【解析】河南省焦作市2017-2018学年高二下学期期中考试理科数学试题 Word版含解析

第1页（共23页）页）-baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库精品文库---baiduwenku**推荐下载推荐下载**百度文库 绝对精品--2017-2018学年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣2＜x ＜2}，i 为虚数单位，a ＝|1+i |，则下列选项正确的是（ ） A ．a ∈MB ．{a }∈MC ．{a }⊄MD ．a ∉M2．（5分）下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） （1）y ＝sin x （x ∈R ）是周期函数；（2）三角函数都是周期函数；（3）y ＝sin x （x ∈R ）是三角函数． A ．（1）（2）（3） B ．B （2）（1）（3）C ．（2）（3）（1）D ．（3）（2）（1）3．（5分）下列4种说法：①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X 和Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，其中说法正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④4．（5分）复数z ＝的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角5．（5分）已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且＝0.95x +a ，则a ＝（ ） x 0 1 3 4 y 2.24.34.86.7 A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.96．（5分）当x ∈（0，+∞）时，x ，由此推广可得x≥n +1，则实数m 的取值应为（ ）A ．nB ．n 2C ．n nD ．n +17．（5分）我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）A．计算 1+2+3+4+…+n﹣1 的值B．计算 1+2+3+4+…+n的值C．计算 1+2+3+4+…+（n+l）的值D．计算 1+2+3+4+…+n+sinπ+sin2π+…+sin（n+2）π的值8．（5分）已知a＝20.2，b＝0.22，c＝log x（x2+0.2）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了已知无限与有限的转化过程，比如在不等式中1“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1求得x＝，类比上述过程，则＝（ ）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020i，则下列说法正确的是（ ）A．若m＝3，则输出S＝B．若m＞10，则输出结果SC．若m＞100，则输出结果S＞1D．若m是任意大于2的正实数，则输出结果S11．（5分）[]表示不超过的最大整数．若S 1＝[]+[]+[]＝3，S 2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10，S＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21，3…，则S n＝（ ）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1） 12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），若f″（x0）＝0，则M（x0，y0）是f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，则可求得f（）+f（）+…+f（）+f （）＝（ ）A．199 B．﹣199 C．597 D．﹣597二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知i 是虚数单位，若z ＝（1+mi ）（3+i ）（m ∈R ）是纯虚数，则z 的虚部是 ． 14．（5分）观察下列不等式： ①＜1 ②+＜③++＜；…则第n 个不等式为 ．15．（5分）在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径γ＝．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R ＝ ． 16．（5分）已知函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2，在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个小題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m ∈R ，复数z ＝（m 2+5m +6）+（m 2﹣2m ﹣15）i ． （1）若z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等，求m 的值； （2）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围．18．（12分）某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为数学二） 学校一分组 [70，80）[80，90）[90，100）[100，110）频道 231015分组[110，120） [120，130） [130，140） [140，150）频数 15 x 3 1学校二分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110） 频道 1 2 9 8分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） 频数 10 10 y 3 （1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．学校一 学校二 总计 优秀非优秀总计附：P（k2＞k0） 0.10 0.025 0.010 K 2.706 5.024 6.635 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，M为PB的中点． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：P A⊥平面CDM．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．21．（12分）已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝F（a n），求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求证：＜2．22．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点．（1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．2017-2018学年河南省洛阳市高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，i为虚数单位，a＝|1+i|，则下列选项正确的是（ ）A．a∈M B．{a}∈M C．{a}⊄M D．a∉M【解答】解：a＝＝，又集合M＝{x|﹣2＜x＜2}，∴a∈M．故选：A．2．（5分）下列三句话按照“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）（1）y＝sin x（x∈R）是周期函数；（2）三角函数都是周期函数；（3）y＝sin x（x∈R）是三角函数．A．（1）（2）（3） B．B（2）（1）（3） C．（2）（3）（1） D．（3）（2）（1）【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知： （3）y＝sin x（x∈R ）是三角函数是“小前提”；（2）三角函数是周期函数是“大前提”；（1）y＝sin x（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为（2），（3），（1）故选：C．3．（5分）下列4种说法：①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1；④对分类变量X和Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大，其中说法正确的是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：对于①，频率分布直方图中，平均数的左边和右边的直方图的面积相等，众数不满足这一性质，①错误；对于②，标准差是表示样本数据波动性大小的量，标准差越小，样本数据的波动也越小，②正确；对于③，两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1，③正确；对于④，对分类变量X和Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，④错误；综上，正确的说法是②③．故选：B．4．（5分）复数z＝的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限角【解答】解：复数z＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1+i，则z的共轭复数＝﹣1﹣i在复平面上对应的点是（﹣1，﹣1），在第三象限． 故选：C．5．（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.95x+a，则a ＝（ ）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9【解答】解：由题意＝＝2，＝＝4.5．因为回归直线方程经过样本中心，所以4.5＝0.95×2+a，所以a＝2.6．故选：B．6．（5分）当x∈（0，+∞）时，x，由此推广可得x≥n+1，则实数m的取值应为（ ）A．n B．n2 C．n n D．n+1【解答】解：x＝++…++≥n+1，则m＝n•n•n…n＝n n，故选：C．7．（5分）我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）A．计算 1+2+3+4+…+n﹣1 的值B．计算 1+2+3+4+…+n的值C．计算 1+2+3+4+…+（n+l）的值D．计算 1+2+3+4+…+n+sinπ+sin2π+…+sin（n+2）π的值【解答】解：由题意，n为正整数，则sin nπ＝0，模拟程序的运行，由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝1+2+…+n的值，故选：B．8．（5分）已知a＝20.2，b＝0.22，c＝log x（x2+0.2）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：a＝20.2∈（1，2），b＝0.22∈（0，1），∵x＞1，c＝log x（x2+0.3）＞log x x2＝2，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．故选：C．9．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了已知无限与有限的转化过程，比如在不等式中1“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1求得x＝，类比上述过程，则＝（ ）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令＝m（m＞0），则两边平方得，则2018+2017＝m2，即2018+2017m＝m2，解得m＝2018，或m＝﹣1舍去．故选：B．10．（5分）如图，若（1）处填入语句i≥m+1，（2）中填入语句n＝2i，则下列说法正确的是（ ）A．若m＝3，则输出S＝B．若m＞10，则输出结果SC．若m＞100，则输出结果S＞1D．若m是任意大于2的正实数，则输出结果S 【解答】解：由题意，当m＝3时，模拟程序的运行，可得 S＝0，n＝2，i＝1；不满足条件i≥4，S＝，i＝2，n＝4；不满足条件i≥4，S＝+，i＝3，n＝8；不满足条件i≥4，S＝++，i＝4，n＝；此时，满足条件i≥4，退出循环，输出S＝++＝， 故A正确．故选：A．11．（5分）[]表示不超过的最大整数．若S1＝[]+[]+[]＝3，S2＝[]+[]+[]+[]+[]＝10，S3＝[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]＝21， …，则S n＝（ ）A．n（n+2） B．n（n+3） C．（n+1）2﹣1 D．n（2n+1） 【解答】解：第一个等式，起始数为：1，项数为：3＝4﹣1＝22﹣12，S1＝1×3； 第二个等式，起始数为：2，项数为：5＝9﹣4＝32﹣22，S2＝2×5；第三个等式，起始数为：3，项数为：7＝16﹣9═42﹣32，S3＝3×7；…第n个等式，起始数为：n，项数为：（n+1）2﹣n2＝2n+1，S n＝n（2n+1），（n∈N*）． 故选：D．12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），若f″（x0）＝0，则M（x0，y0）是f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，则可求得f（）+f（）+…+f（）+f（）＝（ ）A．199 B．﹣199 C．597 D．﹣597【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣6x，f″（x）＝6x﹣6，由f″（x）＝0，得x＝1，∴函数f（x）＝x3﹣3x2﹣1的对称中心为（1，﹣3），∴f（）+f（）+…+f（）+f（）＝99×（﹣6）+f（1）＝﹣594﹣3＝﹣597．故选：D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知i是虚数单位，若z＝（1+mi）（3+i）（m∈R）是纯虚数，则z的虚部是 10 ．【解答】解：z＝（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i是纯虚数，则，解得m＝3．则z的虚部是3×3+1＝10．故答案为：10．14．（5分）观察下列不等式：①＜1②+＜③++＜；…则第n个不等式为 +++…+＜ ．【解答】解：∵①＜1；②+＜；③++＜；…不等式的左边分母中的数是n（n+1），右边是无理式的被开方数是首项为1，公差为1的等差数列，∴第n个不等式为：+++…+＜，故答案为：+++…+＜．15．（5分）在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ＝．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R＝ ． 【解答】解：结论：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V＝S1×r+S2×r+S3×r+S4×r＝S×r∴内切球半径r＝故答案为：．16．（5分）已知函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2，在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 [﹣2，+∞） ．【解答】解：∵函数f （x ）＝aln （x +1）+x 2， ∴f ′（x ）＝+2x ，∵在区间（2，3）内任取两个实数m ，n ，且m ≠n ， 若不等式恒成立，即为＞0，设g （x ）＝f （x ）﹣x ，1＜x ＜2，则g （x ）在（1，2）递增，可得g ′（x ）＝+2x ﹣1≥0，即有a ≥（x +1）（1﹣2x ）在（1，2）恒成立， 令h （x ）＝﹣2x 2﹣x +1，x ∈（1，2），根据二次函数h （x ）在（1，2）递减，可得h （x ）max ＝g （1）＝﹣2， ∴a ≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．三、解答题：本大题共6个小題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知m ∈R ，复数z ＝（m 2+5m +6）+（m 2﹣2m ﹣15）i ． （1）若z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等，求m 的值； （2）若z 对应的点在第一象限，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵（1+i ）（﹣5﹣7i ）＝2﹣12i ，且z 与复数（1+i ）（﹣5﹣7i ）相等， ∴，解得m ＝﹣1；（2）由题意得，，解得m ＜﹣3或m ＞5．18．（12分）某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为数学二） 学校一分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）频道 2 3 10 15分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150） 频数 15 x 3 1学校二分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）频道 1 2 9 8分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）频数 10 10 y 3 （1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．学校一 学校二 总计优秀非优秀总计附：P（k2＞k0） 0.10 0.025 0.010K 2.706 5.024 6.635【解答】解：（1）利用分层抽样方法知，甲校抽取105×＝55人， 乙校抽取105﹣55＝50人，则x＝55﹣（2+3+10+15+15+3+1）＝6，y＝50﹣（1+2+9+8+10+10+3）＝7；（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，则估计甲校优秀率为×100%＝18.2%；乙校优秀率为×100%＝40%；（3）根据所给的条件列出列联表，甲校 乙校 总计优秀 10 20 30非优秀 45 30 75总计 55 50 105计算K2＝≈6.109，又因为6.109＞5.024，所以有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，M为PB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：P A⊥平面CDM．【解答】（1）解：取DC中点O，连接PO，AO，由侧面PCD是边长为2的正三角形，可得PO⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝2；（2）证明：∵底面ABCD是菱形，且∠ADC＝60°，DC＝2，DO＝1，∴OA⊥DC，以OA为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），B（，2，0），C（0，1，0），∵M 为PB 的中点，∴M （，1，），∴＝（，2，），＝（，0，﹣），＝（0，2，0），∴＝×+2×0+×（﹣）＝0，•＝0×+2×0+0×（﹣）＝0，∴P A ⊥DM ，P A ⊥DC ， ∴P A ⊥平面DMC ．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+，x ∈[0，1]．（1）用分析法证明：f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2；（2）∵1﹣x +x 2＝（x ﹣）2+≥，当且仅当x ＝时取等号， ∵f （）＝＞，f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ）＞，（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ，∴f（x）≤x+，设g（x）＝x+，x∈[0，1]，∴g′（x）＝1﹣＝≥0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤g（1）＝，综上所述明．21．（12分）已知函数F（x）＝（x）．（1）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝F（a n），求证：数列{}是等比数列； （2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n＝，求证：＜2．【解答】证明：（1）∵，等式两边同时减去1，得＝，∴＝2+，∴﹣＝2，又＝＝1，∴数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列．解：（2）由（1）知数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴a n＝1+＝．（3）∵b n＝，∴欲证++…+＜2，即证+＜2，∵，（n≥2），∴+＜1+1﹣+﹣+…+＝2﹣＜2．22．（12分）设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B满足AB⊥AF2，O为坐标原点．（1）若过A，B，F2三点的圆与直线x﹣相切，求椭圆C的方程； （2）过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．【解答】解：（1）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），得＝（c，﹣b），＝（x 0，﹣b），∵，∴cx0+b2＝0，解之得x0＝﹣，由，知c＝，于是F2（a，0），B（﹣a，0），∴△ABF2的外接圆圆心为F1（﹣a，0），半径r＝a，由题意可得，解得a＝2，得到c＝1且b＝，∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x＝±，∴原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+m，与椭圆联立，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，，．∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2＝0， ∴x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝0． 即（k 2+1）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2＝0， ∴（k 2+1）﹣+m ＝0，整理得7m 2＝12（k 2+1）． ∴O 到直线AB 的距离d ＝＝为定值．∵OA ⊥OB ，∴OA 2+OB 2＝AB 2≥2OA •OB ， 当且仅当OA ＝OB 时取“＝”号． 由d •AB ＝OA •OB 得d •AB ＝OA •OB ≤，∴AB ≥2d ＝，即弦AB 的长度的最小值是．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =ÎÎ>，且n N +Î，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号na -表示；表示；00的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．次方根．②式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ³．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ³ì==í-<î．（2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N +=>Î且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>Î且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +×=>Î ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>Î③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>Î【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数）指数函数 函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0xy a a =>且1)a ¹叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a > 01a <<xa y =xy (0,1)O1y =x a y =xy (0,1)O 1y =定义域定义域 R值域值域 (0,)+¥过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>¹且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．叫做真数．②负数和零没有对数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =Û=>¹>．（2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b aa b =．（3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >¹>>，那么，那么①加法：log log log ()a a aM N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =Î ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b=¹Î ⑥换底公式：log log (0,1)log bab NN b b a=>¹且【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数）对数函数函数函数 名称名称对数函数对数函数定义定义 函数log (0a y x a =>且1)a ¹叫做对数函数叫做对数函数图象图象1a > 01a <<定义域定义域 (0,)+¥值域值域 R过定点过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在(0,)+¥上是增函数上是增函数在(0,)+¥上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对变化对 图象的影响象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．越大图象越靠高．xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

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河南省正阳县第二高级中学2017-2018学年下期高二第二次月考理科数学一.选择题：1.设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4}，则()U C M N =（ ） A.{1,4} B.{2,3} C.{2,4} D.∅2.设x 为实数，则“220x x +->”是“1<x<3”的( )条件A 充分而不必要B 必要而不充分C 充要D 既不充分也不必要3.已知函数()sin(2),2f x x x R π=-∈，则f(x)是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数A.最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为2π的偶函数 4若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25D.15. 5. 设平面区域D 是由双曲线2214x y -=的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x ，y)∈D ，则x ＋y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．36、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n ﹣2．若数列{b n }满足b n =10﹣log 2a n ，则是数列{b n }的前n 项和取最大值时n 的值为（ ）A ．8B ．10C ．8或9D ．9或107. 随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.68．232()x x-的展开式中的常数项为（ ） A ．12 B ．﹣12 C ．6 D ．﹣69．在△ABC 中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10．如图在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC=BD=5， sin ∠，则CD的长为（ ）A B ．4 C ． D ．511. 已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+，设集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{2,1,1,2,3,4}B =--，分别从集合A 和B 中随机取一个数记为a 和b ，则函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增的概率为A ．19B ．29C ．13D ．4912. 已知函数kx x x x f ++-=221)(．若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．()2,-+∞D ．[)1,-+∞二.填空题：13.121(sin )x x dx -+=⎰ .14. 已知双曲线C: 22221x y ab -=，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A 、B 两点，且3AF BF =，则双曲线C 的离心率的最小值为15.若曲线32y x =的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直，则切线l 的方程为16.已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x ==；②{(,)|2}x M x y y e ==-；③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==.其中是“垂直对点集”的序号是 .三.解答题：17. 已知c>0，且1c ≠，设p:函数x y c =在R 上单调递减；q ：函数2()21f x x cx =-+ 在1(,)2+∞上为增函数，若“q p ∧”为假，“q p ∨”为真，求实数c 的取值范围。

河南省洛阳市2021-2021学年高二下学期期中考试数学(文)LT洛阳市2021—2021学年第二学期期中考试高二数学试卷(文〕本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两局部。

第I 卷1至2页，第二卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷(选择题，共60分〕考前须知：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.考试结束，将容题卡交回。

一、选择题:本大题共12小题,每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.集合M={2<<2|x x -}，i 为虚数单位，|1|i a +=，那么以下选项正确的选项是 A. M a ∈ B. {a}M ∈ C. {a}M ⊄ D.a M ∉∅2.以下三句话按照“三段论〞模式排列顺序正确的选项是(1) )(sin R x x y ∈=是周期函数；(2)三角函数都是周期函数；(3))(sin R x x y ∈=是三角函数.A. (1)(2)(3)B. (2)(1)(3)C. (2)(3)(1)D. (3)(2)(1)3.以下4种说法:①在频率分布直方图中，众数的左边和右边的直方图的面积相等； ②标准差越小，样本数据的波动也越小；③两个随机变量相关性越强，那么相关系数越接近1；④对分类变量X 和Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说k 越小，“X 与Y 有关系〞的把握程度越大。

其中说法正确的选项是 A.①② B.②③ C.②④ D.③④4.复数111--+=iiz 的共轭复数在复平面上对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限5.y x ,的取值如下表所示，假设y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，那么a X 0 1 3 4 y2.24.34.86.7A. 2.2B. 2.9C. 2.8D. 2.66.当),0(+∞∈x 时，34224,2122≥++=+≥+xx x x x x x ，由此推广可得 1+≥+n xmx n ，那么实数m 的取值应为 A. n B. n 2 C. n n D. n + 17.我国古代数学著作?九章算术?记载了很多算法问题，现执行如下图的程序框图，该算法的功能是 A.计算 1 + 2 + 3 + 4 + …n-1 的值 B.计算 1 + 2 + 3 + 4 + …n 的值 C.计算 1+2 + 3 + 4 +…+(n+l)的值D.计算 … + 2sin + sin +n +…+ 4 + 3 + 2 + 1ππ的值 8. )2.0(log ,2.0,2222.0+===x c b a x (x > 1) ,那么a,b,c 的大小关系是A. a < b < cB. c <b < aC. b < a < cD. b < c < a9.我国古代数学名著?九章算术?的论割圆术中有割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣。