一元函数微分学

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲） 内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义

设函数)(xfy在点0x的某领域内有定义，自变量x在0x处有增量x，相应地函数

增量)()(00xfxxfy。如果极限

xxfxxfxyxx)()(limlim0000

存在，则称此极限值为函数)(xf在0x处的导数（也称微商），记作0()fx，或0xxy，

0xxdxdy，0)(xxdxxdf等，并称函数)(xfy在点0x处可导。如果上面的极限不存在，则

称函数)(xfy在点0x处不可导。 导数定义的另一等价形式，令xxx0，0xxx，则

000

0

()()()limxxfxfxfxxx



我们也引进单侧导数概念。 右导数：0000000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx

左导数：0000000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx 则有：)(xf在点0x处可导)(xf在点0x处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(xfy在点0x处导数0()fx存在，则在几何上0()fx表示曲线)(xfy

在点（)(,00xfx）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()yfxfxxx

法线方程：00001()()(()0)()yfxxxfxfx 设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为)(tfS，如果0()ft存在，则0()ft

表示物体在时刻0t时的瞬时速度。 3．函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数)(xfy在点0x处可导，则)(xf在点0x处一定连续，反之不然，即函数

)(xfy在点0x处连续，却不一定在点0x处可导。例如，||)(xxfy，在00x处连

续，却不可导。 4．微分的定义

设函数)(xfy在点0x处有增量x时，如果函数的增量)()(00xfxxfy有下面的表达式 0()()yAxxox （0x）

其中)(0xA为x为无关，()ox是0x时比x高阶的无穷小，则称)(xf在0x处可微，并把y中的主要线性部分xxA)(0称为)(xf在0x处的微分，记以0xxdy或0)(xxxdf。 我们定义自变量的微分dx就是x。 5．微分的几何意义

)()(00xfxxfy是曲线)(xfy在点0x处相应

于自变量增量x的纵坐标)(0xf的增量，微分0xxdy是曲线)(xfy在点))(,(000xfxM处切线的纵坐标相应的增量。

6．可微与可导的关系 )(xf在0x处可微)(xf在0x处可导。

且000()()xxdyAxxfxdx 一般地，)(xfy则()dyfxdx 所以导数()dyfxdx也称为微商，就是微分之商的含义。 7．高阶导数的概念 如果函数)(xfy的导数()yfx在点0x处仍是可导的，则把()yfx在点0x处

的导数称为)(xfy在点0x处的二阶导数，记以0xxy，或0()fx，或022xxdxyd等，也称)(xf在点0x处二阶可导。 如果)(xfy的1n阶导数的导数存在，称为)(xfy的n阶导数，记以)(ny，)()(xyn，nndxyd等，这时也称)(xfy是n阶可导。

二、导数与微分计算 1．导数与微分表 2．导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式 （3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法 （6）用参数表示函数的求导公式 （乙） 典型例题 一、用导数定义求导数

例 设)()()(xgaxxf，其中)(xg在ax处连续，求()fa

解：()()()()0()limlim()xaxafxfaxagxfagaxaxa 二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数

1,1,)(2xbaxxx

xf

试确定a、b的值，使)(xf在点1x处可导。 解：∵可导一定连续，∴)(xf在1x处也是连续的。 由 1lim)(lim)01(211xxffxx babaxxffxx)(lim)(lim)01(11

要使)(xf在点1x处连续，必须有1ba或ab1

又 2111()(1)1(1)limlimlim(1)211xxxfxfxfxxx 111()(1)1(1)(1)limlimlim111xxxfxfaxbaxfaxxx



要使)(xf在点1x处可导，必须(1)(1)ff，即a2.

故当1211,2aba时，)(xf在点1x处可导. 例2 设1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf，问a和b为何值时，)(xf可导，且求()fx 解：∵1x时，)1(limxnne， 1x时，0lim)1(xnne

∴ ，xbax，xba，xxxf1,1,211,)(2 由1x处连续性，1lim)(lim211xxfxx，121)1(baf，可知1ba 再由1x处可导性， 21(1)(1)lim1xxffx



存在

1()(1)(1)lim1xaxbffx

存在

且(1)(1)ff 根据洛必达法则12(1)lim21xxf

1(1)lim1xafa

，∴ 2a

于是11ab







,1,12,1,1,1,)(2xxxxxxf

2,1,()2,1,xxfxx







三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设)(xf可微，)()(lnxfexfy，求dy

解：)(ln)(ln)()(xdfedexfdyxfxf ()()1()(ln)(ln)fxfxfxefxdxfxedxx

()1[()(ln)(ln)]fxefxfxfxdxx 例2 设xxxy)0(x，求dxdy 解：xxyxlnln 对x求导，得 11()lnxxyxxxyx

再令xxy1，xxylnln1，对x求导， 11

1ln1yxy，∴ ()(ln1)xxxxx

于是xxxxxxxxxdxdy1ln)1(ln （0x） 例3 设)(xyy由方程xyyx所确定，求dxdy 解：两边取对数，得yxxylnln，

对x求导，lnlnyxyxyyxy (ln)lnxyyxyyx，22nlnyxyyyxxyx

例4 设







tuttuduueyuduex20)1ln(sin2

2

求dydx

解：)21ln(2sinsin22224tetettedtdydtdxdydxttt 四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线)(xfy与2arctan0xtyedt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方

程，并求2lim()nnfn。

解：由已知条件可知0)0(f，(arctan)202(0)11xxefx 故所求切线方程为xy，2()(0)2lim()lim22(0)22nnffnnffnn 例2 已知曲线的极坐标方程cos1r，求曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程。

解：曲线的参数方程为cossinsinsin)cos1(coscoscos)cos1(2yx

1sincos2sinsincoscos62266





ddxd

dy

dxdy

故切线方程)4323(14321xy 即 045343yx 法线方程 1333()2424yx 即 041341yx 例3．设)(xf为周期是5的连续函数，在0x邻域内，恒有(1sin)3(1sin)fxfxxx。其中0)(lim0xxx，)(xf在1x处可导，

求曲线)(xfy在点（)6(,6f）处的切线方程。 解：由题设可知)1()6(ff，(6)(1)ff，故切线方程为 (1)(1)(6)yffx 所以关键是求出)1(f和(1)f 由)(xf连续性)1(2)]sin1(3)sin1([lim0fxfxfx 由所给条件可知0)1(2f，∴ 0)1(f 再由条件可知8)sin)(sin8(limsin)sin1(3)sin1(lim00xxxxxxfxfxx 令8)1(3)1(lim,sin0ttftftxt，又∵0)1(f