高二数学理科期中考试定稿

2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√322．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√557．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．−748．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为1012．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= ． 14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ ．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值．20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，M ，Q 分别为AC ，A 1B 1的中点，且MQ ⊥AB ． （1）证明：MC 1⊥AB ．（2）若BB 1＝4，MQ =√15，求平面MB 1C 1与平面MC 1Q 夹角的余弦值．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．2023-2024学年河北省部分高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l ：2x +√3y −1=0的斜率为（ ） A ．−2√33B ．−√32C ．2√33D ．√32解：将l 的方程转化为y =−2√33x +√33，则l 的斜率为−2√33． 故选：A ．2．若方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣5）B ．（﹣5，+∞）C ．（﹣∞，5）D ．（5，+∞）解：因为方程x 2+y 2+4x +2y ﹣m ＝0表示一个圆，所以42+22+4m ＞0，解得m ＞﹣5． 故选：B ．3．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 29+y 25=1的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，若|PF 1|＝2，则|PF 2|＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：椭圆E ：x 29+y 25=1，可知a ＝3，因为P 是椭圆E 上一点，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6﹣|PF 1|＝4． 故选：D ．4．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PD →=3DC →，则BD →在AC →方向上的投影向量为（ ）A ．34AC →B ．−23AC →C ．−34AC →D ．23AC →解：因为P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，P A 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令AB ＝a ，AC ＝b ，P A ＝c ，则A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，b ，0），D(0，34b ，14c)， 则AC →=(0，b ，0)，BD →=(−a ，34b ，14c)，所以BD →在AC →方向上的投影向量为AC →⋅BD →|AC →|⋅AC →|AC →|=34b 2|b|⋅AC →|b|=34AC →．故选：A ．5．若圆O 1：x 2+y 2＝25与圆O 2：（x ﹣7）2+y 2＝r 2（r ＞0）相交，则r 的取值范围为（ ） A ．[2，10]B ．（2，10）C ．[2，12]D ．（2，12）解：∵O 1与O 2相交， ∴|r ﹣5|＜|O 1O 2|＜|r +5|， 又|O 1O 2|＝7，∴|r ﹣5|＜7＜|r +5|，解得2＜r ＜12． 故选：D ．6．若A （2，2，1），B （0，0，1），C （2，0，0），则点A 到直线BC 的距离为（ ） A ．2√305B ．√305C ．2√55D ．√55解：由题意得，BA →=(2，2，0)，BC →=(2，0，−1)，则BA →在BC →上的投影向量的模为|BA →⋅BC →||BC →|=√5，则点A 到直线BC 的距离为√|BA →|2−(|BA →⋅BC →||BC →|)2=√(√8)2−(4√5)2=2√305． 故选：A ．7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为A （第一象限），并与双曲线C 交于点B ，若FB →=BA →，则l 的斜率为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．−74解：由已知直线l 的方程为y =b ax ，即bx ﹣ay ＝0，点F （c ，0），则|FA|=|bc|√b +(−a)2=b ，因为FB →=BA →，所以B 为线段AF 的中点，则|BF|=b2， 设双曲线C 的左焦点为F 1，则|BF 1|=2a +b2， 在△BFF 1中，由余弦定理可得：cos ∠BFF 1=|BF|2+|FF 1|2−|BF 1|22|BF||FF 1|=b 24+4c 2−(2a+b 2)22×b2×2c=2b−ac， 又cos ∠BFF 1=bc ，所以a ＝b ，故l 的斜率为1， 故选：B ．8．已知实数x ，y 满足2x ﹣y +2＝0，则√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8的最小值为（ ） A ．3√13B ．10+√13C ．108D ．117解：√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8=√(x −9)2+y 2+√(x −2)2+(y −2)2， 该式表示直线l ：2x ﹣y +2＝0上一点到P （9，0），Q （2，2）两点距离之和的最小值． 而P ，Q 两点在l 的同一侧，设点P 关于l 对称的点P ′（x 0，y 0），则{y 0−0x 0−9=−122×x 0+92−y 0+02+2=0，解得{x 0=−7y 0=8，∴P ′（﹣7，8），故√(x −9)2+y 2+√x 2+y 2−4x −4y +8≥|P′Q|=√(−7−2)+(8−2)2=3√13． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则（ ）A ．BC →−A 1A →=AD 1→B ．BC →−A 1A →=2AD 1→C ．EF →=12A 1C 1→D ．EF →=A 1C 1→解：BC →−A 1A →=AD →+AA 1→=AD 1→，A 正确，B 不正确，又因为EF →=12A 1C 1→，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．10．在同一直角坐标系中，直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1的位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：A ．取m ＝1，则直线l ：y ＝x +1与曲线C ：x 2+y 2＝1满足图中的位置关系，因此A 正确； B ．联立{y =mx +1x 2+my 2=1，化为（1+m 3）x 2+2m 2x +m ﹣1＝0，若直线l ：y ＝mx +1与曲线C ：x 2+my 2＝1有交点，则Δ＝4m 4﹣4（1+m 3）（m ﹣1）＝m 3﹣m +1＞0． 由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，满足Δ＞0，因此B 正确；C ．由曲线C ：x 2+my 2＝1结合图形，则0＜1m ＜1，∴m ＞1，直线l 与椭圆应该有交点，因此C 不正确；D ．由图可知：直线l 经过点（1，0），则m ＝﹣1，联立{y =−x +1x 2−y 2=1，化为x ＝1，y ＝0，即直线l 与双曲线的交点为（1，0），因此D 正确． 故选：ABD ．11．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆E 上一点，且|PF 1|=43|PF 2|，cos ∠PF 2F 1=35，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆E 的离心率为57B ．椭圆E 的离心率为45C ．PF 1⊥PF 2D ．若△PF 1F 2内切圆的半径为2，则椭圆E 的焦距为10解：A 、B 选项，由椭圆的定义得，|PF 1|+|PF 2|＝2a ，已知|PF 1|=43|PF 2|，解得|PF 1|=87a ，|PF 2|=67a ，由cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=4c 2−47a 2247ac=35， 整理得5a 2+18ac ﹣35c 2＝0，即（a +5c ）（5a ﹣7c ）＝0，则a ＝﹣5c （舍去）或a =75c ，即c a=57，故椭圆E 的离心率为57，故A 正确，B 不正确；C 选项，由a =75c ，得|F 1F 2|=2c =107a ，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，故PF 1⊥PF 2，故C 正确； D 选项，由PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2内切圆的半径为2，得2c ＝2a ﹣4，因为a =75c ，所以c ＝5，即椭圆E 的焦距为10，故D 正确． 故选：ACD ．12．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层EFGH ﹣NPQM 是正四棱柱，下层底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F ，G ，H 在底面ABCD 的投影分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，若AF =√5，则下列结论正确的有（ ）A ．该几何体的表面积为32+8√2+4√6B ．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为36πC ．直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63D ．点M 到平面BFG 的距离为√63解：设F ，G 在平面ABCD 的投影分别为AB ，BC 的中点R ，S ，由于AF =√5，AB ＝4，所以F 到平面ABCD 的距离为FR =√AF 2−(12AB)2=1， 由于上、下两层等高，所以P 到平面ABCD 的距离为2，又FG =RS =12AC =2√2，由于GS ＝FR ＝1，BS =RB =12×4=2 所以BG =GC =√GS 2+BS 2=√5=BF =AF ，所以△AFB ≌△BGC ，同理可得△CDH ≌△ADE ≌△AFB ≌△BGC ，△BFG ≌△CHG ≌△DEH ≌△AEF ， 则点B 到FG 的距离为√BF 2−(12FG)2=√(√5)2−(√2)2=√3，则△ABF 的面积为12AB ⋅FR =12×4×1=2，△BFG 的面积为12×2√2×√3=√6，故该几何体的表面积4×2+4×√6+4×4+2√2×2√2+2√2×4=32+8√2+4√6，故A 正确； 将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上， 且A 、B 、C 、D ，N 、P 、Q 、M 均在球面上，设球心到下底面ABCD 的距离为x ， 由于四边形MNPQ 为边长为2√2的正方形，四边形ABCD 为边长为4的正方形， 则其对角线长度分别为4，4√2，则(2√2)2+x 2=22+(2−x)2，解得x ＝0，则该球体的半径为2√2，体积为4π3×(2√2)3=64√2π3，故B 错误；以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C （4，4，0），P （2，0，2），B （4，0，0），F （2，0，1），G （4，2，1），M （2，4，2），CP →=(−2，−4，2)，BF →=（﹣2，0，1），BG →=(0，2，1)，BM →=（﹣2，4，2）， 平面ABF 的一个法向量为m →=（0，1，0），则cos ＜CP →，m →＞=−42√6=−√63，设直线CP 与平面ABF 所成角为θ，则sinθ=|cos ＜CP →，m →＞|=√63，故直线CP 与平面ABF 所成角的正弦值为√63，故C 正确； 设平面BFG 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅BF →=−2x 1+z 1=0n →⋅BG →=2y 1+z 1=0，令x 1＝1，得n →=（1，﹣1，2）， 则点M 到平面BFG 的距离为|n →⋅BM →||n →|=222=√63，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点N 是点M （3，3，4）在坐标平面Oxz 内的射影，则|ON →|= 5 ． 解：由题可知，N （3，0，4），则ON →=(3，0，4)，∴|ON →|=√32+42=5． 故答案为：5．14．若双曲线C ：x 2m+1+y 2m 2−m−2=1的实轴长与虚轴长相等，则m ＝ 1 ．解：由题可知（m +1）+（m 2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝1或m ＝﹣1（舍去），∴m ＝1． 故答案为：1．15．过点M(√3，0)作圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 √3x −y =0 ．解：圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝1①，则圆心C （0，1）， 以C （0，1），M （√3，0）为直径的圆的方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1②，①﹣②可得，√3x −y =0，故直线AB 的方程为√3x −y =0． 故答案为：√3x −y =0．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，记平面CMN 与平面ADD 1A 1的交线为l ，则直线l 与直线AC 1所成角的余弦值为7√111111．解：设I ∩AA 1＝P ，连接NP ，MP ，直线NP 即为直线l ．易证得MP ∥CN ，由AM ＝2MB ，N 为DD 1的中点，得AP =13AA 1，以D 为坐标原点，DA ．DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝6，则得：N （0，0，3），P （6，0，2），A （6，0，0），C 1（0，6，6）， NP →=（6，0，﹣1），AC 1→=（﹣6，6，6）， 所以得：|cos ＜NP →，AC 1→＞|=|NP →⋅AC 1→||NP →|⋅|AC 1→|=37×63=7√111111，故直线与直线 AC 1 所成角的余弦值为7√111111．故答案为：7√111111． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直线l 1：x +ay ﹣a +2＝0与l 2：2ax +（a +3）y +a ﹣5＝0． （1）当a ＝1时，求直线l 1与l 2的交点坐标； （2）若l 1∥l 2，求a 的值． 解：（1）因为a ＝1，所以l 1：x +y +1＝0，l 2：2x +4y ﹣4＝0，即x +2y ﹣2＝0， 联立{x +y +1=0x +2y −2=0解得{x =−4y =3，故直线l 1与l 2的交点坐标为（﹣4，3）．（2）因为l 1∥l 2，所以2a 2﹣a ﹣3＝0，解得a ＝﹣1或a =32， 当a ＝﹣1时，l 1与l 2重合，不符合题意． 当a =32时，l 1与l 2不重合，符合题意． 故a =32．18．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，E ，F 分别为P A ，PC 的中点，DG →=2GP →． （1）证明：B ，E ，G ，F 四点共面．（2）记四棱锥P ﹣BEGF 的体积为V 1，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．解：（1）证明：因为E ，F 分别为P A ，PC 的中点， 所以BE →=12BA →+12BP →，BF →=12BC →+12BP →， 所以BG →=BD →+DG →=BD →+23DP →=BD →+23(BP →−BD →)=13BD →+23BP →=13BA →+13BC →+23BP →=23(12BA →+12BP →)+23(12BC →+12BP →)=23BE →+23BF →， 故B ，E ，G ，F 四点共面；（2）由正四棱锥的对称性知，V 1＝2V E ﹣PBG ，V 2＝2V A ﹣PBD ， 设点E 到平面PBG 的距离为d 1，点A 到平面PBD 的距离为d 2，由E 是P A 的中点得d 2＝2d 1， 由DG →=2GP →得S △PBD ＝3S △PBG ，所以V 1V 2=V E−PBG V A−PBD=13S △PBG ⋅d 113S △PBD ⋅d 2=16．19．（12分）已知P 是圆C ：x 2+y 2＝12上一动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ →=2PM →，记点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若A ，B 是E 上两点，且线段AB 的中点坐标为(−85，25)，求|AB |的值． 解：（1）设M （x ，y ），则Q （x ，0）， 因为PQ →=2PM →，则P （x ，2y ）， 因为P 在圆C 上，所以x 2+（2y ）2＝12， 故E 的方程为x 212+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若A ，B 是E 上两点，则{x 1212+y 123=1x 2212+y 223=1， 两式相减得x 12−x 2212+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)．因为线段AB 的中点坐标为(−85，25)，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=1，所以k AB ＝1，则直线AB 的方程为y ＝x +2．联立方程组{y =x +2x 212+y 23=1，整理得5x 2+16x +4＝0，其中Δ＞0， 则x 1+x 2=−165，x 1x 2=45， |AB|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√225． 20．（12分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB 的长为16米，最大高度CD 的长为4米，以C 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程；（2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）解：（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，由图形可得A（﹣8，0），B（8，0），D（0，4），设该圆的半径为r米，则r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，圆心为（0，﹣6），故该圆弧所在圆的方程为x2+（y+6）2＝100．（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2)2+(6+1.6)2=102，解得d=2√42.24．若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5＜2√42.24．隧道能并排通过4辆该种汽车；若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5＞2√42.24，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车．综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，A1B1的中点，且MQ⊥AB．（1）证明：MC1⊥AB．（2）若BB1＝4，MQ=√15，求平面MB1C1与平面MC1Q夹角的余弦值．（1）证明：因为△A1B1C1是等边三角形，Q为A1B1的中点，所以C1Q⊥A1B1，又AB∥A1B1，所以C1Q⊥AB，因为MQ⊥AB，C1Q∩MQ＝Q，所以AB⊥平面MC1Q，又MC1⊂平面C1MQ，所以MC1⊥AB；（2）解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得MN∥C1Q，则MN⊥AB，且MN=√32，由BB 1＝4，得QN =3√72，因为MQ =√15，所以MQ 2+MN 2＝QN 2， 即MQ ⊥MN ，又MQ ⊥AB ，从而MQ ⊥平面ABC ，以M 为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，MQ 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （0，0，0），B 1（0，1，√15），C 1（−√3，0，√15）， 则MB 1→=（0，1，√15），MC 1→=（−√3，0，√15）， 设平面MB 1C 1的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅MB 1→=y +√15z =0m →⋅MC 1→=−√3x +√15z =0，令z ＝1，得m →=(√5，−√15，1)，由图可知，n →=（0，1，0）是平面MC 1Q 的一个法向量，设平面MB 1C 1与平面MC 1Q 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=√1521=√357．22．（12分）如图，已知F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点． （1）求E 的方程．（2）过直线l ：x ＝1上任意一点T 作直线l 1，l 1与E 的左、右两支相交于A ，B 两点．直线l 1关于直线l 对称的直线为l 2（与l 1不重合），l 2与E 的左、右两支相交于C ，D 两点．证明：∠ABD ＝∠ACD ．解：（1）∵F 1(−√10，0)，F 2(√10，0)分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P(−2√103，√63)是E 上一点，∴{a 2+b 2=10409a2−69b2=1，解得a 2＝4，b 2＝6，∴E 的方程为x 24−y 26=1．（2）证明：设T （1，m ），由题意得直线l 1的斜率存在且不等于0， 设直线l 的方程为y ﹣m ＝k （x ﹣1），则直线l 2的方程为y ﹣m ＝﹣k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立方程组{y −m =k(x −1)x 24−y 26=1，整理得（3﹣2k 2）x 2+（4k 2﹣4km ）x ﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12＝0，Δ＝（4k 2﹣4km ）2﹣（12﹣8k 2）（﹣2k 2+4km ﹣2m 2﹣12）＝﹣72k 2﹣48km +24m 2+144＞0， 则x 1+x 2=4k 2−4km 2k 2−3，x 1x 2=2k 2−4km+2m 2+122k 2−3，|AT |=√1+k 2|x 1−1|，|BT |=√1+k 2|x 2﹣1|，|CT |=√1+k 2|x 3﹣1|，|DT |=√1+k 2|x 4﹣1|， ∴|AT ||BT |＝（1+k 2）|（x 1﹣1）（x 2﹣1）|＝（1+k 2）|x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1| ＝（1+k 2）|2k 2−4km+2m 2+122k 2−3−4k 2−4km 2k 2−3+1|＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3|，同理，|CT ||DT |＝（1+k 2）|2m 2+92k 2−3，∴|AT||DT|=|CT||BT|，∴△ACT ∽△DBT ，∴∠ABD ＝∠ACD ．。

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描版）1 C2 D 3D 4A 5B 6A 7A 8C 9C 10A 11D 12 C13 。

10 14 50915 2cos ρθ= 16 －2 17 【答案】（1）；（2)6月18 【答案】(1）4sin p θ=（2)9【解析】试题分析：（1)消参得到圆的直角坐标方程，利用极坐标方程和普通方程的互化公式进行求解;（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到关于t 的一元二次方程，利用参数的几何意义进行求解。

试题解析:（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=，由极坐标与直角坐标互化公式得()()22cos sin 24ρθρθ+--化简得4sin ρθ=。

（2）直线l 的参数方程345{445x tcos y tsin =+=+（t 为参数）， 即23{242x y ==+（t 为参数）代入圆方程,得25290t t ++-， 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1252t t +=- 129t t =，于是12129MA MB t t t t ⋅=⋅=⋅=。

19【答案】（1)能（2）21. 【解析】试题解析：（1）根据性别与读营养说明列联表，计算随机变量2K 的观测值得：635.667.620201624)481216(402>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ， 因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为性别与读营养说明有关(Ⅱ）ξ的取值为0，1，2.2011)0(216212===C C P ξ，52)1(21614112=⨯==C C C P ξ,201)2(21624===C C P ξ. ξ的分布列为ξ的均值为21201252120110=⨯+⨯+⨯=ξE20【答案】（1） 曲线C 表示的是焦点为()1,0，准线为1x =-的抛物线；（2）8。

2021年高二（下）期中数学试卷（理科）含解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的）．1．（5分）（xx春•泰安校级期中）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为（）A． 1 B． 2 C． 1或2 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用纯虚数的定义可得a2﹣3a+2=0，且 a﹣2≠0，由此求得a的值．解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣3a+2=0，且 a﹣2≠0，求得a=1，故选：A．点评：本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）（xx•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．3．（5分）（xx秋•武汉校级期末）正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）=sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可．解答：解：大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）=sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．故选A点评：本题考查演绎推理的基本方法，属基础题．4．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．5．（5分）证明1++…+（n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）A．1项B．k﹣1项C．k项D．2k项考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先分析题目证明不等式1++…+，假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数．故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数．解答：解：当n=k时不等式为：成立当n=k+1时不等式左边为则左边增加2k+1﹣2k=2k项．故选D．点评：此题主要考查用数学归纳法证明不等式的问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题目．6．（5分）（xx春•泰安校级期中）下列命题中①复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d②任何复数都不能比较大小③若=，则||=||④若||=||，则=或=﹣．错误的命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：复数相等的充要条件；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的性质解答本题．解答：解：对于①，复数a+bi与c+di相等即a+bi=b+di，所以充要条件是a=c且b=d；正确；对于②，任何复数都不能比较大小是错误的；如实数是可以比较大小的；故错误；对于③，若=，则||=||是正确的；对于④，若|z1|=|z2|，只能说明两个复数的模相等，故z1=z2或z1=错误．故选B点评：本题考查了复数相等、模相等等基础知识；熟记概念是关键．7．（5分）（xx春•梁子湖区校级期末）函数f（x）=xlnx的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：作图题．分析：由已知函数f（x）=xlnx的解析式，我们可以分析出函数的零点个数及在区间（0，1）上的图象位置，利用排除法可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=xlnx只有1一个零点∴可以排除CD答案又∵当x∈（0，1）时lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方∴可以排除B答案故选A点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质，是解答此类问题的关键．8．（5分）（xx春•禅城区期末）下列计算错误的是（）A．sinxdx=0B．dx=C．cosxdx=2cosxdxD．sin2xdx=0考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选D点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值．9．（5分）（xx春•泰安校级期中）已知函数，且f（x0）=0，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则（）A．f（a）＜0，f（b）＜0 B．f（a）＞0，f（b）＞0 C．f（a）＞0，f（b）＜0 D．f （a）＜0，f（b）＞0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：问题转化为两个函数的图象的交点问题，通过图象读出即可．解答：解：令f（x）=0，得：lnx=，画出函数y=lnx和函数y=的图象，如图示：，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则f（a）＜0，f（b）＞0，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10．（5分）（xx春•泰安校级期中）观察下列的规律：，，…则第93个是（）A．B．C．D．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数进行分组，找出每一组的规律即可得到结论．解答：解：分组：（），（，），（），（），…，则第n组为（，，…，），即每个组中有n个数，则前n组共有1+2+3+…+n=，当n=13时，=，则第93个数在第14组，为第2个数为，故选：B．点评：本题主要考查数列项的表示，根据条件进行分组是解决本题的关键．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2011•姜堰市校级模拟）设函数，其中，则导数f′（1）的取值范围是[，2]．考点：正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先对函数进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．解答：解：∵，∴f'（x）=sinθx2+cosθx∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵，∴θ+∈[，]∴sin（θ+）∈[，1]∴f′（1）∈[，2]故答案为：[，2]．点评：本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用．考查基础知识的简单综合．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和基础题的练习．12．（5分）（xx春•泰安校级期中）已知在等差数列{a n}中，，则在等比数列{b n}中，类似的结论为．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：在等差数列中，等差数列的性质m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m+n=p+q，则b m b n=b p b q．解答：解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．点评：本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．13．（5分）（xx春•泰安校级期中）定义运算=ad﹣bc，若复数x=，y=，则y=﹣5．考点：复数的基本概念；复数求模；二阶矩阵．专题：探究型．分析：先化简x=，求出x，然后按定义运算=ad﹣bc，代入x，化简求解即可．解答：解：x=y==4xi﹣4﹣（3+3i﹣xi+x）=5xi﹣7﹣3i﹣x=﹣5故答案为：﹣5点评：本题考查复数的基本概念，复数求模等知识，是创新题，中档题．14．（5分）（xx•衡南县二模）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x﹣1．考点：导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．解答：解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．∴f（x）=x2，f'（x）=2x∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．答案y=2x﹣1点评：本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．15．（5分）（xx春•宁波校级期末）设a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是③⑤．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．考点：分析法和综合法；反证法．专题：证明题．分析：由题设中的条件对各个结论进行判断，其中①②可用同一方法判断，③⑤两结论分别与①②两结论对立，由①②的正误可判断③⑤的正误，④中包含①，且与⑤矛盾，易判断解答：解：由题意a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，对于的值中，若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2大于1，这与已知矛盾，故①不对；若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2小于1，这与已知矛盾，故②不对；由于③与①两结论互否，故③对④不可能成立，的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对⑤与②两结论互否，故正确综上③⑤两结论正确故答案为③⑤点评：本题考查分析法与综合法，解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含，结合题设条件对题设中所给的结论作出判断三．解答题（共75分）16．（12分）（xx春•泰安校级期中）计算：（1）求的导数．（2）=．考点：定积分；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据求导公式和法则求出已知函数的导数即可．（2）根据定积分的计算方法计算即可，解答：解（1）：∵（2）：原式==（x3﹣4x）|+（4x﹣x3）|=．故答案为：．点评：本题考查了求导公式和法则和定积分的计算，是基础题．17．（12分）（xx•上海）已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．解答：解：设复数z=m+ni（m，n∈R），由题意得z+2i=m+ni+2i=m+（n+2）i∈R，∴n+2=0，即n=﹣2．又∵，∴2n+m=0，即m=﹣2n=4．∴z=4﹣2i．∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．点评：本题考查复数的加减乘除运算及复数的代数形式和几何意义，本题解题的关键是整理出所给的复数的代数形式的标准形式，本题是一个中档题目．18．（12分）（xx春•泰安校级期中）在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，且相应各边上的高分别为h a，h b，h c，则有=1．请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d．则有+++=1，由三棱锥的体积公式可证明．解答：解：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d．则有+++=1．证明：==，同理有=，=，=，又V P﹣BCD+V P﹣CDA+V P﹣BDA+V P﹣ABC=V A﹣BCD，∴+++==1．点评：本题考查类比推理，谁三棱锥的体积公式，属中档题．19．（12分）（2011春•无极县校级期末）已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；数形结合．分析：（1）先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；（2）根据第一问函数的增减性得到函数的极大值为f（1）和极小值为f（3），然后算出x→﹣1+时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞；据此画出函数y=f（x）的草图，由图可知，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．解答：解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：x （﹣1，1）1 （1，3）3 （3，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增f（x）的增区间是（﹣1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．（2）由（1）知，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．∴f（x）极大=f（1）=16ln2﹣9，f（x）极小=f（3）=32ln2﹣21．又x→﹣1+时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞；可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，当且仅当f（3）＜b＜f（1），故b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道综合题．20．（13分）（xx秋•曲沃县校级期末）已知函数f（x）=x﹣．（1）讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）求f（x）的定义域和导数fˊ（x）=，设g（x）=x2﹣ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据△的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）＞0和g（x）＜0确定的f（x）单调区间；（2）由条件确定f'（x）≤0，再转化为x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论．解答：解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，①当△=a2﹣8＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当△=a2﹣8=0，即a=2时，仅对x=有f′（x）=0，对其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．③当△=a2﹣8＞0，即a＞2时，g（x）=x2﹣ax+2=0有两个不同的实根，，由f′（x）＞0得，0＜x＜或x＞，由f'（x）＜0得，＜x＜，此时f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）是上单调递减，（2）解：f′（x）=1+﹣=，依题意f'（x）≤0（等零的点是孤立的），即x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，令g（x）=x2﹣ax+2，则有，解得a≥3，故实数a的取值范围为[3，+∞）．点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及二次函数的图象应用等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力，以及分类讨论的思想方法．精品文档21．（14分）（xx•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a n和b n的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a k和b k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a n}，{b n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．解答：解：（1）由条件得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2，那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故==综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．28252 6E5C 湜33887 845F 葟t36566 8ED6 軖33610 834A 荊40308 9D74 鵴22532 5804 堄35312 89F0 觰• 0 28976 7130 焰38799 978F 鞏实用文档。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期期中考试题高二数学〔理科〕一．选择题〔本大题一一共12小题，每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求〕1.函数y=x2cosx的导数为A.y′=2xcosx－x2sinxB.y′=2xcosx+x2sinxC.y′=x2cosx－2xsinxD.y′=xcosx－x2sinx【答案】A【解析】试题分析：.故A正确.考点：导数公式.2.以下表述正确的选项是〔〕①归纳推理是由局部到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【答案】D【解析】试题分析：归纳推理是由局部到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的考点：归纳推理；演绎推理的意义3.=()A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义计算【详解】=〔x2﹣4x〕|=25﹣20=5，应选：A．【点睛】题主要考察了定积分的简单应用，解题的关键是求被积函数的原函数，属于根底题．在复平面上对应的点位于第________象限A.一B.二C.三D.四【答案】C【解析】【分析】将复数化简为的形式，得到，就可以得到答案．【详解】∵复数∴复数在复平面上对应的点位于第三象限应选C.【点睛】复数化简为的形式，是解题关键，的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．根底题目．①假设，那么；②；③；正确的个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据初等函数的导数公式，进展判断即可.【详解】因为〔cosx〕′=﹣sinx，所以①错误，因为===﹣，所以②正确，因为f〔x〕=，所以，f′〔x〕=﹣2x﹣3，所以f′〔3〕=﹣，所以③正确．故正确的个数为2个，应选：C．【点睛】此题主要考察了初等函数的导数公式的应用，属于根底题．6.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线；直线平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线〞的结论显然是错误的，这是因为〔〕A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】A【解析】【分析】此题考察的知识点是演绎推理的根本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，假设平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线〞的推理过程，不难得到结论．【详解】在推理过程“直线平行于平面，那么平行于平面内所有直线；直线平面，直线平面，直线∥平面，那么直线∥直线应选A．【点睛】归纳推理和演绎推理睬出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑构造错误．的图象与直线相切，那么a等于〔〕A. B. C. D.1【答案】B【解析】此题考察导数的几何意义.设切点为那么，消去解得应选B〕A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】分析：.详解：用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于应选B.点睛：，.9.设函数f〔x〕在定义域内可导，y=f〔x〕的图象如下列图，那么导函数y=f′〔x〕的图象可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】原函数在单调递增，在先单调递增再单调递减，然后再增，故导函数在大于零，在先大于零再小于零，然后大于零，所以选D.点睛：函数在某个区间内可导，假设，那么在该区间为增函数；假设，那么在该区间为减函数.因此函数与导函数的关系可由函数增减性与导函数正负对应关系断定.y=,x=1,x=2,y=0所围成的封闭曲线的面积为〔〕A.ln2B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】利用定积分表示面积，然后计算即可．【详解】由曲线y=，x=1，x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为：=lnx|=ln2；应选：A．【点睛】用微积分根本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，假设被积函数是绝对值函数或者分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加在上是单调函数,那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由f〔x〕的解析式求出导函数，导函数为开口向下的抛物线，因为函数在R上为单调函数，所以导函数与x 轴没有交点或者只有一个交点，即△小于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a 的取值范围．【详解】由f〔x〕=﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′〔x〕=﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在〔﹣∞，+∞〕上是单调函数，所以f′〔x〕=﹣3x2+2ax﹣1≤0在〔﹣∞，+∞〕恒成立，那么△=，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．应选：B．【点睛】函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论〔1〕假设在内，那么在上单调递增〔减〕．〔2〕在上单调递增〔减〕〔〕在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．〔不要掉了等号．〕〔3〕假设函数在区间内存在单调递增〔减〕区间，那么在上有解．〔不要加上等号．〕的定义域为开区间，导函数在内的图象如下列图，那么函数在开区间内有极小值点()A.个B.个C.个D.个【答案】A【解析】【分析】由图象得：f〔x〕的增区间为〔a，c〕，〔d，0〕，〔0，e〕，减区间为〔c，d〕，〔e，b〕，从而求出函数f〔x〕在开区间〔a，b〕内有1个极小值．【详解】函数f〔x〕的定义域为开区间〔a，b〕，导函数f′〔x〕在〔a，b〕内的图象如下列图，由图象得：当a＜x＜c，或者d＜x＜0，或者0＜x＜e时，f′〔x〕＞0，当c＜x＜d或者e，x＜d时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕的增区间为〔a，c〕，〔d，0〕，〔0，e〕，减区间为〔c，d〕，〔e，b〕，∴f〔d〕是函数f〔x〕在开区间〔a，b〕内有极小值，∴函数f〔x〕在开区间〔a，b〕内有1个极小值．应选：A．【点睛】此题考察函数的极小值的个数的求法，考察导数性质、函数的单调性、函数的极值等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，总分值是20分〕13.是虚数单位，那么满足的复数的一共轭复数为_______________【答案】【解析】【分析】把等式两边同时乘以，直接利用复数的除法运算求解，再根据一共轭复数的概念即可得解.【详解】由，得.∴复数的一共轭复数为故答案为.【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的一共轭复数，是根底题．f(x)＝e x x2的单调递减区间为______________．【答案】(－2，0)【解析】【分析】由f〔x〕=e x•x2可求得f′〔x〕=e x〔x2+2x〕，由f′〔x〕＜0可求其递减区间．【详解】∵f〔x〕=e x•x2，∴f′〔x〕=e x•x2+2x•e x=e x〔x2+2x〕，∴由f′〔x〕＜0得：﹣2＜x＜0；∴f〔x〕=e x•x2的单调递减区间为〔﹣2，0〕．故答案为：〔﹣2，0〕．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，求得f′〔x〕=e x〔x2+2x〕是关键，考察分析与运算的才能，属于根底题．15.由直线与圆相切时,圆心与切点的连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点的连线与平面垂直，用的是____推理【答案】类比【解析】【分析】从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．【详解】从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间，用的是类比推理．故答案为类比．【点睛】此题主要考察学生的知识量和对知识的迁移类比的才能．类比推理的一般步骤是：〔1〕找出两类事物之间的相似性或者一致性；〔2猜想〕．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如下列图，其中－3，2，4是f'(x)＝0的根，(1)f(4)是f(x)的极小值；(2)f(2)是f(x)极大值；(3)f(－2)是f(x)极大值；(4)f(3)是f(x)极小值；(5)f(－3)是f(x)极大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】由图象可知，函数在﹣2，3处，导数不为0，故不取极值；函数在﹣3，4处，导函数为0，函数有可能取极值，当左正右负，取极大值；当左负右正，取极小值【详解】由图象可知，函数在﹣2，3处，导数不为0，故不取极值，那么〔3〕〔4〕错误；函数在﹣3，4处，导数为0，且先减后增，故函数在﹣3，4处获得极小值，那么〔1〕对，〔5〕错；函数在2处导数为0，且先增后减，故函数在2处获得极大值，那么〔2〕对，故答案为：(1)(2)．【点睛】极值点处导函数与x轴相交，要注意验证导数为0处左右的函数的单调性．一个可导函数在某点处有极值的充要条件是这个函数在该点处的导数等于0而且在该点两侧导数异号．三．解答题〔总分值是70分，解容许写出文字说明和演算步骤〕17.复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是(1)零；〔2〕纯虚数；〔3〕z=2+5i【答案】⑴m=1⑵m=0⑶m=2【解析】【分析】对于复数，〔1〕当且仅当时，复数；〔2〕当且仅当，时，复数是纯虚数；〔3〕当且仅当，时，复数．【详解】〔1〕当且仅当解得m=1，即m=1时，复数z=0．〔2〕当且仅当解得m=0，即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数．〔3〕当且仅当解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i．【点睛】此题考察了复数的根本概念，深入理解好根本概念是解决好此题的关键．18.(－)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式中的常数项．【答案】180【解析】依题意∶＝14∶3，即3＝14，∴＝，∴n＝10.设第r＋1项为常数项，又T r＋1＝()10－r(－)r＝(－2)r令＝0，得r＝2.∴T3＝(－2)2＝180，即常数项为180.19.观察以下各等式(i为虚数单位)：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos5＋isin5)＝cos8＋isin8；(cos4＋isin4)(cos7＋isin7)＝cos11＋isin11；(cos6＋isin6)(cos6＋isin6)＝cos12＋isin12．记f(x)＝cos x＋isin x．猜想出一个用f(x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；【答案】f(x)f(y)＝f(x＋y)【解析】【分析】由中的式子，发现假设，那么，进而利用复数的运算法那么和和差角公式，可证得结论.【详解】f(x)f(y)＝(cosx＋isinx)(cosy＋isiny)＝(cosxcosy－sinxsiny)＋(sinxcosy＋cosxsiny)i＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)＝f(x＋y)．猜想〕．20.a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a)。

卜人入州八九几市潮王学校安平二零二零—二零二壹第二学期期中考试高二数学(理科)试题一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕..假设随机变量ξ的分布列如下表所示，那么p1＝()ξ－1 2 4P p1A.0B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由分布列的性质：所有随机变量对应概率的和为列方程求解即可.【详解】因为所有随机变量对应概率的和为，所以，，解得，应选B.【点睛】此题主要考察分布列的性质，意在考察对根本性质的掌握情况，属于简单题.2.假设随机变量X～B〔n，0.6〕，且E〔X〕=3，那么P〔X=1〕的值是〔〕A.4B.2×5C.4D.4【答案】C【解析】试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．解：∵随机变量X服从，∵E〔X〕=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P〔X=1〕=C51〔0.6〕1〔0.4〕44应选C．考点：二项分布与n次HY重复试验的模型．.以下说法正确的选项是()A.相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B.HY性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以HY性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C.相关关系可以对变量的开展趋势进展预报，这种预报可能是错误的D.HY性检验假设得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的【答案】C【解析】相关关系虽然是一种不确定关系，但是回归分析可以在某种程度上对变量的开展趋势进展预报，这种预报在尽量减小误差的条件下可以对消费与生活起到一定的指导作用；HY性检验对分类变量的检验也是不确定的，但是其结果也有一定的实际意义，故正确答案为C..回归直线方程，其中且样本点中心为，那么回归直线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程，将样本点的中心坐标代入，即可求得回归直线方程.【详解】回归直线方程为，样本点的中心为，，，回归直线方程，应选C.【点睛】此题主要考察回归方程的性质以及求回归方程的方法，属于简单题.回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势..随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826.假设μ＝4，σ＝1，那么P(5<X<6)＝()A.0.1359B.0.1358C.0.2718D.0.2716【答案】A【解析】【分析】根据变量符合正态分布和所给的和的值，结合原那么，得到，两个式子相减，根据对称性得到结果.【详解】随机变量符合正态分布，，，，，，应选A.【点睛】此题主要考察正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考察知识点较为明晰，只要纯熟掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解..如下列图，表示3种开关，假设在某段时间是内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为〔〕A.0.504B.0.994 C【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作的概率为，即可靠性为0.994．应选B．考点：互相HY事件同时发生的概率．【名师点睛】1．对于事件A，B，假设A的发生与B的发生互不影响，那么称A，B互相HY；2．假设A与B互相HY，那么P(B|A)＝P〔B〕，P(AB)＝P(B|A)×P(A)＝P〔A〕×P〔B〕3．假设A与B互相HY，那么A与，与B，与也都互相HY．4．假设P(AB)＝P(A)P(B)，那么称A，B互相HY．.如下列图的5个数据，去掉后，以下说法错误的选项是〔〕A.相关系数变大B.残差平和变大C.变大D.解释变量与预报变量的相关性变强【答案】B【解析】分析：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．详解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小．应选B．点睛：此题考察刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数r，相关指数R2及残差平方和，属根底题.8.随机变量X～B(6,0.4)，那么当η＝－2X＋1时，D(η)＝()A.－8B.－2.88 C【答案】C【解析】试题分析：因为随机变量X～B(6,0.4)，所以，.应选C.考点：1、离散型随机变量的分布列〔二项分布〕；2、离散型随机变量函数的方差.9.9.一名篮球运发动投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为bc(a，b，c∈(0,1))2()，那么ab的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤〔当且仅当a=，b=时取等号〕∴ab的最大值为．故答案：D．考点：离散型随机变量的期望与方差．10.10.以下说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在程度的带状区域内，说明选用的模型比较适宜；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中说法正确的选项是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】①在残差图中，残差点比较均匀地落在程度的带状区域内，说明选用的模型比较适宜，正确．②相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．故答案为C11.将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不一样〞，“至少出现一个6点〞，那么概率等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵P〔A|B〕=P〔AB〕÷P〔B〕，P〔AB〕=P〔B〕=1-P〔.B〕=1-∴P〔A/B〕=P〔AB〕÷P〔B〕=考点：条件概率与HY事件12.同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，那么X的均值是()A.20B.25C.30D.40【答案】B抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为，所以X～B.故E(X)＝80×＝25.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分).13.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，假设两人同时射一个目的，那么他们都中靶的概率是.【答案】【解析】试题分析：依题意可知甲中靶与乙中靶是互相HY事件，且他们中靶的概率分布为0.8，0.7。

高二期中理科数学试卷10、 若 f ( x)1 x2 b ln( x 2)在 (-1,+ ) 上是减函数，b 的取 范 是（）2第 I 卷 （ , 共 60 分）A. [ 1,)B.( 1, )C.( , 1]D.( , 1)一、 （共12 小 ，每小 5 分，共 60 分）11、点 P 是曲 yx 2ln x上任意一点 , 点 P 到直 yx 2 的距离的最小 是（）51、复数的共 复数是 ()2i(A)１(B)2(C)２(D) 2 2A 、 i 2B 、 i 2C 、2 iD 、 2 i'12、 于 R 上可 的任意函数 f （ x ），且3f (1) 0若 足（ － ）， 必有（）2、 已知 f(x)=x· sinx，f '(1) )x1 f（ x ）>0=(A ． f （0）＋ f （2） 2 f （ 1）B ． f （ 0）＋ f （2） 2 f （ 1）1+cos1 B.1 sin1+cos1 C.1 D.sin1+cos1C ． f （0）＋ f （2） > 2 f （ 1）D． f （0）＋ f （ 2） 2 f （ 1）A.3 sin1-cos133第Ⅱ卷 （非 , 共 90 分）3、 设 aR ，函数 fe xae x 的导函数为 f ' xx，且 f ' x是奇函数，则 a 为 （）5 分，共 20分）二．填空 （每小A ．0B． 1 C．2D． -124、 定积分1x13、 f (x)x , x [0,1]， 02f ( x) dx =( 2 x e ) dx 的值为（ ）2 x, x(1,2]A 2 eB e CeD2 e ．． ．1．14、若三角形内切 半径r ，三 a,b,c 三角形的面S（r a b c ）；1 112(n ≥ 2， n ∈N * )的 程中，由5、利用数学 法 明不等式1＋ 2 ＋ 3＋⋯2n － 1<f(n) n ＝ k 到 n＝ k ＋ 1 ，左 增加了 ()利用 比思想：若四面体内切球半径R ，四个面的面S 1， S 2， S 3， S 4 ；A ． 1B ． kk －1k四面体的体V=C ．2D ． 22，其中 i 是虚数 位， |z|＝ ______.15、若复数 z ＝6、由直 y= x - 4，曲 y2x 以及 x 所 成的 形面 （）1＋ 3i16、已知函数 f(x) ＝ x 3＋ 2x 2－ ax ＋ 1 在区 (－ 1,1)上恰有一个极 点， 数 a 的取 范_____．4025B.13C.D.1570 分）A.2三、解答 （本大 共37、函数 f (x)x 3ax 2bx a 21 有极 10,点 (a, b)（）17、（ 10 分） 实数 m 取怎样的值时，复数z m3 (m 22m 15)i 是：在 x（ A ） (3,3) （ B ） (4,11) （ C ） (3,3) 或 ( 4,11)（ 1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（D ）不存在18、（ 12 分）已知函数f ( x) x33x .8、函数 f(x) ＝ x 2－ 2lnx 的 减区 是 ( )3, 3] 上的最大 和最小 . A ． (0,1]B ． [1，＋∞ )C ． (－∞，－ 1]∪ (0,1]D ．[ －1,0)∪ (0,1]（ 1）求函数 f ( x) 在 [29、 已知f ( x1) 2 f ( x) , f (1)，猜想 的表达式（ ）（ 2） 点 P(2,6)作曲 y f ( x) 的切 ，求此切 的方程 .f (x) 2 1 （ x N *）f (x ）A. f (x)2 x4 ； B.f ( x)2； C.f (x)1； D.f ( x)2 .2x 1x 12x 11 1 又因 f (3)18, f ( 1) 2, f (1)3919、（ 12 分）在各 正的数列a n 中 , 数列的前 n 和 S n 足 S n2, f ( )，a n,282a n⑴求 a 1 , a 2 , a 3 ；所以当 x3 ， f (x) min 18 当 x1 ， f (x)max2 ⋯⋯⋯⋯ 6 分y ( x o 33(x o 2a n（ II ） 切点 Q( x o , x o 3 3x o ) ， 所求切 方程 3x o ) 1)(x x o )⑵由⑴猜想数列的通 公式 , 并用数学 法 明你的猜想由于切 点 P(2, 6) ，6 ( x o 33x o ) 3( x o21)(2 x o ) ，220、（ 12 分）已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c 在 x 与 x 1 都取得极解得 x o 0 或 x o3 所以切 方程y3x 或 y 6 24( x 2) 即(1) 求 a, b 的 与函数 f ( x) 的 区33x y 0 或 24 x y54 0(2) 若 x[ 1,2] ，不等式 f (x) 2⋯⋯⋯⋯ 12 分c 恒成立，求 c 的取 范21、（ 12 分）已知函数f ( x) 2x 3 3x 2 3.（ 1）求曲 yf ( x) 在点 x 2 的切 方程；（ 2）若关于 x 的方程 fxm 0 有三个不同的 根，求 数m 的取 范 . 19 . 解 : ⑴易求得 a 11, a 2 2 1, a 3 32⋯⋯⋯⋯ 2 分f xa 2xxln x ，其中 a0 ．⑵猜想 a nn n1(n N *)22、（ 12分）已知函数x， g⋯⋯⋯⋯ 5 分xa 的 ；（ 1）若 x1 是函数 h xf xg x 的极 点，求 数明 : ①当 n 1 , a 111, 命 成立（ 2）若 任意的 x 1 , x 21， e （ e 自然 数的底数）都有fx 1 ≥ g x 2 成立，求 数 a的取 范 ．②假 nk , a k k k 1 成立 ,n k1 ,ak 1Sk 1S k1(a k 11 ) 1(a k 1 )参考答案2ak 12a k1、 D 2 、 B 3 、 D 4 、 A 5 、D 6 、 A 7 、 B 8 、 A 9 、 B 10 、 C 11 、B 12 、 C11)1 ( kk 11 11k ,51(a k 1ak 1 2)( a k 1)13、14、S 3 +S 4）15 、116、 [ －1,7)2kk 12ak 16R （S 1 S 2317. 解：（1）当 m 22m 15 0 ，即 m 3 或 m 5 时，复数 Z 为实数；（3 分） （ 2）当 m 22m 15 0 ，即 m3 且 m5 时，复数 Z 为虚数；（ 7 分）（ 3）当 m22m15 0,且 m - 3 0 ，即 m 3 时，复数 Z 为纯虚数；（ 10 分） 18. 解：（ I ） f '( x) 3( x 1)( x 1) ，当 x[ 3, 1) 或 x (1, 3] ， f '(x) 0 ，[ 3,1],[1, 3] 函数 f (x) 的 增区22 当 x( 1,1) ， f '(x)0 ， [ 1,1] 函数f (x) 的 减区所以 , a k 2 1 2 ka k 1 1 0 , ak 1k 1 k .即 n k1 , 命 成立 .由①②知 , nN * , a nnn 1 . ⋯⋯⋯⋯ 12 分20. 解：（ 1） f ( x) x 3 ax 2 bx c, f ' ( x) 3x 2 2axb由 f '( 2 )12 4 ab 0 ， f '(1)3 2a b 0 得 a1, b23 9 32f ' ( x) 3x 2x 2 (3x 2)( x1) ，函数 f ( x) 的 区 如下表：(, 2) 2( 2,1) (1, )333f '( x)f ( x)极大极小所以函数 f ( x) 的 增区 是 (, 2) 与 (1,) , 减区 是 ( 2,1) ；⋯⋯⋯⋯ 6 分33 （ 2） f ( x)x 31 x 22xc, x [ 1,2] ，当 x2， f ( 2)22 c233 27 极大 ，而f (2) 2 c ， f (2)2 c 最大 ，要使f ( x)c 2, x [ 1,2]恒成立， 只需要c 2f (2) 2 c ，得 c 1,或 c2 ⋯⋯⋯⋯ 12 分21 解：（ 1） f ( x) 6x 26x, f (2) 12, f (2)7, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分∴曲 y f ( x) 在 x2 的切 方程 y 7 12( x 2) ，即 12x y 170 ；⋯⋯ 4 分（ 2） g (x)2x 3 3x 2 m 3, g (x) 6x 2 6x 6x(x 1)令 g ( x) 0, x 0 或 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x, g ( x), g( x) 的 化情况如下表x(,0) 0 (0,1)1(1,)g ( x)g( x) Z 极大] 极小Z当 x 0, g (x) 有极大 m 3; x1, g( x) 有极小 m 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分由 g(x) 的 知，当且 当g(0) 0g(1) ,m 3 0 m2 ，即2, 3m 0函数 g(x) 有三个不同零点， 点 A 可作三条不同切 .所以若 点A 可作曲 yf ( x) 的三条不同切 ， m 的范 是 ( 3,2) . ⋯⋯⋯⋯ 12 分22. 解：（ 1）解法 1： ∵ hx 2xa2ln x ，其定 域0，，xa2∴ h x1．2x 2 x∵ x 1 是函数 h x 的极 点，∴ h1 0 ，即 3a20 ．∵ a0 ，∴ a3 ．当 a 3 ， x1 是函数 h x的极 点，∴ a3 ．解法 2： ∵ h xa 2ln x ，其定 域0，， 2xxa 2∴ h x12．x 2x令 h x0 ，即 2 a 2 1 0 ，整理，得 2x 2x a 2 0 ．x 2x∵ 1 8a 2 0 ，∴ hx0 的两个 根 x 1 11 8a 211 8a 24（舍去）， x 24，当 x 化 ， hx ， hx 的 化情况如下表：x 0,x 2x 2x 2 ,h x —＋h x]极小Z依 意，11 8a2 1，即 a 23 ，4∵ a 0 ，∴ a 3 ．（ 2）解： 任意的 x , x1，e 都有 f x ≥ g x成立等价于 任意的 x , x2 1， e 都12121有f x≥ gx．minmax当 x ［ 1， e ］ ， gx1 0 ．1x∴函数 g xx ln x 在 1，e 上是增函数．∴ g xmaxg ee 1 ．∵ f x1a 2x ax a1, e ， a 0 ．22，且 xxxx a x a①当 0 a 1且 x［1， e ］ ， f x0 ，x2∴函数 f xxa 2在［ 1， e ］上是增函数，x∴ fxminf 11 a2 .由 1 a 2≥ e 1a≥ e ，，得又 0 a 1，∴ a 不合 意．②当 1≤ a ≤ e ，x a x a若 1≤ x ＜ a ，则 f xx 2 0 ，x a x a若 a ＜ x ≤ e ，则 f xx20 ．∴函数 f xxa 2 上是减函数，在a ，e 上是增函数．在 1,ax∴f xfa 2a.min由 2a ≥ e 1，得 a ≥e 1，2又 1≤ a ≤ e ，∴e 1≤ a ≤ e ． 2③当 a e 且 x［ 1， e ］时， f x a x axx 20 ，∴函数 f xa 2在 1， e 上是减函数．xx∴ fxf ee a 2 .minea2由eeae ，≥，得 ≥e 1又 ae ，∴ a e ．综上所述， a 的取值范围为 e 1．2 ,。

2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√173．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．94．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝45．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π37．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．4311．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√312．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ． 14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ ．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝ ．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．18．（12分）已知函数F(x)=log a (1−x 2)(a ＞0，且a ≠1）． （1）判断函数F （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）若F(m +1)＞F(12−2m)，求m 的取值范围．19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 20．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3acosC +√3csinA =3b ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝1．点D ，E ，F 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1上，A 1D =CF =23，BE ＝1．M 为AC 中点，连接BM ． （1）证明：BM ∥平面DEF ；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}解：因为M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}＝{x |2＜x ＜6}，N ＝{x |1＜x ＜5}， 所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜5}． 故选：A ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√17解：复数z =3+5i1+i =(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=8+2i2=4+i ，有|z|=√17． 故选：D ．3．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10， 因为10×70%＝7，所以第70百分位数为8+92=8.5，故选：C ．4．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝4解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0化为标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4，得圆心（2，4），半径为2， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝4，此时直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ＝0， 圆心（2，4）到直线l 的距离为d =√k +1=√k +1，由相切得d ＝r ＝2， 所以√k 2+1=2，平方化简得k =−34，求得直线方程为3x +4y ﹣12＝0，综上，直线l 的方程为3x +4y ﹣12＝0或x ＝4． 故选：B ．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →解：PM →=2MC →，则PM →=23PC →， 若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=BP →+PM →=BP →+23PC →=AP →−AB →+23(AC →−AP →)=13AP →+23AC →−AB → =13AP →+23(AB →+AD →)−AB →=13AP →−13AB →+23AD → =−13a →+23b →+13c →．故选：D ．6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π3解：设圆锥母线长为a ，底面半径为r ，侧面积是16π，则π•r •a ＝16π，有ar ＝16， 侧面展开图顶角为π2=2πr a，有a ＝4r ，解得r ＝2，a ＝8，则圆锥的高ℎ=√a 2−r 2=√82−22=2√15， 故V =13Sℎ=13πr 2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√15=8√15π3． 故选：C ．7．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√34（x +a ），由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√34（2c +a ），整理得：a ＝2c ， ∴离心率e =ca =12． 故选：C ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1PA 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)解：对于A ，由三角函数的性质，可得f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以A 正确； 对于B ，当x =7π12时，可得f(7π12)=sin(2×7π12+2π3)=sin 11π6≠±1， 所以f （x ）的图象不关于直线x =7π12对称，所以B 错误； 对于C ，由f(x +π3)=sin[2(x +π3)+2π3]=sin(2x +4π3)，此时函数f(x +π3)为非奇非偶函数，所以C 错误； 对于D ，令π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ，所以D 正确． 故选：AD ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．43解：因为三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形， 所以直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行， 且直线mx ﹣y ﹣1＝0不过2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点，直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行时，m ≠23，且m ≠−43， 联立{2x −3y +1=04x +3y +5=0，解得{x =−1y =−13， 即直线2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点坐标为(−1，−13)， 代入直线mx ﹣y ﹣1＝0中，得m =−23，结合题意可知m ≠−23， 对照各个选项，可知实数m 的取值可以为2或43，故选：AD ．11．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√3解：因为AB →=AO →+OC →+CB →，平方得AB →2=(AO →+OC →+CB →)2=AO →2+OC →2+CB →2+2AO →⋅OC →+2OC →⋅CB →+2CB →⋅AO →． 因为a ，b 所成的角为60°，所以〈CB →，AO →〉=60°或〈CB →，AO →〉=120°．当〈CB →，AO →〉=60°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32+2×4×3×12， 所以OC →2=12，所以|OC →|=2√3；当〈CB →，AO →〉=120°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32−2×4×3×12， 所以OC →2=36，所以|OC →|=6．综上所述，|OC →|=2√3或|OC →|=6，即OC 的长为6或2√3． 故选：AC ．12．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 解：双曲线C ：x 28−y 24=1，则a =2√2，b =2， 对于A ，C 的渐近线方程为y =±b a x =±√22x ，A 正确； 对于B ，由双曲线的渐近线方程为y =±√22x 可知， 若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|＜√22，B 错误； 对于C ，设点P （x ，y ），则x 28−y 24=1⇒x 2−2y 2=8，点P 到C 的两条渐近线的距离之积为√2y|√12+(√2)2√2y|√12+(√2)2=|x 2−2y 2|3=83，C 正确；对于D ，易得A(−2√2，0)，B(2√2，0)，设P （x ，y ），则y 2=4(x 28−1)(x ≠±2√2)， 所以直线P A ，PB 的斜率之积为x+2√2×x−2√2=y 2x 2−8=4(x 28−1)x 2−8=12，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 x +y ﹣5＝0 ． 解：因为A （1，2），B （3，4），所以线段AB 的中点为（2，3），垂直平分线的斜率k =1−k AB =−1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0． 故答案为：x +y ﹣5＝0．14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ −35 ． 解：因为cos(π4−α)=√210，又α∈(π2，π)， 所以π4−α∈(−3π4，−π4)，所以sin(π4−α)=−√1−cos(π4−α)2=√1−150=−7√210， cosα=cos[π4−(π4−α)]=cos π4cos(π4−α)+sin π4sin(π4−α) =√22×√210+√22×(−7√210)=−35． 故答案为：−35．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝812．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，0），A 2（1，0，0），A 3（1，1，0），A 4（0，1，0），A 5（0，0，1），A 6（1，0，1），A 7（1，1，1），A 8（0，1，1）， 设向量A 1A j →=(x ，y ，z)，而A 1A 7→=(1，1，1)， 故m j =A 1A j →⋅A 1A 7→=x +y +z ，故m 1+m 2+…+m 27表示各点的坐标和的和，现各点的横坐标之和为X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ， 根据对称性可得X =Y =Z =1×9+12×9+0×9=272， 故m 1+m 2+⋯+m 27=3×272=812， 故答案为：812．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 4√2−5 ． 解：如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点， 则|MF 1|+|MF 2|＝4，|MN |≥|ME |﹣1（当且仅当M 、N 、E 共线时取等号）， ∴|MN |﹣|MF 1|＝|MN |﹣（4﹣|MF 2|）＝|MN |+|MF 2|﹣4≥|ME |+|MF 2|﹣5≥|EF 2|﹣5， ∵F 2（1，0），E （5，4），则|EF 2|=√(5−1)2+(4−0)2=4√2， ∴|MN |﹣|MF 1|的最小值为：4√2−5． 故答案为：4√2−5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，该中位数为30+0.10.4×(40−30)=32.5；（2）由频率分布直方图可知，违章车次在（30，40]的路口有10×0.04×10＝4个，设为a，b，c，d，违章车次在（40，50]的路口有10×0.02×10＝2个，A，B，现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，共有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15个，其中抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的事件为：aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8个，故抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率为：815．18．（12分）已知函数F(x)=log a(1−x2)(a＞0，且a≠1）．（1）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若F(m+1)＞F(12−2m)，求m的取值范围．解：（1）F（x）为偶函数，理由如下：由1﹣x2＞0得﹣1＜x＜1，即函数F（x）的定义域为（﹣1，1），可知F（x）的定义域关于原点中心对称．又F(−x)=log a(1−x2)=F(x)，故F（x）为偶函数；（2）因为F（x）为偶函数，所以不等式F(m+1)＞F(12−2m)即F(|m+1|)＞F(|12−2m|)，由复合函数的单调性可知，当a＞1时，y＝log a t在（0，+∞）上单调递增，而t＝1﹣x2在（0，1）上单调递减，故F（x）在（0，1）内单调递减，则F（x）在（﹣1，0）内单调递增；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 在（0，+∞）上单调递减，而t ＝1﹣x 2在（0，1）上单调递减，故F （x ）在（0，1）内单调递增，则F （x ）在（﹣1，0）内单调递减；（i ）当a ＞1时，由已知有{−1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＜|12−2m|，解得−14＜m ＜−16；（ii ）当0＜a ＜1时，由已知有{ −1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＞|12−2m|，解得−16＜m ＜0，故当a ＞1时，m 的取值范围为(−14，−16)；当0＜a ＜1时，m 的取值范围为(−16，0)． 19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 解：（1）直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0，即a （x +y +1）+（2x +y ）＝0， 联立{x +y +1=02x +y =0，解得{x =1y =−2，所以不论a 取何值，直线l 必过定点P （1，﹣2）；（2）由C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，知圆心C （﹣1，2），半径为5．当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l 的斜率为k =−2+a1+a ，k CP =−2−21−(−1)=−2， 有−2+a1+a ⋅(−2)=−1，解得a =−53． 此时直线l 的方程是x ﹣2y ﹣5＝0．圆心C（﹣1，2）到直线x﹣2y﹣5＝0的距离为d=|−1−4−5|5=2√5，所以最短弦长是2√r2−d2=2√25−20=2√5．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3acosC+√3csinA=3b．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．解：（1）由已知和正弦定理得3sinAcosC+√3sinCsinA=3sinB，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴√3sinCsinA=3sinCcosA，又sin C≠0，∴√3sinA=3cosA，有tanA=√3，又A∈（0，π），∴A=π3；（2）∵a＝2，且A=π3，∴由正弦定理有bsinB =csinC=2sinπ3=4√33，从而b=4√33sinB，c=4√33sinC，∵sinC=sin(A+B)=sin(π3+B)，∴b+c=4√33[sinB+sin(π3+B)]=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，有B∈(0，π2)，且A+B=π3+B∈(π2，π)，∴B∈(π6，π2)，∴B+π6∈(π3，2π3)，有sin(B+π6)∈(√32，1]，故b+c∈(2√3，4]，从而△ABC周长的取值范围为(2+2√3，6]．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝1．点D，E，F分别在棱AA1，BB1，CC1上，A1D=CF=23，BE＝1．M为AC中点，连接BM．（1）证明：BM∥平面DEF；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．（1）证明：取DF 中点N ，连接EN ，MN ， 又M 为AC 中点，所以MN 为梯形ADFC 的中位线， 所以MN ∥AD ，MN =AD+CF2=1， 又BE ∥AD ，故MN ∥BE ，且MN ＝BE ， 故四边形BMNE 为平行四边形，则BM ∥NE ， 因为NE ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ， 故BM ∥平面DEF ；（2）解：以M 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，MN 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系M ﹣xyz ，如图所示：则D(0，−12，43)，E(√32，0，1)，F(0，12，23)，设P(√32，0，a)， 可得DE →=(√32，12，−13)，DF →=(0，1，−23)，DP →=(√32，12，a −43)， 设平面DEF的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则n 1→⊥DE →，n 1→⊥DF →，则有{n 1→⋅DE →=0n 1→⋅DF →=0，即{√32x 1+12y 1−13z 1=0y 1−23z 1=0， 取z 1＝3，则y 1＝2，x 1＝0，得n 1→=(0，2，3)， 设平面PDF的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，由n 2→⊥DP →，n 2→⊥DF →，则有{n 2→⋅DP →=0n 2→⋅DF →=0，即{√32x 2+12y 2+(a −43)z 2=0y 2−23z 2=0， 取z 2＝3，则y 2＝2，x 2=2√3−2√3a ，得n 2→=(2√3−2√3a ，2，3)，由二面角P ﹣DF ﹣E 为30°，得|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√32， 即√13⋅√12a 2−24a+25=√32，解得a =1±√136， 故|EP|=√136．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解：（1）由题意知，a ＝2，c =√3， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1， 所以C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =ty +1x 24+y 2=1，得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 因为A （2，0），所以直线AM 的方程为y =y1x 1−2（x ﹣2），令x ＝4，则y E =2y 1x 1−2，即E （4，2y 1x 1−2），同理可得，F （4，2y 2x 2−2），由对称性知，若定点存在，则定点在x 轴上，设为P （x 0，0），则PE →⋅PF →=0， 所以（4﹣x 0，2y 1x 1−2）•（4﹣x 0，2y 2x 2−2）＝0，即（4﹣x 0）2+2y 1x 1−2•2y 2x 2−2=0， 因为（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（ty 1﹣1）（ty 2﹣1）＝t 2y 1y 2﹣t （y 1+y 2）+1＝t 2•（−3t 2+4）﹣t （−2t t 2+4）+1=4t 2+4， 所以（4﹣x 0）2+4⋅(−3t 2+4)4t 2+4=0，即（4﹣x 0）2＝3，所以x0＝4±√3，故以EF为直径的圆过定点，定点坐标为（4−√3，0）或（4+√3，0）．。

（1）求椭圆 C 方程； （2）已知 O 为坐标原点， A 、B 为椭圆 C 上非顶点的不同两点，且直线 AB 不过原点，不垂直于
坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：
①直线 OA 与直线 OB
斜率之积
kOA
kOB
为定值
b2 a2
；
② OAB 的面积为定值 1 ab ； 2 uur uuur uuur
证明：存在常数 0 ，使得 OA OB OM ，且点 M 在椭圆 C 上，并求出 的值.
（22）(本大题共 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1 17, 0 F2 17,0 ，动点 M 满足
MF1 MF2 2 ,点 M 的轨迹为 C . （1）求 C 的方程； （2）设点 T 在直线 x 1 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A 、 B 两点和 P ， Q 两点，且
32 C．
13
31 D．
13
7．已知中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 8 的椭圆被直线 l ： y 1 x 8 截得的弦的中点的横 33
坐标为 2 ，则此椭圆的方程为（ ）
A． x2 y2 1 48 32
B． x2 y2 1 24 8
C． x2 y2 1 48 16
D． x2 y2 1 96 32
15. 4 3 3
试卷第 5页，共 6 页
16. ①③④
【解】①；以 x 代 x ， y 不变代入方程中得， (x)2 y2 3 (x)2 y2 x2 y2 3 x2 y2 ，
所以图形关于纵轴对称；
以 y 代 y ， x 不变代入方程中得， x2 ( y)2 3 x2 ( y)2 x2 y2 3 x2 y2 ，所以图形关于横轴
B． x y 2 0

马鸣风萧萧马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．解答：解：===，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题．2．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先对函数f（x）=进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线f（x）=在点x=0处的切线斜率，进而可得到切线方程．解答：解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（x）|x=0=﹣1，切点坐标（0，1）∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即x+y﹣1=0．故选A．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算．导数是由高等数学下放到高中数学的新内容，是高考的热点问题，每年必考，一定要强化复习．3．（5分）曲线y=x3﹣3x和y=x围成的面积为（）A．4B．8C．10 D．9考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）曲线y=x3﹣3x与直线y=x在y轴右侧所围成的图形的面积是（x﹣x3+3x）dx=（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）=4，根据y=x3﹣3x与y=x都是奇函数，关于原点对称，y轴左侧的面积与第一象限的面积相等．∴曲线y=x3﹣3x与y=x所围成的图形的面积为2×4=8．故选B．点评：本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性．4．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．马鸣风萧萧解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：假设a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，得a++b++c+≤﹣6，因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，即a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．解答：解：假设a+，b+，c+都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．6．（5分）设，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C．D．考点：函数的表示方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．解答：解：根据题中所给式子，得f（n+1）﹣f（n）=﹣（）=﹣=故选C．点评：本题考查函数的表示方法，明确从n到n+1项数的变化是关键，属于基础题．7．（5分）把15个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是（）A．56 B．72 C．28 D．63考点：计数原理的应用．专题：计算题；分类讨论；概率与统计．分析：由题意知，本题限制条件较多，故应采取分类的方法，可按1号球中的小球的个数分类计数，选出正确答案解答：解：由题意，可按1号盒中小球的个数进行分类，进行计数若1号盒中小球的个数为2，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到9个，共7种放法；若1号盒中小球的个数为3，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到8个，共6种放法；若1号盒中小球的个数为4，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到7个，共5种放法；若1号盒中小球的个数为5，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到6个，共4种放法；若1号盒中小球的个数为6，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到5个，共3种放法；若1号盒中小球的个数为7，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到4个，共2种放法；若1号盒中小球的个数为8，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数只能为3个，共1种放法；综上，不同的放法种数是7+6+5+4+3+2+1=28种故选C点评：本题考查计数原理的应用，对于复杂问题的计数，找到合适的分类标准是准确计数的关键8．（5分）高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A．240 B．188 C．432 D．288考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，可先将两个音乐节目绑定，与另一个音乐节目看作两个元素，全排，由于三个音乐节目不能连排，故可按一个曲艺节目在此两元素之间与不在两元素之间分成两类分别记数，即可得到所有的排法种数，选出正确选项解答：解：由题意，可先将两个音乐节目绑定，共有=6种方法，再将绑定的两个节目看作一个元素与单马鸣风萧萧独的音乐节目全排有=2第三步分类，若1个曲艺节目排在上述两个元素的中间，则它们隔开了四个空，将两2个舞蹈节目插空，共有=12种方法；若1个曲艺节目排不在上述两个元素的中间，则它有两种排法，此时需要从两2个舞蹈节目选出一个放在中间避免3个音乐节目相连，有两种选法，最后一个舞蹈节目有三种放法综上，所以的不同排法种数为6×2×（1×12+2×2×3）=288故选D点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解答的关键是熟练掌握计数的一些技巧及准确使用计数公式计数，本题是基础题，计算型9．（5分）的展开式中含x15的项的系数是（）A．17 B．﹣34 C．51 D．﹣18考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于15，求得r的值，即可求得展开式中的含x15的项的系数．解答：解：∵的展开式的通项公式为T r+1=•x18﹣r•3﹣r•=•，令18﹣=15，解得r=2，故展开式中含x15的项的系数是=17，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．（5分）（2013•宁波二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．11．（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij=2013，则i与j的和为（）A．105 B．103 C．82 D．81考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前32个奇数行内数的个数的和为1024，得到2013在第32个奇数行内，且奇数从大到小排列，从而得到结果．解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2013=2×1007﹣1，得2013为第1007个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+…+61=961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2013在第32个奇数行内，所以i=63，且奇数从大到小排列因为第63行的第一个数为2×1024﹣1=2047，2013=2047﹣2（m﹣1），所以m=18，即j=18，所以i+j=81．故选D点评：本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：用列举法，由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．解答：解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；马鸣风萧萧a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．点评：本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）若曲线y=e x+a与直线y=x相切，则a的值为﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求导函数，利用曲线y=e x+a与直线y=x相切，可知切线的斜率为1，得出切点的横坐标，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值．解答：解：设切点为（x，y），∵y=e x+a，∴y′=e x，∵直线y=x与曲线y=e x+a相切，∴e x=1，即x=0．∵切点处的函数值相等，∴e0+a=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．14．（5分）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中利用赋值法，分别令x=1可求a0+a1+a2+a3+a4，令x=﹣1可求a0﹣a1+a2﹣a3+a4），而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入可求解答：解：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4=令x=﹣1可得，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=•=1故答案为：1点评：本题主要考查了二项展开式中利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和（注意是各项系数之和，要区别于二项式系数之和），解饿答本题还要注意所求式子的特点：符合平方差公式．15．（5分）=．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=+．前半部分由积分的几何意义求解较好，其几何意义是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积．解答：解：由于=+．其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S△ACQ+S扇形ABQ+S△BDQ=++=+，又=6，∴=．故答案为：．点评：本题考查求定积分，解题的关键是掌握住求定积分的公式以及定积分的几何意义，对于有些原函数不易求出的积分的求解，用其几何意义比较方便．16．（5分）在等比数列{a n}中，若前n项之积为T n，则有．则在等差数列{b n}中，若前n 项之和为S n，用类比的方法得到的结论是S3n=3（S2n﹣S n）．马鸣风萧萧考点：类比推理．专题：压轴题；探究型．分析：由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．解答：解：在等差数列中S3n=S n+（S2n﹣S n）+（S3n﹣S2n）=（a1+a2+…+a n）++（S2n﹣S n）+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）因为a1+a3n=a2+a 3n﹣1=…=a n+a2n+1=a n+1+a2n所以S n+（S3n﹣S2n）=2（S2n﹣S n），所以S3n=3（S2n﹣S n）．故答案为：S3n=3（S2n﹣S n）．点评：本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）（1）6名身高互不相等的学生，排成三排二列，使每一列的前排学生比后排学生矮，有多少种不同的排法？（2）6本不同的书分给3名学生，每人至少发一本，共有多少种不同的分法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可得到结论；（2）先分组，再分给3名学生，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：（1）从6人中任选2人排在第一列（前矮后高），有=15种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列（前矮后高），有=6种方法，最后剩余的两人排在第三列（前矮后高），有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有16×6=90；（2）先把6本书分成3组，包括1、1、4；1、2、3；2、2、2三种情况，共有=90种分法，再分给3名学生有=6种方法，故共有90×6=540种分法．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．18．（12分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中项的系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）前三项系数的绝对值成等差数列，可得，由此解得n的值．（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项．（3）研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．解答：解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，∴，即n2﹣9n+8=0，解得n=8；（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为=．（3）先研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，故系数最大的项为第三项，即．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．19．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N）（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想通项公式a n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据S n=2n﹣a n，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4．（II）总结出规律求出a n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．解答：解：（Ⅰ）由a1=2﹣a1，得a1=1，由a1+a2=2×2﹣a2，得a2=，由a1+a2+a3=2×3﹣a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，得a4=，猜想a n=（Ⅱ）证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，马鸣风萧萧（2）假设n=k时猜想成立，即a k=，此时S k=2k﹣a k=2k﹣，当n=k+1时，S k+1=2（k+1）﹣a k+1，得S k+a k+1=2（k+1）﹣a k+1，因此a k+1=[2（k+1）﹣S k]=k+1﹣（2k﹣）=，∴当n=k+1时也成立，∴a n=（n∈N+）．点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．20．（12分）证明：．考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：利用数学归纳法的证题步骤证明即可．先证当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时不等式成立，可以分析法去证明当n=k+1时不等式也成立即可．解答：证明：（ⅰ）当n=1时，T1==1，=，1＜，不等式成立；（ⅱ）假设当n=k时，T k＜，则当n=k+1时，T k+1=T k+＜+，要证：T k+1＜，只需证：+＜，由于﹣==＜，所以：+＜，于是对于一切的自然数n∈N*，都有T n＜．点评：本题考查不等式的证明，突出考查数学归纳法，考查分析法与综合法的应用，考查推理分析与证明的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．（2）将f（x1）＜g（x2）问题转化为求函数的最值问题．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．当a＜0时，函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；当a＜0时，又g（x2）=x22﹣2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max⁡=g（0）=2．所以，解得a＜﹣e﹣3．所以，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）．点评：本题的考点是利用导数求函数的极值以及求函数的最大值最小值．22．（12分）（2013•宁波二模）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx．a∈R．（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣时求出f′（x），在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则问题等价于g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，求导数g′（x），按照a的范围分类进行讨论可得g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的最大值，由最大值情况即可求得a的范围；解答：解：（Ⅰ）（x＞0），马鸣风萧萧，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则有g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立．求导得，①当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；②当时，，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此时不成立；③当，，则存在，有，所以不成立；综上得a≤0．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，解决（Ⅱ）问的关键是正确理解题意并能合理进行转化．。

高二数学第二学期期中考试高二数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1、所有题目用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中，只能在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。

2、答卷前将答题卷上的姓名、考号、班级填写清楚。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、+∈N n 且20<n ，则)21)(20(n n --…)100(n -等于（ ） A 、80100n A -B 、nn A --20100C 、81100n A -D 、8120n A -2、α表示一个平面，l 表示一条直线，则α内至少有一条直线与直线l （ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、垂直3、设正方体的全面积为224cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A 、36cm πB 、3332cm πC 、338cm π D 、334cm π4、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告，要求最后播放的必须是奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）A 、36种B 、48种C 、 120种D 、20种5、已知球的两个平行截面面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，则球半径为（ ）A 、 4B 、3C 、 2D 、 56、已知北纬450圈上有A 、B 两地，且A 地在东经300线上，B 地在西经600线上，设地球半径为R ，则A 、B 两地的球面距离是（ ）A 、16R π B 、13R π C 、12R π D 、R π7、若直线l 与平面α所成角为3π，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ）A 、20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C 、 ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8、正四面体BCD A -棱长为1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，则PQ 的最小值为（ ） A 、21B 、22 C 、23 D 、43 9、如图，已知矩形ABCD 中，3=AB ，a BC =，若⊥PA 平面AC ，在BC 边上取点E ，使DE PE ⊥，则满足条件的E 点有2个时，a 的取值范围是（ ）A 、6>aB 、6≥aC 、60<<aD 、60≤<a10、若集合},,{z y x M =，集合}1,0,1{-=N ，f 是从M 到N 的映射，则满足0)()()(=++z f y f x f 的映射有（ ）A 、6个B 、7个C 、8个D 、9个第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共６小题，每小题4分，共２４分. 把答案填在题中横线上.11、54n 34,n=nnA A A +=已知则 . 12、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为13、正四面体V —ABC 的棱长为2a ，E ，F ，G ，H 分别是VA ，VB ， BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积是________________ .14、正六棱锥S-ABCD 的底面边长为6，侧棱长为面角的大小为_________.ACDPEA CDP F E 15、表面积为4π的球O 与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，三角形OAB 的面积25S =，则球心到二面角的棱的距离为 _____ . 16、已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： (1) 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n (2) 若m,n ,m//,n//αββ⊂，则//αβ； (3) 若m ,n ,m//n αβ⊥⊥，则//αβ；(4)m 、n 是一对异面直线且m n ⊥， 若m//,m//,n//,n//αβαβ，则//αβ，其中，真命题的编号是_____ （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分13分）已知ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A=AB=a ，E 、F 是 侧棱PD 、PC 的中点。

2020-2021学年江西省六校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．用反证法证明“至少存在一个实数x，使log3x＞0成立”时，假设正确的是（）A．至少存在两个实数x，使log3x＞0成立B．至多存在一个实数x，使log3x＞0成立C．任意实数x，log3x＞0恒成立D．不存在实数x，使log3x＞0成立3．设f（x）是可导函数，且满足，则y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线的斜率为（）A．﹣4B．4C．2D．﹣24．记函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（3）+3lnx，则f′（3）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．35．＝（）A．B．C．D．6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3﹣2i，则＝（）A．B．C．D．7．＝（）A．9B．C．D．168．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x3﹣ax2+b2x无极值点的概率为（）A．B．C．D．9．已知f'（x）是定义域为的奇函数f（x）的导函数，当时，都有f（x）cos x+f'（x）sin x＞0，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．10．将三角形数列{a n}中的各项排列如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，，…以此类推，则数列{a n}的第2021项为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+，其中c为自然对数的底数，e＝2.7182818…，则f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．312．在边长为2的等边三角形ABC中，点D（与A，B不重合）在边AB上，DE⊥AC于点E，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，得到四棱锥A﹣BCED，则四棱锥A﹣BCED的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．）13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝．14．某学校有东、南、西、北四个校门．受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有种．（用数字作答）15．已知函数f（x）＝（x+1）lnx，g（x）＝a（x﹣1），a∈R．当直线y＝g（x）与曲线y ＝f（x）相切时，切点的坐标为．16．若对任意x＞0，恒有（e为自然对数的底数），则实数a的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．求由曲线y＝2，直线y＝x﹣3及y轴所围成的平面图形的面积．18．某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课．（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？（Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？19．已知a＞0，b＞0，求证：．20．已知函数f（x）＝2xlnx，，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[e，4]上的最小值；（Ⅱ）求证：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．21．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝+﹣1，且a n＞0，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．22．已知函数f（x）＝e ax﹣ax（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对任意x∈（﹣1，+∞），恒成立．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴复数z在复平面内对应点的坐标为，位于第三象限．故选：C．2．用反证法证明“至少存在一个实数x，使log3x＞0成立”时，假设正确的是（）A．至少存在两个实数x，使log3x＞0成立B．至多存在一个实数x，使log3x＞0成立C．任意实数x，log3x＞0恒成立D．不存在实数x，使log3x＞0成立解：根据题意，根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定，“至少存在一个实数”的反面是“不存在实数x”，故选：D．3．设f（x）是可导函数，且满足，则y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线的斜率为（）A．﹣4B．4C．2D．﹣2解：根据题意，因为，即f′（1）＝﹣2；曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝﹣2；故选：D．4．记函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（3）+3lnx，则f′（3）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3解：f'（x）＝2f'（3）+，∴f'（3）＝2f'（3）+1，∴f'（3）＝﹣1．故选：A．5．＝（）A．B．C．D．解：因为，所以原式＝＝＝＝．故选：B．6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3﹣2i，则＝（）A．B．C．D．解：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝3﹣2i（i为虚数单位），∴z2＝﹣3﹣2i，∴z12+z2＝（3﹣2i）2+（﹣3﹣2i）＝2﹣14i，∴|z12+z2|＝．故选：D．7．＝（）A．9B．C．D．16解：根据题意，＝sin xdx+dx，而sin xdx＝（﹣cos x）＝cos（﹣3）﹣cos3＝0，dx，其几何意义为半圆x2+y2＝9（y≥0）的面积，则dx＝×π×9＝，故＝，故选：B．8．在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x3﹣ax2+b2x无极值点的概率为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝x3﹣ax2+b2x无极值，又f'（x）＝x2﹣2ax+b2，所以△＝（﹣2a）2﹣4b2≤0，即a≤b，在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则对应的图形为边长为1的正方形，其面积为1×1＝1，当a≤b时，对应的面积为，所以函数f（x）＝x3﹣ax2+b2x无极值点的概率为．故选：B．9．已知f'（x）是定义域为的奇函数f（x）的导函数，当时，都有f（x）cos x+f'（x）sin x＞0，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）sin x是偶函数，设h（x）＝f（x）sin x，∴当0＜x＜时，h′（x）＝f（x）cos x+f′（x）sin x＞0，∴h（x）在区间（0，）上是增函数，∴h（x）在区间（﹣，0）上是减函数，∵h（﹣）＝h（）＝f（）sin＝1，当﹣＜x＜0时，不等式f（x）＞等价于f（x）sin x＜1，当0＜x＜时，不等式f（x）＞等价于f（x）sin x＞1，故原不等式的解集是（﹣，0）∪（，），故选：D．10．将三角形数列{a n}中的各项排列如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，，…以此类推，则数列{a n}的第2021项为（）A．B．C．D．解：由数阵可知，每行的最后一位即为行数的平方，即第m行的最后一位为，且第m行有2m﹣1个数，所以求m2≥2021的最小m，得m＝45，而452＝2025，即数列{a n}的第2021项在数阵的第45行倒数第5个，再由数阵在每行的规律可得数列{a n}的在数阵的第45行倒数第1个数为＝，所以第2021项为，故选：C．11．已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+，其中c为自然对数的底数，e＝2.7182818…，则f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解：f′（x）＝（x﹣1）e x，由f′（x）＝（x﹣1）e x＞0得：x＞1，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（﹣∞，1）又f（1）＝﹣e+＜0，f（2）＝＞0，当x＜1时，f（x）＜0，函数f（x）图象如下所示：由上图可知函数有一个零点．故选：B．12．在边长为2的等边三角形ABC中，点D（与A，B不重合）在边AB上，DE⊥AC于点E，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，得到四棱锥A﹣BCED，则四棱锥A﹣BCED的体积的最大值为（）A．B．C．D．解：如图，设AE＝x，则AD＝2x，DE＝，∴＝，底面BCED的面积S＝，由题意，当四棱锥A﹣BCED的体积的最大时，平面ADE⊥平面BCED，可得AE⊥平面BCED，此时四棱锥A﹣BCED的体积：V＝＝＝，其中0＜x＜2．则，令V′＝0，得x＝是唯一极值点，也是最大值点，则当x＝时，．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．）13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝R（S1+S2+S3+S4）．解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．14．某学校有东、南、西、北四个校门．受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有3（用名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有128种．数字作答）解：根据题意，4名学生要进入校园，每人只能从东门或西门进入校园，则每人有2种进入校园的方式，则4名学生有2×2×2×2＝16种不同的方式，3名教师要进入校园，每人只能从南门或北门进入校园，则每人有2种进入校园的方式，则3名教师有2×2×2＝8种不同的方式，则7人有16×8＝128种不同的进入方式，故答案为：128．15．已知函数f（x）＝（x+1）lnx，g（x）＝a（x﹣1），a∈R．当直线y＝g（x）与曲线y ＝f（x）相切时，切点的坐标为（1，0）．解：设切点坐标为（x0，y0），f′（x）＝lnx++1，则，∴．令h（x）＝2lnx−x+，则h′（x）＝﹣≤0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＝0最多有一个实数根．又∵h（1）＝0，∴x0＝1，此时y0＝0，即切点T的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．16．若对任意x＞0，恒有（e为自然对数的底数），则实数a的最小值为1．解：因为对任意x＞0恒成立，即ax（e ax+1）≥e（x e+1）lnx对任意x＞0恒成立，即（e ax+1）lne ax≥（x e+1）lnx e对任意x＞0恒成立，令f（x）＝（x+1）lnx，则f'（x）＝，f''（x）＝，当0＜x＜1时，f''（x）＜0，则f'（x）单调递减，当x＞1时，f''（x）＞0，则f'（x）单调递增，所以f'（x）≥f'（1）＝2＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，因为（e ax+1）lne ax≥（x e+1）lnx e对任意x＞0恒成立，即f（e ax）≥f（x e）对任意x＞0恒成立，即e ax≥x e对任意x＞0恒成立，所以ax≥elnx对任意x＞0恒成立，即对任意x＞0恒成立，令g（x）＝，则g'（x）＝，令g'（x）＞0，解得0＜x＜e，令g'（x）＜0，解得x＞e，所以函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（e）＝1，则a≥1，所以实数a的最小值为1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．求由曲线y＝2，直线y＝x﹣3及y轴所围成的平面图形的面积．解：∵，y＝x﹣3得交点坐标为（9，6），∴所求面积为．18．某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课．（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？（Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？解：（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有（种）．（Ⅱ）若将这了节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则不同的排法有（种）．19．已知a＞0，b＞0，求证：．【解答】证明：要证，即证，即证，即证，∵a＞0，b＞0，∴恒成立，则原不等式成立，即得证．20．已知函数f（x）＝2xlnx，，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[e，4]上的最小值；（Ⅱ）求证：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．解：（Ⅰ）由题意得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝2（lnx+1），令f'（x）＜0，解得，令f'（x）＞0，解得，∴函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴函数f（x）在[e，4]上单调递增，又f（e）＝2e，∴函数f（x）在区间[e，4]上的最小值为2e．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在处取得最小值，即，∴，∵，则，易得函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数g（x）在x＝1处取得最大值，即，∴，∴对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．21．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝+﹣1，且a n＞0，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．解：（Ⅰ）a1＝S1＝+﹣1，所以a1＝﹣1±；又因为a n＞0，所以a1＝﹣1+；，所以a2＝﹣；，所以a3＝﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想a n＝﹣，n∈N+．下面用数学归纳法加以证明：①当n＝1时，由（1）知a1＝﹣1+成立；②假设n＝k（k∈N+）时，成立．当n＝k+1时，＝+﹣﹣＝+﹣所以a k+12+2a k+1﹣2＝0，解得a k+1＝﹣，即当n＝k+1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n∈N+都成立．22．已知函数f（x）＝e ax﹣ax（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：对任意x∈（﹣1，+∞），恒成立．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）＝e ax﹣ax，则f'（x）＝ae ax﹣a＝a（e ax﹣1），若a＞0，令f'（x）＞0，则e ax﹣1＞0，所以ax＞0，解得x＞0，令f'（x）＜0，解得x＜0；若a＜0，令f'（x）＞0，则e ax﹣1＜0，所以ax＜0，解得x＞0，令f'（x）＜0，解得x＜0．综上所述，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）；（Ⅱ）证明：因为，则，即（*），当x∈（﹣1，+∞）时，不等式（*）两边取对数，则，记函数，则，令F'（x）＞0，解得，令F'（x）＜0，解得，则F（x）在上单调递增，在上单调递减，故，令函数，则，令g'（a）＞0，解得1＜a≤2，令g'（a）＜0，解得，则g（a）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，又，g（2）＝0，所以当时，g（a）≤0恒成立，则F（x）≤0恒成立，故当时，对任意x∈（﹣1，+∞），恒成立．。

- 省高二〔下〕期中数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡上1．〔5分〕〔•〕设i是虚数单位，复数为纯虚数，那么实数a为〔〕A．2B．﹣2 C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，应选A点评：此题是根底题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．〔5分〕在平面上，假设两个正三角形的边长之比1：2，那么它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长之比为1：2，那么它的体积比为〔〕A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：9考点：类比推理．专题：规律型．分析：由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．解答：解：平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8应选C．点评：此题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．3．〔5分〕〔•嘉定区一模〕，那么f〔n+1〕﹣f〔n〕=〔〕A．B．C．D．考点：数列的函数特性．专题：计算题．分析：由f〔n〕=1+++…+++，知f〔n+1〕=1+++…++++，由此能求出f〔n+1〕﹣f〔n〕．解答：解：∵f〔n〕=1+++…+++，∴f〔n+1〕=1+++…++++，∴f〔n+1〕﹣f〔n〕=．应选D．点评：4．〔5分〕设函数f〔x〕=x2﹣2x﹣4lnx，那么f〔x〕的递增区间为〔〕A．〔0，+∞〕B．〔﹣1，0〕，〔2，+∞〕C．〔2，+∞〕D．〔0，1〕考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ〔x〕，在函数的定义域内解不等式fˊ〔x〕＞0，即可求出函数f〔x〕=x2﹣2x﹣4lnx的递增区间．解答：解：∵f〔x〕=x2﹣2x﹣4lnx，x＞0∴f'〔x〕=2x﹣2﹣令f'〔x〕=2x﹣2﹣＞0，〔x＞0〕解得x＞2∴函数f〔x〕=x2﹣2x﹣4lnx的递增区间是〔2，+∞〕应选C．点评：此题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等根底知识，考查计算能力，属于根底题．5．〔5分〕〔•〕〔e x+2x〕dx等于〔〕A．1B．e﹣1 C．e D．e2+1考点：定积分．专题：计算题．分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．解答：解：〔e x+2x〕dx=〔e x+x2〕|01=e+1﹣1=e应选C．点评：此题考查利用微积分根本定理求定积分值．6．〔5分〕〔•湖南〕假设函数f〔x〕=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，那么函数f′〔x〕的图象是〔〕A ．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合法．分析：先判断函数f〔x〕的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案．解答：解：函数f〔x〕=x2+bx+c是开口向上的二次函数，定点在第四象限说明对称轴大于0 根据函数f〔x〕在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件应选A．点评：此题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．7．〔5分〕设正数x，y满足log2〔x+y+3〕=log2x+log2y，那么x+y的取值范围是〔〕A．〔0，6] B．[6，+∞〕C．[1+，+∞〕D．〔0，1+]考点：根本不等式．专不等式的解法及应用．分析：由正数x，y满足log2〔x+y+3〕=log2x+log2y，利用对数的运算性质可得x+y+3=xy，利用根本不等式可得，即x+y+3．当且仅当x=y＞0时取等号．利用一元二次不等式的解法解出即可．解答：解：由正数x，y满足log2〔x+y+3〕=log2x+log2y，∴x+y+3=xy，而，那么x+y+3．当且仅当x=y＞0时取等号．令x+y=t，那么化为t2﹣4t﹣12≥0，解得t≥6或t≤﹣2．∵t＞0，∴取t≥6．应选B．点评：熟练掌握对数的运算性质、根本不等式的性质、一元二次不等式的解法是解题的关键．8．〔5分〕函数f〔x〕=x2+2x+alnx，假设函数f〔x〕在〔0，1〕上单调，那么实数a的取值范围是〔〕A．a≥0B．a＜﹣4 C．a≥0或a≤﹣4 D．a＞0或a＜﹣4考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：求出原函数的导函数，由函数f〔x〕在〔0，1〕上单调，所以在x∈〔0，1〕时，f′〔x〕≥0或f′〔x〕≤0恒成立，别离变量后利用二次函数的单调性求最值，从而得到a的范围．解答：解：由f〔x〕=x2+2x+alnx，所以，假设函数f〔x〕在〔0，1〕上单调，那么当x∈〔0，1〕时，f′〔x〕≥0或f′〔x〕≤0恒成立，即2x2+2x+a≥0①，或2x2+2x+a≤0②在〔0，1〕上恒成立，由①得，a≥﹣2x2﹣2x，由②得，a≤﹣2x2﹣2x，因为y=﹣2x2﹣2x的图象开口向下，且对称轴为，所以在〔0，1〕上，y max=0，y min=﹣4所以a的范围是a≥0或a≤﹣4．应选C．点评：此题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了利用二次函数的单调性求函数的最值，是中档题．9．〔5分〕假设函数f〔x〕=，那么的值为〔〕A．B．C．D．分段函数的应用；定积分．考点：专计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．题：分利用分段函数，表示出积分，再求出相应的积分的值，即可求得结论．析：解答：解：∵函数f〔x〕=，∴=+=+×﹣×+=++1﹣+﹣+2﹣=应选B．点此题考查分段函数，考查定积分知识，考查学生的计算能力，属于中档题．评：10．〔5分〕〔•延庆县一模〕函数y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，且当x∈〔﹣∞，0〕时不等式f〔x〕+xf′〔x〕＜0成立，假设a=3•f〔3〕，b=〔logπ3〕•f〔logπ3〕，c=〔〕•f〔〕．那么a，b，c的大小关系是〔〕A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：函数奇偶性的性质；简单复合函数的导数；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；压轴题．分析：由式子〔x〕+xf′〔x〕，可以联想到：〔uv〕′=u′v+uv′，从而可设h〔x〕=xf〔x〕，有：h′〔x〕=f〔x〕+xf′〔x〕＜0，所以利用h〔x〕的单调性问题很容易解决．解答：解：构造函数h〔x〕=xf〔x〕，由函数y=f〔x〕以及函数y=x是R上的奇函数可得h〔x〕=xf〔x〕是R上的偶函数，又当x∈〔﹣∞，0〕时h′〔x〕=f〔x〕+xf′〔x〕＜0，所以函数h〔x〕在x∈〔﹣∞，0〕时的单调性为单调递减函数；所以h〔x〕在x∈〔0，+∞〕时的单调性为单调递增函数．又因为函数y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔0〕=0，从而h〔0〕=0因为=﹣2，所以f〔〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕，由0＜logπ3＜1＜3＜3＜2所以h〔logπ3〕＜h〔3〕＜h〔2〕=f〔〕，即：b＜a＜c应选B．点评：此题考查的考点与方法有：1〕所有的根本函数的奇偶性；2〕抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3〕导数的运算法那么：〔uv〕′=u′v+uv′；4〕指对数函数的图象；5〕奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5〕奇偶函数的性质：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇〔同号得正、异号得负〕；奇+奇=奇；偶+偶=偶．此题结合构造出h〔x〕是正确解答的关键所在．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．〔5分〕假设f〔x〕在R上可导，f〔x〕=x2+2f′〔2〕x+3，那么∫03f〔x〕dx= ﹣18 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：对原函数两边求导，再将x=2代入先求出f′〔2〕的值，再根据计算定积分的公式先求出被积函数的原函数即可求得∫03f〔x〕dx．解答：解：∵f〔x〕=x2+2f′〔2〕x+3，∴f′〔x〕=2x+2f′〔2〕，当x=2时，有：f′〔2〕=4+2f′〔2〕，∴f′〔2〕=﹣4，∴f〔x〕=x2﹣8x+3，∴∫03f〔x〕dx=∫03〔x2﹣8x+3〕dx=〔x3﹣4x2+3x〕|03=﹣18．故答案为：﹣18．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等根底知识，属于根底题．12．〔5分〕曲线y=x2﹣3x+2lnx的切线中，斜率最小的切线方程为x﹣y﹣3=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出曲线对应函数的导数，由根本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值．解答：解：∵曲线y=x2﹣3x+2lnx，〔x＞0〕y'=2x+﹣3=≥2×2﹣3=1，当x=1时，y'min=1，此时斜率最小，即k=1，当x=1时，y=﹣2．此切线过点〔1，﹣2〕∴切线方程为y+2=1〔x﹣1〕，即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=0．点评：此题主要利用导数研究曲线上的某点切线方程，此题是一道根底题，还考查直线的斜率．13．〔5分〕函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，此题极大值就是最大值．解答：解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx令y′=0而x∈那么x=，当x∈[0，]时，y′＞0．当x∈[，]时，y′＜0．所以当x=时取极大值，也是最大值；故答案为点此题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的根底题．评：14．〔5分〕f〔n〕=1+++…+〔n∈N+，n≥2〕，经计算得f〔4〕＞2，f〔8〕，f〔16〕＞3，f〔32〕，由此可推得一般性结论为f〔2n〕＞．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据中的等式：，f〔4〕＞2，，f〔16〕＞3，，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．解答：解：观察中等式：得，f〔4〕＞2，即f〔22〕＞，即f〔23〕＞f〔16〕＞3，即f〔24〕＞…，归纳可得：f〔2n〕≥〔n∈N*〕故答案为：f〔2n〕≥〔n∈N*〕．点评：15．〔5分〕假设函数y=在区间〔1，4〕内为减函数，在区间〔6，+∞〕内为增函数，那么a的取值范围是5≤a≤7．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出函数的导函数，利用函数y=在区间〔1，4〕内为减函数，在区间〔6，+∞〕内为增函数得到导函数在不同区间内的符号，列式后解不等式组求解a的范围．解答：解：由y=，得y′=x2﹣ax+a﹣1．因为函数y=在区间〔1，4〕内为减函数，在区间〔6，+∞〕内为增函数，所以y′=x2﹣ax+a﹣1在区间〔1，4〕内恒小于0，在区间〔6，+∞〕内恒大于0，令g〔x〕=x2﹣ax+a﹣1．那么，解得5≤a≤7．故答案为5≤a≤7．点评：此题考查了函数的单调性与导数的关系，考查了利用二次函数零点所在的范围求参数的值，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〔共6题，共75分〕16．〔12分〕计算〔1〕求积分值：〔3x2+4x3〕dx〔2〕求函数y=+的导数．考点：微积分根本定理；导数的乘法与除法法那么．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：〔1〕求出被积函数3x2+4x3的原函数，将积分的上限、下限代入求值．〔2〕先对原函数式通分化简，再利用初等函数的求导法那么求解即可．解答：解：〔1〕〔3x2+4x3〕dx=3x2dx+4x3dx=x3|+x4|=24．〔2〕y=+==，∴y′=〔〕′==．点评：此题主要考查了定积分的计算、导数的乘法与除法法那么，解决该类问题的关键是求出被积函数的原函数，掌握函数的求导法那么，属于计算题、根底题．17．〔12分〕求曲线y=x2，直线y=x，y=3x围成的图形的面积．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．解答：解：在同一直角坐标系下作出曲线y=x2，直线y=x，y=3x的图象，所求面积为图中阴影局部的面积．解方程组得交点〔1，1〕，解方程组得交点〔3，9〕，因此所围图形的面积为：S=〔3x﹣x〕dx+〔3x﹣x2〕dx=2xdx+〔3x ﹣x2〕dx=x2|+〔x2﹣x3〕|=1+〔×32﹣×33〕﹣〔×12﹣×13〕=．点评：此题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于根底题．18．〔12分〕函数f〔x〕=alnx﹣ax﹣3〔a∈R〕．〔1〕求函数f〔x〕的单调区间；〔2〕函数y=f〔x〕的图象在x=4处的切线的斜率为，假设函数g〔x〕=x3+x2[f′〔x〕+]在区间〔1，3〕上不是单调函数，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：〔1〕求导数f′〔x〕，利用导数与函数单调性的关系分情况讨论即可．〔2〕由切线斜率为，可求出a值，进而求出f〔x〕、f′〔x〕，因为g〔x〕在区间〔1，3〕上不单调，所以g′〔x〕改变符号，从而得到m所满足的条件．解答：解〔1〕f′〔x〕=〔x＞0〕，①当a＞0时，假设x∈〔0，1〕，那么f′〔x〕＞0；假设x∈〔1，+∞〕，那么f′〔x〕＜0，∴当a＞0时，f〔x〕的单调递增区间为〔0，1]，单调递减区间为[1，+∞〕；②当a＜0时，假设x∈〔1，+∞〕，那么f′〔x〕＞0；假设x∈〔0，1〕，那么f′〔x〕＜0，∴当a＜0时，f〔x〕的单调递增区间为[1，+∞〕，单调递减区间为〔0，1]；③当a=0时，f〔x〕=﹣3，f〔x〕不是单调函数，无单调区间．〔2〕由题意知，f′〔4〕=﹣=，得a=﹣2，那么f〔x〕=﹣2lnx+2x﹣3，∴g〔x〕==x3+〔+2〕x2﹣2x，∴g′〔x〕=x2+〔m+4〕x﹣2．∵g〔x〕在区间〔1，3〕上不是单调函数，且g′〔0〕=﹣2＜0，∴，即解得．故m的取值范围是〔﹣，﹣3〕．点评：此题考查了导数与函数单调性的关系，利用导数解决问题的能力，注意数形结合思想的应用．19．〔12分〕a，b，c∈〔0，1〕，求证：〔1﹣a〕b，〔1﹣b〕c，〔1﹣c〕a中至少有一个不大于．考点：不等式的证明．专题：证明题；反证法．分析：首先根据题意，通过反证法假设假设〔1﹣a〕b，〔1﹣b〕c，〔1﹣c〕a中都大于，得出：；然后根据根本不等式，得出．相互矛盾，即可证明．解答：证明：反证法假设〔1﹣a〕b，〔1﹣b〕c，〔1﹣c〕a中都大于〔1﹣a〕b＞〔1﹣b〕c＞〔1﹣c〕a＞即①②③①②③相加：由根本不等式a+b≥2④⑤⑥④⑤⑥三式相加与．点评：此题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与根本不等式的应用，属于中档题．20．〔13分〕如图，曲线C1：y=x2与曲线C2：y=﹣x2+2ax〔a＞1〕交于点O，A，直线x=t〔0＜t≤1〕与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB．〔1〕写出曲边四边形ABOD〔阴影局部〕的面积S与t的函数关系式S=f〔t〕；〔2〕求函数S=f〔t〕在区间〔0，1]上的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：〔1〕先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲边四边形ABOD〔阴影局部〕的面积，即可求得函数关系式S=f〔t〕；〔2〕由〔1〕确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'〔x〕＞0与f'〔x〕＜0，可求出函数的单调区间，对字母a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数f〔x〕在区间〔0，1]上的最大值．解答：解析〔1〕由解得或．∴O〔0，0〕，A〔a，a2〕．又由得B〔t，﹣t2+2at〕，D〔t，t2〕，∴S=〔﹣x2+2ax〕dx﹣t×t2+〔﹣t2+2at﹣t2〕×〔a﹣t〕=〔﹣x3+ax2〕|﹣t3+〔﹣t2+at〕×〔a﹣t〕=﹣t3+at2﹣t3+t3﹣2at2+a2t=t3﹣at2+a2t．∴S=f〔t〕=t3﹣at2+a2t〔0＜t≤1〕．〔2〕f′〔t〕=t2﹣2at+a2，令f′〔t〕=0，即t2﹣2at+a2=0．解得t=〔2﹣〕a或t=〔2+〕a．∵0＜t≤1，a＞1，∴t=〔2+〕a应舍去．假设〔2﹣〕a≥1，即a≥=时，∵0＜t≤1，∴f′〔t〕≥0．∴f〔t〕在区间〔0，1]上单调递增，S的最大值是f〔1〕=a2﹣a+．假设〔2﹣〕a＜1，即1＜a＜时，当0＜t＜〔2﹣〕a时f′〔t〕＞0．当〔2﹣〕a＜t≤1时，f′〔t〕＜0．∴f〔t〕在区间〔0，〔2﹣〕a]上单调递增，在区间〔〔2﹣〕a，1]上单调递减．∴f〔t〕的最大值是f〔〔2﹣〕a〕=[〔2﹣〕a]3﹣a[〔2﹣〕a]2+a2〔2﹣〕a=a3．点评：此题考查利用定积分求面积，考查导数在最大值、最小值问题中的应用，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．21．〔14分〕函数f〔x〕=ln〔x+1〕﹣．〔1〕假设函数f〔x〕在[0，+∞〕内为增函数，求正实数a的取值范围．〔2〕当a=1时，求f〔x〕在[﹣，1]上的最大值和最小值；〔3〕试利用〔1〕的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有+++…+＜lnn．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：导数的综合应用．分析：〔1〕求函数的导数，那么导数f′〔x〕≥0对任意x∈[0，+∞〕恒成立即可，别离参数即得a≥对任意x∈[0，+∞〕恒成立，a≥〔〕max〔x∈[0，+∞〕〕即可．〔2〕a=1时，求f〔x〕的导数，再令导数等于0，得到的x的值为函数的极值点，在借助函数在[﹣，1]的单调性，判断函数当x为何值时有最大值，何时有最小值．〔3〕由〔1〕知，当a=1时，f〔x〕=ln〔1+x〕﹣在[0，+∞〕上是增函数，那么f〔x〕≥f〔0〕，即ln〔1+x〕≥，x∈[0，+∞〕成立．即ln＞，得证，或利用数学归纳法来证明也可．解答：解：〔1〕∵f〔x〕=ln〔x+1〕﹣，∴f′〔x〕=〔a＞0〕．∵函数f〔x〕在[0，+∞〕内为增函数，∴f′〔x〕≥0对任意x∈[0，+∞〕恒成立，∴a〔x+1〕﹣1≥0对任意x∈[0，+∞〕恒成立，即a≥对任意x∈[0，+∞〕恒成立．而当x∈[0，+∞〕时，〔〕max=1，∴a≥1．〔2〕当a=1时，f′〔x〕=．∴当x∈[﹣，0〕时，f′〔x〕＜0，f〔x〕在[﹣，0〕上单调递减，当x∈〔0，1]时，f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔0，1]上单调递增，∴f〔x〕在[﹣，1]上有唯一极小值点，故f〔x〕min=f〔0〕=0．又f〔﹣〕=1+ln=1﹣ln2，f〔1〕=﹣+ln2，f〔﹣〕﹣f〔1〕=﹣2ln2==∵e3＞16，∴f〔﹣〕﹣f〔1〕＞0，即f〔﹣〕＞f〔1〕．∴f〔x〕在[﹣，1]上的最大值为f〔﹣〕=1﹣ln2．综上，函数f〔x〕在[﹣，1]上的最大值是1﹣ln2，最小值是 0．〔3〕法一：用数学归纳法．①当n=2时，要证＜ln2，只要证ln4＞1，显然成立．②假设当n=k时，不等式+++…+＜lnk〔k＞1，k∈N*〕成立．那么当n=k+1时，+++…++＜lnk+．要证lnk+＜ln〔k+1〕成立，只要证＜ln，即＜ln〔1+〕．令=x＞0，那么上式化为＜ln〔1+x〕〔x＞0〕．只要证：ln〔1+x〕﹣＞0〔*〕．由〔1〕知，当a=1时，f〔x〕=ln〔1+x〕﹣在[0，+∞〕内是增函数，故有f〔x〕≥f〔0〕，即ln〔1+x〕≥x∈[0，+∞〕成立，而〔*〕中x=〔k＞1，k∈N*〕，x＞0，∴ln〔1+x〕﹣＞0 即〔*〕式成立．∴当n=k+1时，不等式成立．由①②知对任意n＞1的正整数不等式都成立．法二：由〔1〕知，当a=1时，f〔x〕=ln〔1+x〕﹣在[0，+∞〕上是增函数，故有f〔x〕≥f〔0〕，即ln〔1+x〕≥，x∈[0，+∞〕成立．令x=〔n∈N*〕，那么x＞0，∴有ln〔1+x〕＞，即ln＞．由此得ln＞，ln＞，ln＞，…，ln＞，那么ln+ln+ln+…+ln＞+++…+，即得lnn＞+++…+．故对大于1的任意正整数n．都有+++…+＜lnn．点评：此题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查大小比拟，解题的关键是正确求出导函数，合理构建不等式，属于中档题．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二学期高二年级理科数学期中考试试题考试时间：120分钟 命题人： 审题人：高三数学备课组第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10个小题；每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知一个平面α，l 为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在 直线b 使得( )A ．l ∥bB ．l 与b 相交C ．l 与b 是异面直线D ．l ⊥b 2．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12， 过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为( ) A ．10 B ．20 C ．8 D ．43．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形， 则原来的图形是( )4．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )， 则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )A.13B.16C.112D.1246.已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形， 侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()7．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( )A.63B.33C.23D.138．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a 9．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角， 则AB 的长度为( )A. 2 B ．4 2 C ．3 2 D ．211 10．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．1 C ．43 D ．32第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．11.正四面体S －ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是________．12．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．112正视图侧视图俯视图13． ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是 上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.14． M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行． 其中真命题是________.三、解答题：本大题共5小题，共70，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

安徽省六安市舒城中学 2017-2018学年高二数学放学期期中试题理一 . 选择题 ( 本大题共 12小题,每题 5分,共 60分. 在每题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的 , 请你将切合要求的项的序号填在括号内)1．已知复数知足z 2 i，则的共轭复数对应的点位于复平面的（）1iA.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．假如将一组数据中的每一个样本数据都加上同一个非零常数, 那么这组数据的（）A. 均匀数与方差都不变B.均匀数不变,方差改变C. 均匀数改变 , 方差不变D. 均匀数和方差都改变3．以下推理过程是演绎推理的是（）A．由平面三角形的性质推断空间三棱锥的性质B．某校高二班有人，班有人，由此得高二全部班人数都超出人C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则A BD．在数列 a n中， a1 2 ， a n2a n 11(n ≥ 2) ，由此概括出a n的通项公式4. 某高校检查了200名学生每周的自习时间( 单位 : 小时 ), 制成了以下图的频次散布直方图, 其中自习时间的范围是 [17 . 5,30],样本数据分组为[17 . 5,20),[20,22. 5),[22. 5,25),[25,27. 5),[27 . 5,30]. 依据直方图,这200名学生中每周的自习时间许多于22. 5 小时的人数是（）D.1405．函数 f ( x) ln x 1 x2的图象大概是（）2A．B． C.D．x1≤ x ≤ 0e ,16. 设函数 f ( x)，计算f ( x)dx 的值为（）1 21x ,0 x ≤ 11 e πe 1 πe 12π e 1 πA ． e4B ． e 4C ． e4D ． e27．在一次马拉松竞赛中,35 名运动员的成绩 ( 单位 : 分钟 ) 的茎叶图以下图 . （ ）若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号 , 再用系统抽样方法从中抽取 7 人 , 则此中成绩在区间[139,151] 上的运动员人数是（ ）A.3B.4C.5D.68. 已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不 ．可能等于（）A ．B ．C ．2-1D ．2+1229. 履行以下图的程序框图 , 若输出 k 的值为 8, 则判断框内可填入的条件是（ ）A .s ≤ ?B .s ≤ ?C .s ≤ ?D .s ≤?10．设椭圆x 2y 21 和双曲线x 2y 2 1的公共焦点分别为 F 1, F 2 ，108是这两曲线的交点，则PF 1F 2 的外接圆半径为（）A. 1B. 2C.2 2D.311．定义在上的函数 yf (x) ，知足 f (3x) f (x) ， f ( x) 为 f ( x) 的导函数， 且 x3 f ( x) 0 ，2若x 1x 2 ，且 x 1 x 2 3 ，则有（）A ． f ( x 1 ) f ( x 2 )B ． f ( x 1 ) f (x 2 )C ． f ( x 1 ) f ( x 2 )D ．不确立12．从点P出发的三条射线PA， PB， PC两两成60°角，且分别与球O相切于 A，B， C三点，若OP＝3，则球的体积为（）π2π4π8πA.3B.3C.3D.3二．填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.某市有高中生 3 万人，此中女生 4 千人．为检查学生的学习状况，采纳分层抽样的方法抽取一个容量为150 人的样本，则样本中女生的数目为__________ ．14．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值3 a ，类比上述命题，2棱长为的正四周体内任一点到四个面的距离之和为__________．15．一名小学生的年纪和身高的数据以下表. 由散点图可知,身高 y(单位:cm)与年纪 x(单位:岁)之间的线性回归方程为y = . x+a ,展望该学生10岁时的身高约为__________ cm．8 8年纪 x6789身高 y11812613614416.已知函数f ( x)ln xm. 若对x [1,) ，总有 f (x) 2x20 ，则实数的取值范围为x________．三 .解答题（本大题共 6小题，共 70分 . 解答应写出必需的文字说明、证明过程及演算步骤）17.( 本小题满分 10 分) “世界睡眠日”定在每年的3月 21 日, 某网站于2017年 3月14日到 3月20 日连续一周网上检查民众日均匀睡眠的时间(单位: 小时), 共有 2000人参加检查 , 现将数据整理分组后以下表所示.序号 (i)分组睡眠时间组中值 ()频数(人数)频次 (f)ii1[4,5)4580.2[5,6)5. 55200. 263[6,7)6. 56000. 304[7,8)7.55[8,9)8.52000. 106[9,10]95400.02.(1)求出表中空白处的数据 , 并将表格增补完好。