推荐-大学量子力学复习 精品

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)(EtrpipAe《量子力学》复习 提纲

一、基本假设

1、（1）微观粒子状态的描述

（2）波函数具有什么样的特性

（3）波函数的统计解释

2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）

3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程

4、量子力学中力学量与算符之间的关系

5、自旋的基本假设

二、三个实验

1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章

2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章

3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章

三、证明

1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；

2、厄密算符的本征值为实数；

3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；

4、力学量算符的本征函数组成完全系；

5、量子力学测不准关系的证明；

6、常见力学量算符之间对易的证明；

7、泡利算符的形成。

四、表象

算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算

1、力学量、平均值、几率；

2、会解简单的薛定谔方程。

第一章 绪论

1、德布洛意假设：

德布洛意关系：

戴维孙-革末电子衍射实验的结果：

2、德布洛意平面波：

3、光的波动性和粒子性的实验证据：

4、光电效应：

5、康普顿散射：

附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性

（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性 ^.

nnnc1d2（全）**ijaxxaxxV或0,0,0)(jt),(222trVH)(,)(),(rertrntEinnnnnnEH（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋

第二章 波函数和薛定谔方程

1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：

若粒子的状态用tr,描写，dd2*表示在t时刻，空间r处体积元d内找到粒子的几率（设是归一化的）。

s

5如果算符、满足条件， 求证：，

，

证] 利用条件，以左乘之得

则有

最后得 。 再以左乘上式得

， 即

则有

最后得

7<10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。

解：

波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：

求归一化系数

最后，得Lz的本征函数

9

10在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

① 将式中的代换，得

② 利用，得

③ 比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演而得其对方，由①经反演，可得③，b5E2RGbCAP

④ 由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。

⑤

④乘⑤，得

可见，

当时，，具有偶宇称， 当时，，具有奇宇称， 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称

11一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：无关，是定态问题。其定态S—方程

在各区域的具体形式为 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③

由于(1>、(3>方程中，由于，要等式成立，必须

即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2>可变为 令，得

其解为④

根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得

⑤

⑥ ⑤ ⑥ ∴

由归一化条件

得 由

可见E是量子化的。 对应于的归一化的定态波函数为

12设t=0时，粒子的状态为

求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：

可见，动量的可能值为

动能的可能值为 对应的几率应为

上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得

∴

∴ 动量的平均值为

#

13 一维运动粒子的状态是

1 量子力学的基本假设

1、 微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性。

2、 力学量用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量P换为i。表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。

3、 将体系的状态波函数用算符Fˆ的本征函数展开（FFnnnˆ,ˆ）：

dccnnc，则在态中测量力学量F得到结果为n的几率是2nc，得到结果在d范围内的几率是dc2。

4、 体系的状态波函数满足薛定谔方程：

Htiˆ

5、 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。所谓全同性，是指无法确认两个物体之间的任何差别。在量子体系中，由于态的量子化，两个量子态要么全同，要么全不同，没有中间连续的过渡态。没有态的量子化，就谈不上全同性。反之，全同性又对自然界中的可能出现的量子态给与很严格的限制，即全同粒子系的量子态，对于两个粒子交换，要么是对成的，要么是反对称，二者必居其一。这种对称性导致统计性守恒。 2 矩阵力学与波动力学的关系

量子力学本身是在1923-1927年一段时间中建立起来的，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学几乎同时提出。

矩阵力学是在对波尔的旧量子论的批判中产生的。矩阵力学的创始人海森伯的观点是：任何物理理论只应讨论物理上可以观测的物理量，对于建立微观现象的正确理论，尤其要注意这点。他认为旧量子论中引用了一整套没有实验根据的概念，例如，电子轨道的概念，因为没有任何实验支持我们肯定电子有完全确定的轨道。事实上，也没有什么实验证据妨碍我们抛弃电子由精确的轨道的概念。

海森伯、波恩与约当的矩阵力学，从物理上可观测量，例如原子辐射的频率及强度出发，赋予每一个物理以一个矩阵，它们的代数运算规则与经典物理量不相同，遵守乘法不可对易的代数。量子体系得各力学量（矩阵）之间的关系（矩阵方程），形式上与经典力学相似，但运算规则不同。

2013级材料物理专业《量子力学》复习提纲

1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释________、_______、___________和___________等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。

2. 普朗克提出“ ____ ”（内容是什么？？?）的假设，解决了______问题；爱因斯坦在普朗克“ ______”假设的启发下，提出了“_______” （内容是什么？？?）的假设，成功解释了______现象。爱因斯坦的的光量子理论1924年被______（内容是什么？？?）证实，被物理学界接受。

3. 德布罗意在光的波粒二象性的启示下，提出一切微观粒子（原子、电子、质子等）也具有_____的假说，在一定条件下，表现出______，在另一些条件下体现出______。德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission）和革末（Germer）所做的______实验所证实。

4. 描述光的粒子性的能量E和动量P与描述其波动性的频率（或角频率）和波矢K由 Planck- Einstein方程联系起来，即：______ ； _________（其中的各物理量的意义？？？）。

5. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E和动量P，描述其波动性的物理量为频率（或角频率）和波长， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：_________（其中的各物理量的意义？？？）； __________（其中的各物理量的意义？？？）。

6. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用______来描述。描写具有动量p和能量E的自由粒子的波函数为：___________（其中的各物理量的意义？？？）。 7. 波函数在空间某点的强度，即__________，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是______，反映了微观粒子运动的统计规律。