0l x ay a +-=和直线()2:2310l ax a y ---=，下列说法正确的是（）A ．2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若12//l l ，则1a =或3-C ．若12l l ⊥，则0a =或2D ．当0a <时，1l 始终不过第三象限10．已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740+++--=m x m y m .则以下几个命题正确的有（）A ．直线l 恒过定点()3,1B ．圆C 被y轴截得的弦长为C ．直线l 与圆C 恒相交D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为250x y +-=11．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 为11BB C C 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1//CD 平面1A BPB ．1B M AM ⊥C ．BP 与AM 的距离是17D ．动点P 的轨迹长为3三、填空题12．曲线22159x y m m -=--是焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是13．过点1,1（）且纵横截距相等的直线方程是（直线方程一般式）14．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，在1A B 上取一点M ，在1B C 上取一点N ，使得直线//MN 平面11A ACC ，则线段MN 的最小值为.四、解答题15．如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.17．如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，()0a b >>，E 、F 、G 、H 分别是矩形四条边的中点，R 、S 、T 是线段OF 的四等分点，R 、S 、T 是线段CF 的四等分点.(1)证明直线ER 与GR 、ES 与GS 、ET 与GT 的交点L 、M 、N 都在椭圆22221x y a b+=上.(2)若2a =，1b =.1F 、2F 为其左右焦点，过2F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若1ABF 内切圆半径为12，求其面积.18．在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ⊥平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，13ABB π∠=，1AB AC ⊥，2AB AC ==.(1)求证：1A B ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B B 与直线1C C 的距离；(3)求平面11CC B 与平面11AA B 所成二面角的平面角的正弦值.19．已知圆()22:2210C x mx y m y m -++-+-=，R m ∈.(1)证明：圆C 过定点；(2)当0m =时，点P 为直线:163x yl +=上的动点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B .①当CP AB ⋅取最小值时，求直线AB 的方程.②过()2,2M --作直线AB 的垂线，垂足为D ，求证：存在Q 点使得DQ 为定值，并求出定值.。