备战2019高考数学(理科)大二轮复习课件：专题二 函数与导数 2.2

当 f′(x)>0 时，x2＋3x＋1<0，解得－2<x<－3＋2
5 .
当
f′(x)<0
时，解得
－3＋ x> 2
5 .
所以 f(x)的单调增区间为－2，－3＋2 5， 单调减区间为－3＋2 5，＋∞.
(2)证明：设 h(x)＝f(x)－g(x) ＝2ln(x＋2)－(x＋1)2－k(x＋1)(x>－1)． 当 k＝2 时，由题意，当 x∈(－1，＋∞)时，h(x)<0 恒成立． h′(x)＝－2xx2＋＋32x＋1－2＝－2x＋x＋32x＋1， 当 x>－1 时，h′(x)<0 恒成立，h(x)单调递减． 又 h(－1)＝0，当 x∈(－1，＋∞)时，h(x)<h(－1)＝0 成立，即 f(x)－g(x)<0 对 于∀x>－1，f(x)<g(x)．
专题二
函数与导数
(二) 导数的综合应用
题型一
题型一 利用导数证明不等式 已知 f(x)＝2ln(x＋2)－(x＋1)2，g(x)＝k(x＋1)．
(1)求 f(x)的单调区间； (2)当 k＝2 时，求证：对于∀x>－1，f(x)<g(x)．
解析： (1)f′(x)＝x＋2 2－2(x＋1)
＝－2xx2＋＋32x＋1(x>－2)．
∴f(x)max＝f mm＝2ln mm－m·m1 ＋1＝－ln m， 若存在 x0，使得 f(x0)>m－1 成立，则 f(x)max>m－1. 即－ln m>m－1，ln m＋m－1<0 成立， 令 g(x)＝x＋ln x－1(x>0)， ∵g′(x)＝1＋1x>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 g(1)＝0，∴0<m<1. ∴实数 m 的取值范围是(0,1)．

解析
关闭
答案
-7命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
函数的性质及其应用 【思考1】 在函数的单调性、奇偶性、周期性中,哪些是函数的 局部性质,哪些是函数的整体性质? 【思考2】 如果一个函数是奇函数或偶函数,那么这个函数的单 调性具有什么特点?
例 2(1)已知函数 f(x)=3 -
x
1 ������ 3
(2) 已知点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,则f(x)的反函数f关闭 1(x)= .1 1 1 1 (1)当 x> 时,f ������ + =f ������- ,所以当 x> 时 ,函数 f(x)是周期为 1 的周
2 2 2 2
期函数,所以 f(6)=f(1),又因为当 -1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x),所以 f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,故选 D. (2)将点(3,9)代入函数 f(x)=1+ax 的解析式,得 1+a3=9,解得 a=2, 所以 f(x)=1+2x,即 y=1+2x, 用 y 表示 x,得 x=log2(y-1), 所以 f-1(x)=log2(x-1). (1)D (2)log2(x-1)A A.源自故选3关闭解析
答案
-8命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[������ + ������,-1 ≤ ������ < 0, 5 9 -1,1)上,f(x)= 2 其中 a∈R.若 f - =f ,则 f(5a) 2 2 -������ ,0 ≤ ������ < 1, 值是
因此当x≤-1或x≥1时,fM(x)=2-x2;

yxz D. < <
325
1
[解析] (1)∵a＝2 017 2018 >2 0170＝1，
0<b＝log2 017 2 018<log2 0172 017＝1， 1
c＝log2 0182 017<log2 0181＝0，∴a>b>c.故选 D. (2)∵f (x)＝ax－2>0 恒成立，又 f (4)·g(－4)<0，∴g(－4)＝loga|－4|＝loga4<0＝ loga1，∴0<a<1.故函数 y＝f (x)在 R 上单调递减，且过点(2,1)，函数 y＝g(x)在(0，＋ ∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故 B 正确．
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xy z (3)(2018·信阳二模)设 x，y，z 为正实数，且 log2x＝log3y＝log5z>0，则2，3，5的大
小关系不可能是( )
xyz A. < <
235
xyz B. ＝ ＝
235
zyx C. < <
532
利用指数函数与幂函数的 单调性比较大小·T6
纵向把握趋势
卷Ⅰ3 年 3 考，涉及幂函数、 卷Ⅱ3 年 0 考，预
指数函数、对数函数的单调 计 2019 年会以选
性以及分段函数的零点问 择题的形式考查
题，题型为选择题，难度适 幂函数、指数函
中，预计 2019 年会以对数的 数、对数函数的
运算、对数函数的图象与性 有关性质或大小
质为考查重点
比较问题
卷Ⅲ3 年 3 考，涉及由函 数零点个数确定参数问题 以及指数、对数、幂函数 的性质、比较大小问 题．题型为选择题，难度 偏大，预计 2019 年仍会考 查指数函数、对数函数、 幂函数性质的应用

[答案] D
4．(2018·江西九江七校联考)若函数 f(x)＝log2(x2－ax－3a)在 区间(－∞，－2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是________．
[解析] 由题意得 x2－ax－3a>0 在区间(－∞，－2]上恒成立 且函数 y＝x2－ax－3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2 且(－2)2 －(－2)a－3a>0，解得实数 a 的取值范围是[－4,4)．
3．(2018·山东潍坊一模)若函数 f(x)＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)在 R 上为减函数，则函数 y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
[解析] 因函数 f(x)＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)在 R 上为减函数， 故 0<a<1.
易知函数 y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x>1 或 x<－ 可以通过函数 y＝logax 的图 象向右平移 1 个单位得到，故选 D.
[解析] M(t，－t2＋2)，过切点 M 的切线 l：y－(－t2＋2)＝ －2t(x－t)，即 y＝－2tx＋t2＋2，令 y＝2 得 x＝2t ，故切线 l 与 AB 交于点2t ，2；令 y＝0，得 x＝2t ＋1t ，
故切线 l 与 OC 交于点2t ＋1t ，0，又 x＝2t ＋1t 在23，43上单调 递减，所以 x＝2t ＋1t ∈1172，161，所以地块 OABC 在切线 l 右上部 分区域为直角梯形，面积 S＝122－2t －1t ＋2－2t ×2＝4－t－1t ＝4 －t＋1t ≤2，当且仅当 t＝1 时等号成立，故地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积的最大值为 2.
D．y＝log1 x
2
[解析] 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的 变化随 x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B.