中考数学专题复习一线三角三等角型

—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

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2023年中考数学重难点复习：《一线三等角模型》
破解策略
在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．
1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时．
（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．
321
D
B
P A C
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．
3
C
D
P A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD
（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．
231
D
B P A C
2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时．
如图，则有△ACP ∽△BP D ．
3
2
1C
P D
B A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD
3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时．
如图，则有△ACP ∽△BP D ．。

专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

中考数学专题复习全等三角形（一线三等角模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边∠DPE ，连结BE ，则∠BDE 的面积为（ ）A ．43B ．2C ．4D ．632．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（ ）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 23．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（ ）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm4．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（ ）A ．3B ．2C ．94D ．925．如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm评卷人 得分二、填空题 6．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果5BM =，3DN =，那么点M 和点N 之间的距离为_______．7．如图，直线l 1∠l 3，l 2∠l 3，垂足分别为P 、Q ，一块含有45°的直角三角板的顶点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、线段PQ 上，点O 是斜边AB 的中点，若PQ 等于72，则OQ 的长等于 _____．8．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ∠DE 于点D ，BE ∠DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．9．如图，在等腰Rt ABC 中，AC BC =，D 为ABC 内一点，且BCD CAD ∠=∠，若4CD =，则BCD △的面积为________．10．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．评卷人得分三、解答题11．（1）如图1，在∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为点D、E．求证：∠ABD∠∠CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在∠ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD∠∠CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且∠ABF和∠ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：∠DEF是等边三角形．12．已知∠ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，且垂足分别为D ，E ．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD =2.5cm ，DE =1.7cm ，求BE 的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部，BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变，如图2，猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系，并给予证明．13．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ∠求证：ABP PCD △△∽；∠当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．14．在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．15．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图∠所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．16．问题背景：（1）如图∠，已知ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图∠，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB AC=，D，A，E 三点都在直线m上，并且有BDA AEC BAC∠=∠=∠，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图∠，在ACB△中，90ACB∠=︒，AC BC=，点C的坐标为()2,0-，点A的坐标为()6,3-，请直接写出B点的坐标．17．探究：（1）如图（1），已知：在∠ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE 之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在∠ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且∠ABF和∠ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出∠DEF的形状是．18．在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E．【感知】（1）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，易证∠ADC∠∠CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为．【探究】（2）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，求证：DE＝AD－BE．（3）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．19．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD∠ED于D，过B作BE∠ED于E．求证：∠BEC∠∠CDA；（2）模型应用：∠已知直线y＝34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；∠如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P 是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若∠APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．20．（1）课本习题回放：“如图∠，90ACB∠=︒，AC BC=，AD CE⊥，BE CE⊥，垂足分别为D，E， 2.5cmAD=， 1.7cmDE=．求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图∠，点B，C在MAN∠的边AM、AN上，AB AC=，点E，F 在MAN∠内部的射线AD上，且BED CFD BAC∠=∠=∠．求证：ABE CAF∆∆≌．（3）拓展应用：如图∠，在ABC∆中，AB AC=，AB BC>．点D在边BC上，2CD BD=，点E、F在线段AD上，BED CFD BAC∠=∠=∠．若ABC∆的面积为15，则ACF∆与BDE∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）21．在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，∠求证：∠ADC∠∠CEB；∠求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．22．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC∠AC于点C，过点D作DE∠AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到∠ABC∠∠DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC∠AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，∠AFD的面积为S1，∠DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）23．如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，∠求证：∠EAC＝∠BCF．∠猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）24．如图，在Rt ABC△中，90ABC∠=︒，点D在BC的延长线上，且BD AB=，过点B作BE AC⊥，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．（1）求证：ABC BDE△≌△．（2）求证：OC OE=．25．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝°，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，∠ADE是等腰三角形．26．如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长．27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a ﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B两点的坐标（2）已知∠ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标（3）已知AB＝10，试探究在x轴上是否存在点P，使∠ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D 不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．29．在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D点，BE MN⊥于E点．（1）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，求证：DE AD BE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图∠、图∠的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．30．如图，等腰直角∠ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．（1）过点A作AD∠x轴，求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与∠OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使∠OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】要求BDE∆的面积，想到过点E作EF BC⊥，垂足为F，因为题目已知60ABC∠=︒，想到把ABC∠放在直角三角形中，所以过点D作DG BA⊥，垂足为G，利用勾股定理求出DG的长，最后证明GPD FDE∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E作EF BC⊥，垂足为F，过点D作DG BA⊥，垂足为G，在Rt BGD中，4BD=，60ABC∠=︒，30BDG∴∠=︒，122BG BD∴==，2223GD BD BG∴=-=，PDE∆是等边三角形，60PDE∴∠=︒，PD DE=，180120PDB EDF PDE∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC∠=︒，180120PDB BPD ABC∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF∴∠=∠，90PGD DFE∠=∠=︒，()GPD FDE AAS∴∆≅∆，23GD EF∴==，BDE∴∆的面积12BD EF=⋅，14232=⨯⨯， 43=，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．2．A【解析】【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明∠DAC ∠∠ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∠∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∠∠DAC =∠ECB ，又∠AC =CB ，∠∠DAC ∠∠ECB （AAS ），∠CD =BE =2x cm ，∠222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∠()()222232220x x +=，∠220013x =， 故选A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．3．C【解析】【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【分析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∠∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠CD ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∠DE ＝CD +CE ＝3a +4a ＝7a ，∠a ＝8cm ，∠7a ＝56cm ，∠DE ＝56cm ，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．4．A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，推出∠BAD ＝∠CDE ，根据线段垂直平分线的性质得到AD ＝ED ，根据全等三角形的性质得到CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，即可得到结论．【详解】解：∠AB ＝AC ＝9，∠∠B ＝∠C ，∠∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∠∠BAD ＝∠CDE ，∠AE 的中垂线交BC 于点D ，∠AD ＝ED ，在∠ABD 与∠DCE 中，BAD CDE B CAD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD ∠∠DCE （AAS ），∠CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∠CD ＝3BD ，∠CE ＝BD ＝3故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．5．B【解析】【分析】 根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：∠AB ∠BD ，ED ∠BD ，∠90ABC CDE ∠=∠=︒，∠∠ACE ＝90°，∠90ACB DCE ∠+∠=︒，∠90ACB BAC ∠+∠=︒， ∠BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝， ∠()ABC CDE AAS ≌，∠6cmAB CD==，2cmBC DE==，∠268cmBD BC CD=+=+=，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．6．8或2##2或8【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出∠ABM∠∠AND，进而求出MN的值，注意分类讨论．【详解】如图1，在正方形ABCD中，∠90NAD BAM∠+∠=︒，90ABM BAM，∠NAD MBA∠=∠，∠在ABM和DAN中，AMB ANDABM NADAB AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM DAN≌△△（AAS），∠3AM DN==，5BM AN==，∠358MN AM AN=+=+=，如图2，在正方形ABCD中，∠90DAN BAM ∠+∠=︒，90ABMBAM ，∠NAD MBA ∠=∠， ∠在ABM 和DAN 中，AMB DNA ABM NAD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM DAN ≌△△（AAS ），∠3AM DN ==，5BM AN ==，∠532MN AN AM =-=-=，综上：8MN =或2．故答案为：8或2．【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，将直线l 与正方形ABCD 的位置分类讨论是解题关键．7．6【解析】【分析】由“AAS ”可证∠ACP ∠∠CBQ ，可得AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，由“AAS ”可证∠APO ∠∠BHO ，可得AP ＝BH ，OP ＝OH ，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接PO ，并延长交l 2于点H ，∠l 1∠l 3，l 2∠l 3， ∠l 1∠l 3，∠APC ＝∠BQC ＝∠ACB ＝90°， ∠∠P AC +∠ACP ＝90°＝∠ACP +∠BCQ ， ∠∠P AC ＝∠BCQ ， 在∠ACP 和∠CBQ 中， ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ， ∠∠ACP ∠∠CBQ （AAS ）， ∠AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∠PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ ＝72， ∠AP ∠BQ ，∠∠OAP ＝∠OBH ， ∠点O 是斜边AB 的中点， ∠AO ＝BO ，在∠APO 和∠BHO 中， ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ， ∠∠APO ∠∠BHO （AAS ）， ∠AP ＝BH ，OP ＝OH ， ∠BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ， ∠PQ ＝QH ＝72， ∠∠PQH ＝90°，∠PH＝2PQ＝12，∠OP＝OH，∠PQH＝90°，PH＝6．∠OQ＝12故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．8．13【解析】【分析】先根据AD∠DE，BE∠DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，∠ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明∠DAC∠∠ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【详解】解：∠AD∠DE，BE∠DE，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠DAC+∠DCA=90°，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∠∠DAC=∠ECB，∠∠DAC∠∠ECB（AAS），∠CE=AD=5，CD=BE=8，∠DE=CD+CE=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9．8【解析】由线段CD 的长求BCD ∆的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：12BCD S CD BE ∆=⨯⨯，再由题中的BCD CAD ∠=∠和等腰直角三角形ABC ，即可求证ACD CBE ∆∆≌，最后由4CD BE ==即可求解．【详解】解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E90ACB ∠=︒90BCD ACD ∴∠+∠=︒BCD CAD ∠=∠90ACD CAD ∴∠+∠=︒90ADC ∴∠=︒BE CD ⊥90E ∴∠=︒90BCD CBE ∴∠+∠=︒ACD CBE ∴∠=∠AC CB =ACD CBE ∴∆∆≌4CD BE ∴== 1144822BCD S CD BE ∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 故答案是：8．【点睛】本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 10．28【分析】作CD ∠OB 于点D ，依据AAS 证明D AOB B C ∆≅∆,GMF ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D ，如图，∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB ，90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中， AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．11．（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆∆≌；（2）利用BDA BAC α∠=∠=，则180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，得出CAE ABD ∠=∠，然后问题可求证；（3）由题意易得,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，由（1）（2）易证ADB CEA ∆∆≌，则有AE BD =，然后可得FBD FAE ∠=∠，进而可证DBF EAF ∆∆≌，最后问题可得证．【详解】（1）证明：BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌； 解：（2）成立，理由如下：α∠=∠=BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°，∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒，∠CAE ABD ∠=∠，∠()ADB CEA AAS ∆∆≌，∠AE BD =，∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，∠FBD FAE ∠=∠，∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ），∠,FD FE BFD AFE =∠=∠，∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠∠DFE 是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．12．BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【解析】【分析】如图1，由“AAS ”可证∠ACD ∠∠CBE ，可得AD =CE =2.5cm ，BE =CD ，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS ”可证∠ACD ∠∠CBE ，可得AD =CE ，BE =CD ，即可求解．【详解】解：如图1，∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°，∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ，∠∠BCE =∠CAD ， 在∠ACD 和∠CBE 中，BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠AD =CE =2.5cm ，BE =CD ，∠DE =1.7cm ，∠BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∠BE的长为0.8cm；如图2，DE=AD+BE，理由如下：∠∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∠∠BCE=∠CAD，在∠ACD和∠CBE中，BEC ADCBCE CADBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD∠∠CBE（AAS），∠AD=CE，BE=CD，∠DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13．感知：（1）AEDE ；应用：（2）∠见解析；∠3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∠根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；∠根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∠∠ABC∠∠DAE，∠BC AC AE DE=，∠BC AE AC DE=，故答案为：AE DE； 应用：（2）∠∠∠APC =∠B +∠BAP ，∠APC =∠APD +∠CPD ，∠APD =∠B ，∠∠BAP =∠CPD ，∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，∠∠ABP ∠∠PCD ；∠BC =12，点P 为BC 中点，∠BP =PC =6，·∠∠ABP ∠∠PCD ，∠AB BP PC CD =，即1066CD=， 解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，∠ABP ∠∠PCD ，∠PC =AB =10，∠BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ，∠∠APD =∠B =∠C ，∠∠ADP =∠C ，不合题意，∠AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∠∠C =∠C ，∠∠BCA ∠∠ACP ，∠BC AC AC CP =，即121010CP =， 解得：253CP =， ∠25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明∠ADC∠∠CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知∠ACD∠∠CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠BEC=90°，∠∠DAC+∠ACD=90°，∠∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠DAC=∠BCE，在∠ADC和∠CEB中，∠ADC BECDAC BCE AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC∠∠CEB；∠DC=BE，AD=EC，∠DE=DC+EC，∠DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如图2，∠∠ACB=90°，∠∠ACD +∠BCE =90°．又∠AD ∠MN 于点D ，∠∠ACD +∠CAD =90°，∠∠CAD =∠BCE ．在∠ACD 和∠CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠CD =BE ，AD =CE ，∠DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得∠ADC ∠∠CEB ，∠AD =CE ，DC =BE ，∠DE =CD -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD ．【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．15．（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥，⊥CN MN ，∠90AMB BNC ∠=∠=︒，∠90ABM BAM ∠+∠=︒，∠90ABC ∠=︒，∠90ABM CBN ， ∠BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AMB BNC AAS ≅△△，∠AM BN =，BM CN =，∠BN MB MN +=，∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∠AMB ABC ∠=∠， ∠MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AMB BNC AAS ≅△△，∠AM BN =，NC MB =，∠MN MB BN =+，∠MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN ∠=∠．16．（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】（1）证明：∠BD m ⊥，CE m ⊥，∠90ADB CEA ∠=∠=︒，∠90BAC ∠=︒，∠90BAD CAE ∠+∠=︒，∠90BAD ABD ∠+∠=︒，∠ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中 ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ADB CEA ≌，∠AE BD =，AD CE =，∠DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+ ，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∠180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠， ∠ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠ABD CAE ≌，∠AE BD =，AD CE =，∠DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，由（1）可知，AEC CFB ≌，∠3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∠1OF CF OC =-=，∠点B 的坐标为()1,4B ．【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．探究：（1）DE =BD +CE ；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）∠DEF 是等边三角形【解析】【分析】（1）根据BD ∠直线m ，CE ∠直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS ”可判断∠ADB ∠∠CEA ，则AE ＝BD ，AD ＝CE ，于是DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由AAS 就可以得出∠BAD ∠∠ACE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC ＝120°，就可以得出∠BAD ∠∠ACE ，就有BD ＝AE ，进而得出∠BDF ∠∠AEF ，得出DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，而得出∠DFE ＝60°，即可推出∠DEF 为等边三角形．【详解】（1）解：如图1，∠BD∠直线m ，CE ∠直线m ，∠∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠∠BAC ＝90°，∠∠BAD +∠CAE ＝90°∠∠BAD +∠ABD ＝90°，∠∠CAE ＝∠ABD ，在∠ADB 和∠CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE ＝BD ，AD ＝CE ，∠DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；故答案为：DE＝BD+CE（2）解：如图2，∠∠BDA ＝∠BAC ＝α，∠∠DBA +∠BAD ＝∠BAD +∠CAE ＝180°﹣α，∠∠DBA ＝∠CAE ，在∠ADB 和∠CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE ＝BD ，AD ＝CE ，∠DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（3）证明：如图3，由（2）可知，∠ADB ∠∠CEA ，∠BD ＝AE ，∠DBA ＝∠CAE ，∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，∠∠ABF ＝∠CAF ＝60°，BF ＝AF ，∠∠DBA +∠ABF ＝∠CAE +∠CAF ，∠∠DBF ＝∠F AE ，∠在∠DBF 和∠EAF 中， BD AE DBF FAE BF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DBF ∠∠EAF （SAS ），∠DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，∠∠DFE ＝∠DF A +∠AFE ＝∠DF A +∠BFD ＝60°，∠∠DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（1）DE ＝AD ＋BE ；（2）见解析；（3）DE ＝BE －AD （或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案；（3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案；【详解】解：（1）证明：∠AD ∠DE ，BE ∠DE ，∠∠ADC =∠BEC =90°，∠∠ACB =90°，∠∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∠∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中 CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠AD =CE ，CD =BE ，∠DC +CE =DE ，∠DE =AD +BE ．（2）证明：∠AD ∠MN ，BE ∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，又∠∠ACB ＝90°，∠∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∠∠CAD ＝∠BCE ．∠AC ＝BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ．∠CE ＝AD ， CD ＝BE ，∠DE ＝CE － CD ＝AD －BE ；（3）DE =BE -AD ，理由：∠BE ∠EC ，AD ∠CE ，∠∠ADC =∠BEC =90°，∠∠EBC +∠ECB =90°，∠∠ACB =90°，∠∠ECB +∠ACE =90°，∠∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠AD =CE ，CD =BE ，∠DE =CD -CE =BE -AD （或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）．【点睛】本题考查了邻补角的意义，同角的余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．19．（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923()33， 【解析】【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当90ADP∠=︒时，AD PD=时，同理求出D的坐标．【详解】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC∠=∠=∠=︒，∠90EBC BCE BCE ACD∠+∠=∠+∠=︒，∠EBC ACD∠=∠，在BEC△和CDA中EBC ACDE DBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BEC CDA AAS≌；（2）过点C作CD x⊥轴于点D，如图2，在334y x=+中，令0y=可求得4x=-，令0x=可求得3y=，∠3OA=，4OB=同（1）可证得CDB BOA≌，∠4CD BO==，3BD AO==，∠437OD=+=，∠()7,4C-且()0,3A，设直线AC解析式为3y kx=+，把C点坐标代入可得734k-+=，解得17k=-，∠直线AC解析式为137y x=-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP △≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∠DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△， ∠6PF AE m ==-，8DF PE ==，∠D 点坐标为()14,8m m -+，∠()82145m m +=--，得5m =，∠D点坐标(913)，；如图4，当90ADP∠=︒时，AD PD=时，同理可得ADE DPF△△≌，设(,25)D n n-，则DE PF n==，25OE n=-，AE DF=则256211DF AE n n==--=-，∠8DE DF EF OC+===∠2118n n+-=，解得193n=，23253n-=∠D点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923()33，．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．20．（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【解析】【分析】（1）利用AAS定理证明∠CEB∠∠ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明∠ABE∠∠CAF；（3）先证明∠ABE∠∠CAF，得到ACF∆与BDE∆的面积之和为∠ABD的面积，再根据2CD BD=故可求解．【详解】解：（1）∠BE∠CE，AD∠CE，∠∠E＝∠ADC＝90°，∠∠EBC＋∠BCE＝90°．∠∠BCE＋∠ACD＝90°，∠∠EBC＝∠DCA．在∠CEB和∠ADC中，E ADCEBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CEB∠∠ADC（AAS），∠BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∠DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∠DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∠BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∠∠1＝∠2，∠∠BEA＝∠AFC．∠∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∠∠BAC＝∠ABE＋∠3，∠∠4＝∠ABE．∠∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∠∠ABE∠∠CAF（AAS）．（3）∠BED CFD BAC∠=∠=∠∠∠ABE+∠BAE=∠F AC+∠BAE=∠F AC+∠ACF∠∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC=∠∠ABE∠∠CAF，∠ABE CAFS S=∠ACF∆与BDE∆的面积之和等于ABE∆与BDE∆的面积之和，即为∠ABD的面积，∠2CD BD=，∠ABD与∠ACD的高相同则13ABD ABCS S=△△=5故ACF∆与BDE∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（1）∠见解析；∠见解析；（2）见解析；（3）DE BE AD=-，证明见解析【解析】【分析】（1）∠根据角之间的关系可得，DCA EBC∠=∠，即可求证；∠根据全等得到线段之间的关系，即可求解；（2）根据等角的余角相等得到ACD CBE∠=∠，易得ADC CEB△≌△，得到AD CE=，DC BE=，所以DE CE CD AD BE=-=-；（3）DE AD BE、、具有的等量关系为：DE BE AD=-．证明的方法与（2）相同．【详解】解：（1）∠∠90ACB∠=︒，。

《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

专题07一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1）三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2）1平角=180度二、模型的概述：1）一线三垂直模型[模型概述]只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。

根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。

基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在∆ABD和∆BCE中，∠1=∠3∠CEB=∠ADB=90°∴∆ABD≌∆BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BDAB=BC则DE=BE+BD=AD+EC一线三垂直模型二：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC∴∠CEB=∠ADB=∠ABC=90°∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°∴∠A=∠CBE在∆ABD和∆BCE中，∠A=∠CBE∠CEB=∠ADB=90°∴∆ABD≌∆BCE（AAS）∴AD=BE,EC=BDAB=BC则DE=BE-BD=AD-EC一线三垂直其它模型1）图1，已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得∆ADB≌∆DEC2）图2，延长DE交AC于点F，已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得∆ABC≌∆DBE图1图22）一线三等角模型[模型概述]三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

一线三等角类型：（同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD（异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD证明：以右图为例∵∠ACP+∠A+∠CPA=180°，∠DPB+∠CPD+∠CPA=180°而∠CAP=∠CPD=∠PBD=∠α∴∠ACP=∠DPB又∵CP=PD∴∆ACP≌∆BPD（AAS）【基础过关练】1．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD 的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．故选C．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3B．2C．94D．92【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，推出∠BAD ＝∠CDE ，根据线段垂直平分线的性质得到AD ＝ED ，根据全等三角形的性质得到CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，即可得到结论．【详解】解：∵AB ＝AC ＝9，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∵AE 的中垂线交BC 于点D ，∴AD ＝ED ，在△ABD 与△DCE 中，BAD CDE B C AD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△DCE （AAS ），∴CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∵CD ＝3BD ，∴CE ＝BD ＝3故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．3．如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE 中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．4．如图，ABC 中，,90,(0,3),(1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．【答案】（4，1）【分析】如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据点A 、点C 坐标可得OA 、OC 的长，根据同角的余角相等可得∠OAC =∠DCB ，利用AAS 可证明△OAC ≌△DC B ，根据全等三角形的性质可得BD =OC ，CD =OA ，即可求出OD 的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∵A （0，3），C （1，0），∴OA =3，OC =1，∵∠ACB =90°，∴∠OCA +∠DCB =90°，∵∠OAC +∠OCA =90°，∴∠OAC =∠DCB ，在△OAC 和△DC B 中，AOC CDB OAC DCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAC ≌△DC B ，∴BD =OC =1，CD =OA =3，∴OD =OC +CD =4，∴点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．5．如图，ABC 为等腰直角三角形AC BC =，若o −3，0)，o0，2)，则点B 的坐标为_________．【答案】(2，−1)【分析】过点B 作BT y ⊥轴于点T ．证明AOC CTB ≅ ，可得结论．【详解】解：如图中，过点B 作BT y ⊥轴于点T ．∵o −3，0)，o0，2)，∴3OA =，2OC =，∵90AOC ACB CTB ∠=∠=∠=︒，∴90ACO BCT ∠+∠=︒，90BCT CBT ∠+∠=︒，∴ACO CBT ∠=∠，在AOC 和CTB △中，===AOC CTB ACO CBT AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴AOC CTB ≅ （AAS ），∴3AO CT ==，2BT CO ==，∴-1OT CT CO ==，∴（2，−1），故答案为：(2，−1)．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．7．如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°），若OA ＝50cm ，OB ＝28cm ，则点C 离地面的距离是____cm ．∴90CDB AOB ∠=∠=︒∵ABC ∆是等腰直角三角形∴AB =CB ，90ABC ∠=︒∴90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∴ABO BCD∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中，AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABO BCD AAS ∆≅∆∴28cmCD BO ==故答案为：28．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．8．如图，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，AE ⊥BD 于F ，BC ⊥CD ，求证：EC ＝AB －CD ．【答案】见解析【分析】利用ASA 证明出△ABE ≌△BCD ，在通过等量代换进行解答．【详解】证明：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACD ＝90°∴∠AEB ＋∠A ＝90°∵AE ⊥BD∴∠BFE ＝90°∴∠AEB ＋∠FBE ＝90°∴∠A ＝∠FBE ，又∵AB ＝BC ，∴△ABE ≌△BCD ，∴AB ＝BC ，BE ＝CD ，∴EC ＝BC －BE ＝AB －CD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代换的思想来间接证明．【提高测试】1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴的负半轴和正半轴上，以AB 为边向上作正方形ABCD ，四边形OEFG 是其内接正方形，若直线OF 的表达式是y ＝2x ，则ABCDOEFG S S 正方形正方形的值为（）A ．43B ．85C ．169D ．94【答案】B【分析】根据正方形性质易得GBO FCG ≅ ，从而可得CG BO =、FC GB =，设OB =a ，BG =b ，可得F 点坐标为(,)a b a b -+，根据F 点在直线OF 上，可求出3a b =，然后即可根据正方形面积和勾股定理求出面积比．【详解】解：在正方形ABCD ，正方形OEFG 中，90OBG OGF GCF ∠=∠=∠=︒，FG OG =，∴90OGB GOB OGB CGF ∠+∠=∠+∠=︒，∴GOB CGF ∠=∠，在GBO 和△FCG 中，OBG GCF GOB FGC OG FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴GBO FCG ≅ （AAS ）∴CG BO =、FC GB =，设CG BO a ==、FC GB b ==，∴BC BG CG a b =+=+，HF OB FC a b =-=-，∴点F 坐标为(,)a b a b -+，∵直线OF 的表达式是y ＝2x ，∴2()a b a b -=+，2．如图，AE ⊥AB ，且AE =AB ，BC ⊥CD ，且BC =CD ，EF =6，BG =3，DH =4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是______．3．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果5BM =，3DN =，那么点M 和点N 之间的距离为_______．（1）如图1，过A 的直线与斜边BC 不相交时，直接写出线段EF 、BE 、CF 的数量关系是______；（2）如图2，过A 的直线与斜边BC 相交时，探究线段EF 、BE 、CF 的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线FA 交BC 于点H ，延长BE 交AC 于点G ，连接BF 、FG 、HG ，若AHB GHC ∠=∠，6EF CF ==，2EH FH =，四边形ABFG 的面积是90，求GHC 的面积．【答案】（1）数量关系为：EF =BE +CF ；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．证明见详解；（3）S △GHC =15．【分析】（1）数量关系为：EF =BE +CF ．利用一线三直角得到∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA =∠FAC ，再证△GHC =S △ACF -S △HCF -S △AGH 5．如图1所示，已知ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF AE BF =+；（2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF AE <），其余条件不变，猜想EF 与AE ，BF 有什么数量关系？并证明你的猜想；（3）若直线m 绕点C 旋转到图3所示的位置时（BF AE >）其余条件不变，问EF 与AE ，BF 的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．【答案】（1）见解析；（2）EF AE BF =-，理由见解析；（3）EF BF AE =-，理由见解析【分析】（1）先证得90AEC BFC ∠=∠=︒，EAC FCB ∠=∠，根据AAS 证EAC FCB △≌△，推出CE BF =，AE CF =即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CF CE =-即可得到EF AE BF =-；（3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CE CF =-即可得到EF BF AE =-．【详解】（1）证明：AE EF ⊥Q ，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∵EF CF CE =+，∴EF AE BF =+；（2）解：EF AE BF =-，理由如下：AE EF ⊥Q ，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∵EF CF CE =-，∴EF AE BF =-；（3）解：EF BF AE =-，理由如下：AE EF ⊥Q ，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∵EF CE CF =-，∴EF BF AE =-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．6．如图1，在平面直角坐标中，点()0,A m ，(),0B m ，()0,m C -，其中0m >，点P 为线段OA 上任意一点，连接BP ，CE BP ⊥于E ，AD BP ⊥于D ．（1）求证：AD BE =；（2）当3m =时，若点()3,0N -，请你在图1中连接CD ，EN 交于点Q ．求证：EN CD ⊥；（3）若将“点P 为线段OA 上任意一点”，改为“点P 为线段OA 延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD ，EN CD ⊥，垂足为F ，交y 轴于点H ，交x 轴于点N ，请在图2中补全图形，求点N 的坐标（用含m 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(),0m -【分析】（1）先根据点()0,A m ，(),0B m ，()0,C m -，得到OA OB OC m ===，则由三线合一定理得到，AB BC =，证明90ABC ∠= ，推出=CBE BAD ∠∠即可证明ABD BCE ≅ ，得到AD BE =；（2）先根据点()3,0N -，得到3OA OB OC ON ====，则6AC BN ==，再证明DAC EBN ∠=∠，即可利用SAS 证明DAC EBN ≅△△得到ACD BNE ∠=∠，再由NGF CGO ∠=∠，可以推出90NFG COG ∠=∠=o ，即CD EN ⊥；（3）同样先证明=CBE BAD ∠∠，推出ABD BCE ≅ ，得到AD BE =，即可得到CAD NBE ∠=∠，再由90NOH CFH ∠=∠=o ，OHN FHC ∠=∠，得到ACD BNE ∠=∠，则ACD BNE ≅△△，推出2AC BN m ==．【详解】证明：（1）如图1，∵点()0,A m ，(),0B m ，()0,C m -，∴OA OB OC m ===，∵OB AC ⊥，∴AB BC =，∵∠AOB =∠AOC =90°，∴45BAC BCA ABO CBO ∠=∠=∠=∠=o ，∴90ABC ∠= ，∵AD BP ⊥，CE BP ⊥，∴90ABC D CEB ∠=∠=∠=o∴90ABD CBE ABD BAD ∠+∠=∠+∠=o ，∴=CBE BAD ∠∠，∴()ABD BCE AAS ≅V V ，∴AD BE =；（2）如图2，由（1）得ABD BCE ≅ ，∴AD BE =，∵3m =，点()3,0N -，∴3OA OB OC ON ====，∴6AC BN ==，∵=CBE BAD ∠∠，45BAC CBO ∠=∠=o ，∴BAD BAC CBE CBO ∠-∠=∠-∠，∴DAC EBN ∠=∠，又∵BE =AD ，AC =BN ，∴()DAC EBN SAS ≅△△∴ACD BNE ∠=∠，∵NGF CGO ∠=∠，∴90NFG COG ∠=∠=o ，∴CD EN ⊥；（3）如图3，由（1）得OA OB OC m ===，AB BC =，45BAC CBO ∠=∠=o ，90ABC ∠= ，∵AD BP ⊥，CE BP ⊥，∴90ABC ADB CEB ∠=∠=∠=o ，∵90ABD CBE ABD BAD ∠+∠=∠+∠=o ，∴=CBE BAD ∠∠，∴()ABD BCE AAS ≅V V ，∴AD BE =，∵BAC BAD CBO CBE ∠+∠=∠+∠，∴CAD NBE ∠=∠，∵EN CD ⊥,x 轴y ⊥轴，∴90NOH CFH ∠=∠=o ，∵OHN FHC ∠=∠，∴ACD BNE ∠=∠，∴()ACD BNE AAS ≅△△∴2AC BN m ==，∴点N 的坐标为(),0m -．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．7．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0，点B 为y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰Rt ABC ．(1)如图1，若3OB =，则点C 的坐标为______；(2)如图2，若4OB =，点D 为OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰Rt BDE △，连接AE ，求证：AE AB ⊥；(3)如图3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt OBF ．连接CF ，交y 轴于点P ，求线段BP 的长度．在△ABO 和△BCH 中，CHB AOB BCH ABO BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH （AAS ），∴CH =OB =3，BH =AO =4，∴OH =7，∴点C （3，7），故答案为：（3，7）；（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，∴∠EFD =∠BDE =∠BOD =90°，∴∠BDO +∠EDF =90°=∠BDO +∠DBO ，∴∠DBO =∠EDF ，在△BOD 和△DFE 中，BOD EFD DBO EDF BD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOD ≌△DFE （AAS ），∴BO =DF =4，OD =EF ，∵点A 的坐标为（4，0），∴OA =OB =4，∴∠BAO =45°，8．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．中，9．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC=+．∠=︒，AB ACBAC90=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE BD CE（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，10．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，ADB DEC B C AB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD ≌△DCE （AAS ）；（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE 的形状是等腰三角形；∵当∠BDA 的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE 的形状是等腰三角形．【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．11．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0）且a ，b 满足（a ﹣3）2+|a ﹣2b ﹣1|＝0（1）求A ，B 两点的坐标（2）已知△ABC 中AB =CB ，∠ABC ＝90°，求C 点的坐标（3）已知AB ，试探究在x 轴上是否存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图①所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图②所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）∵AM MN ⊥，⊥CN MN ，∴90AMB BNC ∠=∠=︒，∴90ABM BAM ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90ABM CBN Ð+Ð=°，∴BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB BNC AAS ≅△△，∴AM BN =，BM CN =，∵BN MB MN +=，∴MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：∵180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∵AMB ABC ∠=∠，∴MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AMB BNC AAS ≅△△，∴AM BN =，NC MB =，∵MN MB BN =+，∴MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN ∠=∠．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP S S S S S S S S =+=-++ ，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+ ,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．14．已知：CD 是经过∠BCA 的顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 是直线CD 上两点，∠BEC ＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，∠BCD ＞∠ACD ．①如图1，∠BCA ＝90°，∠α＝90°，写出BE ，EF ，AF 间的等量关系：．②如图2，∠α与∠BCA 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA 的数量关系．（2）如图3．若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①EF =BE -AF ；②∠α+∠BCA =180°，理由见解析；（2）不成立，EF =BE +AF ，证明见解析【分析】（1）①求出∠BEC =∠AFC =90°,∠CBE =∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE =CF ，CE =AF 即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC ,∠CBE =∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE =CF ，CE =AF 即可得出结论;（2）求出∠BEC =∠AFC ，∠CBE =∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE =CF ，CE =AF 即可得出结论．【详解】（1）①EF 、BE 、AF 的数量关系：EF =BE -AF ，证明：当α=90°时，∠BEC =∠CFA =90°，∵∠BCA =90°,∴∠BCE ＋∠ACF =90°,∵∠BCE ＋∠CBE =90°，∴∠ACF =∠CBE ，∵AC =BC ,∴△BCE ≌△CAF ,∴BE =CF ,CE =AF ,∵CF =CE ＋EF ,∴EF =CF -CE =BE -AF ；②∠α与∠BCA 关系：∠α+∠BCA =180°当∠α+∠BCA =180°时，①中结论仍然成立;理由是：如题图2，∵∠BEC =∠CFA =∠α,180CBE BCE BEC ∠+∠+∠=︒,∠α+∠ACB =180°,ACB CBE BCE∴∠=∠+∠又∵ACB ACF BCE∠=∠+∠∴∠CBE =∠ACF ,在△BCE 和△CAF 中BEC CFA CBE ACF BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF (AAS),∴BE =CF ,CE =AF ，∴EF =CF -CE =BE -AF ;故答案为:∠α+∠BCA =180°；（2）EF 、BE 、AF 的数量关系:EF =BE +AF ，理由如下∵∠BEC =∠CFA =∠α,∠α=∠BCA ,又∵∠EBC +∠BCE ＋∠BEC =180°,∠BCE ＋∠ACF +∠ACB =180°,∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE ＋∠ACF∴∠EBC =∠ACF，在△BEC 和△CFA 中EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CFA (AAS )∴AF =CE ，BE =CF∵EF =CE +CF ,∴EF =BE ＋AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE ≌△CAF 是解题的关键．15．通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．求证：BC AE =．[模型应用]如图2，AE AB ⊥且AE AB =，BC CD ⊥且BC CD =，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．[深入探究]如图3，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．若21BC =，12AF =，则ADG △的面积为_____________．【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈现]证明ABC DAE △≌△，根据全等三角形的对应边相等得到BC AE =；[模型应用]根据全等三角形的性质得到3AP BG ==，6,4AG EP CG DH ====，3CG BG ==，根据梯形的面积公式计算，得到答案；[深入探究]过点D 作DP AG ⊥于P ，过点E 作EQ AG ⊥交AG 的延长线于Q ，根据全等三角形的性质得到12,12,,DP AF EQ AF AP BF AQ CF ======，证明DPG EQG ≌，得到.PG GQ =，进而求出AG ，根2故答案为：50；[深入探究]过点D 作DP 由[模型呈现]可知，AFB ∴12,DP AF EQ ===。

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ==，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， ∵l BC ∥，∴45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴904545ABD ∠=︒−︒=︒，904545ACE ∠=−=︒︒︒，∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，∴sin 12AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 12AE CE AC EAC ==⨯∠==，∴2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE =+=+=，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ==，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， ∴155544CF AC AF =−=−=，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=F A，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠F AE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠F AE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC V 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED V ≌_______； ②如图2，ABC V 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE V ≌________； ③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−，∴DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD =，AD CE =， ∴DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，∴1150β∠=︒−，同理可得：230βα∠=︒+−；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+−=，解得30α=︒，则△ABP ∽△PCQ ；∴当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．∴当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒−=︒=，23052.5βαα∠=︒+−=︒=，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时，BDMN＝，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC V 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =求CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．BC=．点E是线段1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE V V ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM V 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =−，()142MN x =−．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =−，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =−，即有164y y −=，解得解方程即可求出DE ． (1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE V V ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC V 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====． ∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM V中，5AM =．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =−，∴()11422MN BF x ==−． ∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342xx =−，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． ∴1AF AB FB =−=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =−，∴164y y −=，解得3y =或3∵036<<，036<<，∴3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC V 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC V 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠； （2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ∠=︒，∵MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，∴90MPR NQR ∠=∠=︒，∴90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，∴PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE =，90ACE ∠=︒，∵EK BK ⊥∴90B EKC ∠=∠=︒，∴90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAC ECK ∠=∠，在ABC V 和CEK △中，BAC KCE B EKC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC CEK ≌△△，∴EK BC =，∵四边形CDGH 是正方形，∴CD CH =，90DCH ∠=︒∵HL BC ⊥，∴90B CLH ∠=∠=︒，∴90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒，∴DCB CHL ∠=∠，在DCB V 和CHL △中，B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DCB CHL ≌△△，∴BC HL =，EK LH =，（3）解：过E 作EM BC ⊥与M ，过H 作HN BC ⊥与N ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ∠=∠，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中，⎧⎪⎨3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式． (3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴NF OF NOOE ME MO==，∵点M（2，1），∴OE ，∵tanα＝ON＝3，∴NF课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝，∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x−5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D 在AB 的下方时，过D 作DE ⊥轴于E ，交BC 于F ,同（1）可证得△ADE ≌△DPF ，∴=AE =6-（2x -5）=11-2x ，DE =x,∴11-2x +x =8,∴x =3，∴D （3，1），当D 在AB 的上方时，如图，过D DE ⊥y 轴于E ，交BC 的延长线于F , 同（1）可证得ADE DPF △△≌，∴DF =AE =（2x -5）-6=2x -11，DE =x ，∴2∴19x =，∴1923,D ⎛⎫，综上述D 3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =−，证明过程见解析；(3)DE BE AD =−，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC V 中，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒， ∵AD MN ⊥，∴90ACD CAD ∠+∠=︒，∴BCE =∠∠CAD ，又∵AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=o ，∴()V V ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE =，DC BE =， ∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =−，理由如下：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ，∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =，CD BE =，∴DE CE CD AD BE =−=−；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =−，理由如下：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ，∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =，CD BE =，∴DE CD CE BE AD =−=−.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌． （3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ； （3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．∵DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，∴DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，∴BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ．∵∠1＝∠ABE ＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠3，∴∠4＝∠ABE ．∵∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠4，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）．（3）∵BED CFD BAC ∠=∠=∠∴∠ABE +∠BAE =∠F AC +∠BAE =∠F AC +∠ACF∴∠ABE =∠CAF ，∠BAE =∠ACF又AB AC =∴△ABE ≌△CAF ，∴ABE CAF S S =V V∴ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，∵2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在V ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在V ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在V ABC中，沿V ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE ＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC 与AI之间的数量关系：．∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD ∵∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，∴△ADB ∽△CEA ，∴BD AE =AB AC＝k ； （2）成立，证明如下：如图2，∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，∴∠DBA ＝∠CAE ，∵∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ∴△ADB ∽△CEA ，∴BD AE =AB AC＝k ； （3）①过点G 作GM ∥AE 交AI 的延长线于点M ，连接EM∵四边形AGFC 是矩形，∴∠GAC =90°又AH ⊥BC ∴∠AHC =90° ∴∠5+∠CAH =∠4+∠CAH =90°∴∠5=∠4∵∠BDE =∠AHB =90°∴∠2+∠BAH =∠1+∠BAH =90°∴∠2=∠1又GM ∥AE ∴∠3=∠2∴∠3=∠1∴△ABC ∽△GMA∴AC BC AB GA AM GM ==又∵12AB AC AE AG == ∴12AC BC AB AB GA AM GM AE ====∴GM =AE 又∵GM ∥AE ∴四边形AGME 是平行四边形 ∴EI =IG 故I 为EG 的中点；②由①知12BC AC AB AB AM AG GM AE ====∴BC =12AM ∵四边形AGME 是平行四边形∴AI =IM ∴AI =12AM ∴BC =AI∴线段BC 与AI 之间的数量关系为BC =AI 故答案为：BC =AI ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC V 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE V 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．）可知：AMC BNC ≌，CDE DAM DFN =∠=∠=a ，，∴32AF a =，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC P ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF V 与BGM V 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．综上所述，点E的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由. （2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y −==−，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=o ，180180BDE BED B α∴∠+∠=−∠=−o o ，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=−∠=−o o ，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠Q ，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆Q 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=o ，180120BDE BED B ∴∠+∠=−∠=o o ， 180120BDE BED B ∠+∠=−∠=o o Q ，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=o Q ，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =−=−Q ，8CF AC AF y =−=−，6CD BC BD =−=2886x x y y −∴==−，()()2868y x y x y x ⎧=−⎪∴⎨=−⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆Q 是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=o ，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=o ，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=−∠=o o ， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=o Q ，120DBE DCF ∴∠=∠=o ，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =−=−Q ，8CF AF AC y =−=−，10CD BC BD =+=，28810x x y y −∴==−，2(8)10(8)y x y x y x =−⎧∴⎨=−⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆Q .BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△． （1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线CD交于点()2,1M，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标()2,1 ∴2OE =，ME ∵3tan 2α= ∴32ON OM =解得：90∴△12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD 于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE ＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，。

中考数学复习一线三等角模型（含解析）1.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是()A.ACB.AFC.CFD.EF第1题图2.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC 的边长为()A.3B.4C.5D.6第2题图3.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且DB＝BE.若α＝120°，点F在直线l的上方，连接AF、BF、CF，△BEF为等边三角形，则可判断△ACF的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰或等边三角形D.无法确定第3题图4.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，则DE的长是________．第4题图5.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第5题图6.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是∠ACB内部一点，连接CD，作AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.若BE＝DE＝2，则△ACD的周长是________．第6题图7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°.(1)当∠BDA＝115°时，∠AED＝________°；(2)当CD＝________时，△ABD≌△DCE.第7题图8.已知，在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图①，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图②，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE＋DN；(3)如图③，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，MN＝2，MD＝3，求MG的长．第8题图微专题一线三等角模型1.D 【解析】∵∠ACE ＝∠B ＋∠CAB ＝∠ACF ＋∠ECF ，∠B ＝∠E ＝∠ACF ＝60°，∴∠ECF ＝∠CAB ，∵AB ＝CE ，∴△ABC ≌△CEF (ASA)，∴BC ＝EF .2.B 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB PC ＝BP CD ，即AB AB －2＝21，∴AB ＝4，即△ABC 的边长为4.3.B 【解析】∵△BEF 为等边三角形，∴BF ＝EF ，∠BFE ＝∠FBE ＝∠FEB ＝60°.∵∠DBE ＝120°，∴∠DBF ＝60°.∵∠DAB ＝∠DBE ＝α，∴∠ADB ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝180°－α.∴∠ADB ＝∠CBE .在△ADB 和△CBE DAB ＝∠BCEADB ＝∠CBE ＝BE，∴△ADB ≌△CBE (AAS)，∴∠ABD ＝∠CEB ，∴∠ABD ＋∠DBF＝∠CEB ＋∠FEB ，∴∠ABF ＝∠CEF .又∵AB ＝CE ，∴△AFB ≌△CFE (SAS)，∴AF ＝CF ，∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠BFC ＝∠CFE ＋∠BFC ＝60°，∴△ACF 为等边三角形．4.3【解析】如解图，延长AD 至点F ，∵∠BAC ＝∠BED ，∠BAC ＋∠ADC ＝180°，∴∠BAC ＝∠BED ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠ACD ＋∠DAC ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ，∴∠ACD ＝∠BAE ，∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠EBA ，∴△ACD ∽△BAE ，∴CD AE ＝AD BE，∵AE ＝1，BE ＝CD ＝2，∴AD ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝3.第4题解图5.54【解析】如解图，设AF 与EG 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∠FAB＋∠GAH ＝90°.∵AF ⊥EG ，∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴AG ＝AD －GD ＝5－1＝4，∴54＝BF 1，解得BF ＝54.第5题解图6.6＋25【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD.在△BCE和△CAD E＝∠ADC，EBC＝∠DCA，＝CA，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD＝2，∴AD＝BE＋DE＝4，由勾股定理得AC＝CD2＋AD2＝25，∴△ACD的周长为25＋2＋4＝6＋25.7.(1)65【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∴∠EDC＝180°－∠BDA －∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝25°＋40°＝65°；(2)2【解析】∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，当DC＝AB时，在△ABD和△DCE ADB＝∠DECB＝∠C＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE.8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠AFE＋∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG(AAS)；(2)证明：如解图①，延长NF，EA，交点记为点H，∴∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝90°.∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF，∴AH＝DN，FH＝FN.∵∠EFN＝90°，∴△HEN为等腰三角形，∴EH＝EN.∵EH ＝AE ＋AH ＝AE ＋DN ，∴EN ＝AE ＋DN ；第8题解图①(3)解：如解图②，过点G 作GP ⊥AD ，交AD 的延长线于点P ，连接DG ，∴∠P ＝90°，同(1)的方法得，△AEF ≌△PFG ，∴AF ＝PG ，AE ＝PF ，∵AE ＝AD ，∴PF ＝AD ，∴PF －FD ＝AD －FD ，∴PD ＝AF ，∴PG ＝PD .∴∠PDG ＝∠MDG ＝45°，在Rt △EFG 中，EF ＝FG ，∴∠FGE ＝45°，∴∠FGE ＝∠GDM .∵∠GMN ＝∠DMG ，∴△MGN ∽△MDG ，∴MG MD ＝MN MG，∴MG ＝MD ·MN ＝3×2＝ 6.第8题解图②。