1.5-2函数y=Asin(ωx+φ)的图像

3、函数 y=sin(x＋φ)的图象能否通过左右平移而得到正弦曲线呢？ 函数 y=sin(x＋φ)的图象与正弦曲线 y=sinx，都可以左右相互平移而 得到，平移单位长度都是|φ|，只是平移方向相反
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.

1
y o


2
步骤1
-1
3 2
2
x
(沿x轴平行移动)
y
步骤2
1
o
-1
3 2
2

2

x (横坐标伸长或缩短)
1
y o

2
步骤3
-1

3 2
2
x
(纵坐标伸长或缩短)
1
y o

2
步骤4
-1

3 2
2
x
用两种方法画出函数y 2 sin(2 x )在长度 4 为一个周期的闭区间上 的简图.
结论 : 函数y A sin( x )的图象, 可以看作是把 y sin( x )上所有点的纵坐标伸长 (当A 1时) 或缩短 (当0 A 1时)到原来的 A倍(横坐标不变 ) 而得到.从而,函数y A sin( x )的值域是 A, A, 最大值是 A, 最小值是 A.
y
3
2
1
y=sin(x- )① 6

y=sinx
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
1 y sin( x ) ② 3 6
2
7 2
o

-１
6
2
13 2
x
-2
-3
1 (画法二)利用"五点法"画函数 y 2 sin( x )在 3 6 2 一个周期 (T 1 6 )内的图象. 3


5
个单位长度. 个单位长度.
5 2 (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2 ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

x x 已知函数 y＝ 3sin ＋cos (x∈R)． 2 2 (1)用“五点法”画出它的图象； (2)求它的振幅、周期及初相； (3)说明该函数的图象可由 y＝sinx 的图象经过怎样的变 换而得到？
[解]
x π x π (1)y＝2sin( ＋ )，令 X＝ ＋ ，列表如下： 2 6 2 6
[点评与警示]
用“五点法”作图应抓住四条：①化为
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞ 2π 0)的形式；②求出周期 T＝ ；③求出振幅 A；④列出一个 ω 周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列 出该区间内的特殊点．⑤图象的变换顺序有两种，一是先平 移，后伸缩；二是先伸缩，后平移．两者平移量不同，前者 |φ| 横移|φ|个单位，后者是横移 个单位． ω
2
(1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间； π π (4)证明 f(x)在[－ ， ]上递增． 3 12
[ 解] sin2x
1 3 3 3 1 f(x) ＝ sin2x ＋ (1 ＋ cos2x) － ＋ cos2x ＋ 2 2 2 2 2
(2011· 广州一模)已知函数 f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； 2 (2)若 θ 为锐角，且 3 ，求 tan2θ 的值． [解] (1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x ＝
2 2 2 sin2 x ＋ cos2 x 2 2 π sin2x＋4.
π 将函数 y＝sin(x－ )的图象上所有点的横坐标伸长到 3 π 原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移 个单 3 位，得到的图象对应的解析式是( 1 A．y＝sin x 2 1 π C．y＝sin( x－ ) 2 6 )

y
2
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
ω的作用：使正弦函数的周期发生变化。
你能得到y=sin （ x)与y=sinx 图象的关系吗？
函数 y sin(x) 的图象，可以看作
是把 y sin( x) 的图象上所有点的横坐
标* 1 倍（纵坐标不变）而得到的. 0
T 2
练习：求下列函数的最大值、最小值、 周期
先观察y=2sinx、y= 1 sinx与y=sinx的图象间的关系
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
你能得到y=Asinx与y=sinx 图象的关系吗？
1.y=Asinx（A>0)的图象是由y=sinx的图象上所 有点的横坐标不变，纵坐标*A倍而成. 2.值域 [ -A, A]最大值A,最小值-A
正弦型函数y =Asin(ωx + )的图象
5、 3 2
1
5
y sin( x ) 1
2 2
ymax 2
ymin
2
T 2
正弦型函数y =Asin(ωx + )的图象和性质
3、 的作用：研究 y=sin(x+ )与y=sinx 图象的关系
先观察y = sin（x+ ）、y = sin（x － ）
2
2
与 y=sinx 的图象间的关系
y
2
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
作y=sin
1 2
x的图象
1x
0
2
x
0
sin 12x 0
1、列表