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2017上大线性代数复习题 简化版

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第 1 页（共 8 页） 上大线性代数复习题 2015.10.23 1. 设0211x，则x= 0.5 。 2x-1=0; x=0.5; 或者写1/2; 2. 设02412x，则x= 4 。 2(x-2)-4=0; 2x-8=0; 2x=8; x=4; 3. 已知行列式431311253D，则余子式32M= 7 ，代数余子式12A= 1 。

余子式B=3*3-2*1=7; 代数余子式:-1(1+2)(1*-4+3)=1; 4. 81-34-11-021 = -4 ， 2431-02301 = -20 。 ①:(1*1*8)+(2*-4*3)+(-1*-1*0)-(0*1*3)-(2*-1*8)-(-4*-1*1) =8-24+0-0+16-4=-16+16-4=-4; ②:(1*0*2)+(0*-1*3)+(2*4*-3)-(-3*0*3)-(2*0*2)-(-1*4*1) =0+0-24-0-0+4=-20;

5．设zyxyx2132， x+y+z= 6 。 x=3, y=1,z=x-y=3-1=2; 所以:x+y+z=3+1+2=6; 6. 021321221= 1607 .



1607014222610426122102*21*23*21221 第 2 页（共 8 页）

7. 111-001251-403= 3147 . L:2*3; R:3*2 3==3,可以计算, 计算结果是2*2的矩阵 

31471*21*50*11*20*51*11*41*00*31*40*01*3

8. 设A=.1023，B=010201，则AB= 010623 . L:2*2; R:2*3; 2==2, 结果是2*3的矩阵 

0106230*12*01*10*00*11*00*22*31*20*30*21*3

9.T)123(321= (10) . 10. 设A，B都是n阶方阵且，，34-BA则AB= -12 。

11. 设A=5221 ，1A= 1225 .

12. 设齐次方程组0Ax，aAr00210321~，方程有唯一解的充要条件是 a≠0 . 13.非齐次方程组bAx，abAr00012100321~),(方程无解的充要条件是 a≠0 . 二、选择题： 1.设A为n阶方阵，则满足A可逆的条件是B .

A. 0A； B. 0A； C.nR(A); D. nR(A). 2..设A为三阶方阵且,2A 则AAT3 d A.-108； B.-12； C.12； D.108 3.设BA,为n阶方阵，满足等式0AB，则必有C 第 3 页（共 8 页）

A. 0A或0B； B.0BA； C. 0A或0B； D.0BA. 4.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是D A. AB=BA B.111BABA C. BABA D.TTTBABA

5. 矩阵0133的逆矩阵是（ C ） A．3310 B．3130 C．13/110 D．013/11

6. 如果方程组0404033232321kxxxxxkxx有非零解,则 k=B A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 7．设线性方程组AX=B，则)~()(ARAR是AX=B有解的C。 A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件。

8. 已知线性方程组AX=B，其中系数矩阵A1201，若210X为它的解，则

常数项矩阵B=D。 A．21 B．10 C．21 D．01

三、计算题： 1.用克莱姆法则求解方程组： （1）121223yxyx

解: D=1223=3+4=7≠0; D1=11212=12+2=14; D2=12123=3-24=-21; x=D1/D=14/7=2; y=D2/D=-3; 第 4 页（共 8 页）

32yx

（2）8-3332yxyx 解: D=1332=-2+9=7≠0; D1=1833=-3+24=21; D2=8332=16-9=7; x=D1/D=21/7=3; y=D2/D=7/7=1;

13yx

2. 设方程组 11022131321axxxxxxx有唯一解,求a. 解:D=01101121a=0+2+a-0-0+a=2+2a; 因为有唯一解,所以D≠0,所以,2+2a≠0, 所以,a≠-1; 3. 设2200020000340043A，用分块矩阵的方法，求.8A

解:A=2100AA 1A=3443 2516934431A 

22022A 40422022A

所以,1682110,,1004*25AAAA所以 4. 设,330421311A求矩阵A的秩)(AR. 第 5 页（共 8 页）

解:11011031121A 00011031132A R(A)=2 5．讨论方程组032232421343143214321xxxxxxxxxxxx解的情况 . 解:



360000671011311307100671011311

03223067101131103223241121131132312132A

R(A)=nRA43)(~ 有无穷多解 6.求非齐次方程组2132-130432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系和通解。

解: 第 6 页（共 8 页） 方程的通解为得令且方程有无穷多解



24232221124124342143421~2/122/1x2/1x:xx:x22/1xxx2/1x

2/1x2-x2/1x-x-x,n 32)AR((A)000002/12-1002/11-01-12/121002/121002/110112/12100142002/110112/1210014200011112/1321114200011112/1321113111011112133121CxCxCCCCCR

A

系为方程组的一个基础解则为任意常数212121214321,1201,0011,1201001102/102/1

CCCCxx

x

x

7.求下列向量组的秩，并讨论它们是否相关. （1）α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)

解:线性相关32)(000210511nARA 第 7 页（共 8 页）

（2）求向量组α1 =(2,3,0) α2 =(-1,4,0), α3 =(0,0,2)的秩，并讨论它们是否相关. 解:线性无关nARA3)(20002/11002/11320004302/11200043012212/11 8. （1）求矩阵4820322513454947513253947543173125的列向量的一个最大无关组。

解:20545317,32949431a,25757525a,3)(0000210032104317312553105310321043173125482032255310321043173125482032251345494753210431731254820322513454947513253947543173125321--3-332413121aARA一个最大的无关组是

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(完整版)线性代数试题及答案

(完整版)线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。

【考研数学】2017版线代讲义练习题解答

【考研数学】2017版线代讲义练习题解答


即 r α1, α2, , αs r β1, β2,
第 108 页 答案 B
解析 A* O, r A* 1,
, βt .
伴随矩阵的秩的关系，
n, r A n,
r
A*
1,
r
A
n
1,
0, r A n 1.
知 r A n 或n 1．
非齐次方程组有不同的解，即有多个解， r A n ．
β1, β2 , , βt 的秩为 q ，记其极大线性无关组为 βi1 , βi2 , , βiq ，
α1, α2 , , αs 可以由 β1, β2 , , βt 线性表出， 可以推出，
αi1 , αi2 , , αir 可以由 βi1 , βi2 , , βiq 线性表出，
定理 3.7 推论， r q
而 A 1 a 1 a2 01 a
a 0.
(Ⅱ) X (E A2 ) AX (E A2 ) E
(E A) X (E A2 ) E
E A, E A2必可逆
X (E A)1(E A2 )1
1 1 01 0 0 11
= 1
1
1
0
1 0
0 1 1 1 0 2
2 1 1 2 0 1
E BA B E AB1 A BAB E AB1 A
E BA E BA B E AB1 A
E BA E B E AB1 A
有可逆矩阵的定义知， E BA 可逆且逆矩阵为 E B E AB1 A ．
方法二（反证法）
假设 E BA 不可逆，则齐次线性方程组 E BA x 0 有非零解 η ，
5 0
方程组有解， b
《2017 线性代数辅导讲义》练习参考答案
第 19 页 （特征值的相关知识见第五章） 答案 （1）1 解析 矩阵不可逆，矩阵行列式为零．
海南大学2016-2017学年第一学期期末考试线性代数试题(补考复习使用)

海南大学2016-2017学年第一学期期末考试线性代数试题(补考复习使用)

2016-2017 学年第一学期期末考试线性代数试题一．选择题（每小题 4 分，共 24 分）1、行列式01110212=-k k 的充分条件是（A ）2=k （B ）2-=k （C ）0=k （D ）4=k 2、设A 为n 阶矩阵，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则=*A A （A ）n n A -2（B ）n A （C ）12+-n n A （D ）1-n A 3、设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组AX =b（A ）无解（B ）有唯一解（C ）有无穷多解（D ）解的情况不能确定4、设A 、B 是满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（C ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（D ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5、已知21,ηη是线性非齐次方程组b x A n m =⨯的两个不同的解，21,ξξ是对应线性齐次方程组0=⨯x A n m 的基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b x A n m =⨯的通解为（A ）2)(2121211ηηξξξ-+++k k ；（B ）2)(2121211ηηξξξ++-+k k ；（C ）2)(2121211ηηηηξ-+++k k ；（D ）2)(2121211ηηηηξ++-+k k ；6、设A 是3阶不可逆矩阵，21,αα是AX =0的基础解系，3α是属于特征值1=λ的特征向量，下列不是A 的特征向量的是（A ）213αα+（B ）21αα-（C ）31αα+（D ）32α二．填空题（每小题4分，共16分）1、若三阶矩阵A 的伴随矩阵是*A ,且21=A ,则=-*-A A 231）（__________.2、设X A AX +=，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010312022A ，则=X ___________.3、已知123,,αααγβ,,都是四维列向量，,,,,321a =βααα,,,,123b =+αααγβ则=321,,,2αααγ___________.4、设l ααα,,,21 都是非齐次线性方程组AX =b 的解，如果l l c c c ααα+++ 2211还是AX =b 的解，则=+++l c c c 21___________.三、计算题（每题10分，共50分）1、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231102A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102324171B 求T AB ）（.2、求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A 的列向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α,用施密特正交化过程把这组向量规范正交化4、用基础解析表示如下线性方程组的全部解⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=60028022a A 相似于对角矩阵∧，确定常数a 的值；并求可逆矩阵P ,使得∧=-AP P 1。

上海大学线性代数样题

上海大学线性代数样题


5 * 1 7. 已知A = 0 0
5 0 4 0 7 8 , A−1 = 0 5 0 0 7 5
一、选择题： 选择题： （每小题 2 分，5 题共 10 分）
1．A 是数域 F 上 m x n 矩阵，b 为 m 维列向量， 以下错误的是（ ） A．如果 A 是列满秩的，则线性方程组 Ax=b 有唯一解 B．如果 A 是列满秩且 m=n，则线性方程组 Ax=b 有唯一解。 C．齐次线性方程组 Ax=0 若有两个不同的解，它一定有无穷多个解 D．当 m < n 时，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解 E．若 Ax=b 所有解向量至多有 n 个解向量线性无关，则 r(A)=1 2．设 A 是 m╳n 矩阵，且 AB=AC，则（ ） A．当 A≠O 时，B=C B．当 m=n 时，B=C C．当 r(A)=n 时，B=C D．当 r(A)=m 时，B=C 3．设 A，B，C 是方阵，若 ABC =I ,则必有（） A． BCA=I； B． CBA = I ；C． BAC =I ；D． ACB =I . 4. 设 A 是方阵，若 A = 0 ,则错误的是（）
第
2 页
( 共
4 页 )
得分
评卷人
三、计算题： 计算题： （本大题 6 小题，共 57 分）
第 2 页
1 3 13.(9分) 设D = −2 5
1 1 1 1
7 −1 8 0 ，设A11 , A12 , A13 , A14为其第一行代数余子式。 4 3 2 5
1 1 1 1 1 1 1 −1 ( 共 4 页 ) , 且AXA −1 = −2 XA −1 + I , 求A和X 14.（ 10分）设( A + 2 I ) = 1 1 1