第四章 力系的平衡条件及平衡方程.

例４－3在三棱柱的三个侧面分别作用三个力偶m1、 m2 、 m3， m1
=100N.m， 求：如要保持平衡，力偶m2 、 m3的大小应为多少？ m3 y 解：研究三棱柱 m3 m2 m1 m2 450 x O m1
由力偶系平衡条件
m m
ix
0： m3 cos45 m2 0


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分析： 1、几个未知力？ P X A ZA X B ZB
ZA

ZB

Pr P tg
2、几个平衡方程？ 3、可用整体求解
XA
XB
∑my=0 →P
最好使每一个方程只有一个未知数 4、确定列方程次序
∑mx=0
∑Z=0 ∑mz=0 ∑X=0
→ZB
→ZA →XB
→XA
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ZA

ZB
解：1 研究整体 （轮及轴）

2 受力如图 3 列平衡方程
XA
∑my=0
XB
P r T1 R T2 R 0
(T1 T2 ) 1300 650 P R 0.1 1083 ( N ) r 0.06
Pr Ptg P tg 1083 tg 20 394.18 ( N )
P ql
YA XA YA
1.5a
RB
P=ql=3qa
X 0
1 作用线距A端 d l 1.5a 2
XA 0
Y 0
YA RB 3qa 0
Y A 3qa RB
RB
3 100 475 175 N m A (F ) 0
RB 2a q 3a 1.5a M 0
q 3a 1.5a M 100 3 1.5 500 RB 475 N 2a 2
校核
XA YA RB
mB ( F ) 0
YA 2a M q 3a 0.5a 0
[例４-2]图示结构，求A、B处反力。
XA YA NB
解：1、取研究对象
整体
2、受力分析
特点：力偶系
3、平衡条件 ∑mi=P ·2a－YA ·l=0
N B YA 2 Pa l
思考

∑ m i= 0
P ·2a－RB ·cos ·l=0
RA
RB
2 Pa RB RA l cosα
q 3a 0.5a M YA 2a 100 3 0.5 500 175N 2
∴
XA 0 Y A 175 N
R B 475 N
思考题： 1、设平面力系向一点简化得一合力。问：如果另选适当的简 化中心，力系能否简化为力偶？为什么？
不能。 因力和力偶都是基本未知量，故力不能和力偶平衡。
[例4－1] 结构如图，已知P=2kN
解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求杆CD的受力及A处的反力
X 0
RAcos SCD cos450 0
由EB=BC=0.4m，
（1） （2）

Y 0 P RA sin SCD sin450 0
④解平衡方程 解得：t g EB 0.4 1 AB 1.2 3
0
iy
0： m3 sin 45 m1 0
0
解得： m 2m 141.4 ( N.m) 3 1
m2 m1 100 ( N.m)
[练习1]图示杆系，已知m, l,求A、B处约束力。 N AD 解：1、研究对象二力杆：AD RC N AD
RB
练习：
2、研究对象： 整体 m N AD RB l
空间一般平衡力系
[例４-7] 图示传动轴AB，皮带轮B的半径R =100mm，胶带拉力
T1=2T2=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平成角 300 ， 齿轮C的节圆半径 r=60mm，压力角=20°。A、 B为向心轴承， a=b=100mm，c=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计 轮、轴的重量。 求：平衡时齿轮所受的切向力P及轴承A , B的约束反力。
0
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ZA
Z B 297 ( N )

ZB
③、作用力与反作用力关系
3、根据平衡条件确定全部未知力的大小和方向。
源自文库
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2 、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。
3、投影轴常选择尽量多的力尤其是未知力的垂线，最好使每 个方程中只有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5 、解析法解题时 ，力的方向可以任意设 ，如果求出负值 ， 说明力方向与假设相反。
0 P cos 45 S CD 4.24 kN ； R A S CD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos
静力分析要点： 1、根据问题的性质和要求选取合适的研究对象。 2、取分离体画受力图。在画受力图时应综合应用：
①、约束的性质
②、平衡的条件
2、在刚体上作用有三个力如图所示，力的大小恰好与△ABC 的边长成比例，方向如图。问:这一力系简化的结果是什么？
FA
B
FB
力偶
A
FC
C
3、下图中，A、B、C、D是正方形(边长为a)的四个顶点，所 受力如图，问：哪个力系平衡？不平衡，最终简化结果是什 么？ F F C D C C D D F1 F F F F F F F1 B A A A B F F B (a) 力偶 2Fa (b) 平衡 (c) 平衡
思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
N AD
解：1、研究对象二力杆：BC
RC
RB
RB
AD杆 m
RC
N AD
2、研究对象： 整体
N AD RB m 2m l sin 450 l
XA
[例4-5] 已知：M=500N· m, q=100N/m，a=1m。 求：A、B的 支座反力。 解：1、研究AB梁，受力分析。 分布载荷：合力