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数学建模练习题

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《数学建模与实验》练习题

专题一 初等模型

1、如图，矿物局拟自地平面上A掘出一管道至地面下一点C。设AB长m600,BC长m240，地平面AB是粘土，掘进费用m/5元，地平面以下是岩石，掘进费用是m/13元。

（1）建立掘进费用的数学模型；

（2）采用什么掘法费用最省？

2、某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体（视上、下底为平面），上下底半径为r，高为h。若体积为V，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍。

（1）建立用料A的数学模型；

（2）试问当r与h之比是多少时，用料最少？

3、某大城市出租汽车行程不足km4，车费11元；行程不足km15，大于等于km4部分时，每公里车费5.1元；行程大于等于km15部分，每公里车费5.2元。计程器每km5.0计一次价。例如：当行驶路程x(km)满足5.1212x时，按km5.12计价；当135.12x时，按km13计价；途中因红灯等原因停车等候，等候的时间每min5.2计一次价，收费1元。例如：等候时间t(min)满足55.2t时，按min5.2计价；当5.75t时，按min5计价。

（1）建立出租车行驶收费的数学模型；

（2）若行驶km13，停车min4，应付多少车费？

（3）若行驶km28，停车min8，应付多少车费？

4、设某商店以每件10元的进价购进一批衬衫，并设此种商品的需求函数pQ280（其中，Q

为需求量，单位为件；p为销售价格，单位为元）。问该商店应将售价定为多少元卖出，才能获得最大利润？最大利润是多少？

5、某公司在生产中使用A和B两种原料，已知A和B两种原料分别使用x单位和y单位可生产U单位的产品，这里

226440328),(yxyxxyyxU，

并且A种原料每单位的价值为10美元，B种原料每单位的价值为4美元，产品每单位的价值为40美元，求：

（1） 生产公司利润的模型；

（2） 该公司的最大利润。

专题二 差分方程模型

1、某人年初时往银行存入2000元，银行的年利是9%，而且每年都从中取出W元。

（1）建立一个描述第n年时银行尚有多少存款的nX的数学模型；

（2）如果每年取出的钱数是：（a）W=200；（b）W=160，将是什么结果；

（3）如果想在5年后，银行帐户上还剩有一些钱，W的最大限额是多少？

2、某儿童星期一在学校传染上了流感，如果每个流感患儿每天都与两个健康儿童密切接触，并由此使流感蔓延。假设传染是在早上，两天后流感发作，患了病的儿童将呆在家里直至痊愈，痊愈后可获免疫力。令nI为第n天新患病的儿童数，nS为第n天带菌的儿童数，分别建立nI和nS的模型。若学校中学生总人数是401人，使用模型来预测到星期五早上时新患病的儿童数。

3、假如一对罕见的鸟每年可产卵4只，第2年这4个蛋可孵出雄雌各一的两对小鸟，小鸟中有50%在出生的当年夭折，但活下来的小鸟第2年之后就可以繁殖，同时每年1岁的鸟中有10%死去，2岁及以后的鸟中有20%会死去。利用对雌鸟按[幼鸟，1岁鸟，>1岁鸟]的分类，做出与假设相应的矩阵模型X。如果今年有6对2岁的鸟，那么：

（1）10年后鸟按年龄分类的状态如何？

（2）长此下去有何结果。

4、若生产增长速率每年是4%，nP表示第n年时的产量，做出描述产量模型的差分方程。若1990年时的产量是1千万吨，请估计：（1）什么时候产量可达到1千4百万吨；（2）什么时候其产量低于6百万吨。

5、某机器的折旧率是每年5%，建立一个描述其折旧值nV的差分方程，如果新购入时花了10000元，当它的折旧值仅为3000元时，机器将报废，计算：（1）5年后机器的价值；（2）机器使用年限。

专题三 微积分及微分方程模型

1、 一种新玩具第一天售出1000个，然后以固定速率增加。两个月后达到日销量3000个，到第4个月时达到峰值，然后开始下降，到第8个月时降至为零。对前两个月采用一个线性模型，之后采用二次模型，建立总销量)(tT随t月变化的模型。

2、 某城的人口密度（单位：人2/km）在半径kmr（101r）的范围内与半径r成反比，求：（a）根据此模型，求出城市的总人口，如果半径为1km处的人口密度是1000人2/km；

（b）如果居住在半径为r的地区的人口数与r成反比，模型该如何建立？

3、 人口的年龄分布可表示为：（1）)1()(220atNtN，at0；（2）bteNtN0)(，t0，其中a、b为参数。对以上每种模型求：

（1）总的人口数；

（2）人口的平均年龄；

（3）65岁以上人口占总人口的比例.

4、 某水渠剖面是长方形，宽是a，水深是b，假如水的流速取决于与渠侧面的距离x，即在侧面处流速为0，而在渠中间处流速最高为maxV，试求出下列二种模型流过水渠的体积流量（设流速与水深无关）：

（1）建立线性模型； （2）建立二次模型

5、 要做一个方形的窗户，玻璃四周要镶嵌木条，现在已知可用木条的长度是L，如何设计窗户的尺寸使木条够用，并可获得最大的光。

6、 设有一只兔子和一匹狼,兔子位于狼的正西100m处。假设兔子与狼同时发现对方,并开始了一场追逐。兔子往正北60m处的巢穴跑，而且狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍，问兔子能否安全回到巢穴？

7、 光线穿过水中被水吸收而导制光的强度的减弱，其速率与光线在水中那点处的强度（或亮度）成正比，如果在光行35m处光的强度减弱了%50，那么，在多少米处，光线被吸收了？

专题四 线性代数模型

1、 某大学六名学生A、B、C、D、E、F参加工程设计大赛。在评比中分成三部分，精度占30%，外形20%，设计技巧占50%，各部分的分值为从1到10这十个数，每人总分为每部分的权重与其分值乘积的和。学生A的三部分分值分别为8，7，9；学生B为8，6，10；学生C为6，8，10；学生D为9，10，7；学生E为10，10，6；学生F为8，7，8。试用矩阵运算排出他们的名次。

2、 一个配剂师组合四种甲、乙、丙、丁四种食物，使得含有78单位的维生素A，67单位的维生素B，146单位的维生素C，153单位的维生素D。以下表格给出了每种食物每千克的维生素含量，每顿饭中应有多少克的每种食物，才给出最好的答案。

甲 乙 丙 丁

A 3 2 2 6

B 2 3 5 0

C 8 6 4 7

D 5 5 8 6

3、 假设一个经济系统由三个部门组成，其投入产出如下表（货币单位为10万元）：

部门 I II III 最终产品 总产出

I 50 100 150 200 500

II 60 120 200 420 800

II 150 70 120 460 800

新创造价值 240 510 330

总投入 500 800 800

预测第II部门的最终产品增产品100时，各个部门分别增产多少产品。

4、 如果

81023316100M

试计算5M。

5、 假设每天：（1）在人体血液中的%6.2的铅经肾排出；（2）人体血液中的%1的铅进入各器官中；（3）人体血液中的%4的铅进入骨骼中；（4）器官中%2.1的铅进入到血液中；（5）进入器官的血液%8.1的铅经过毛发，指甲和汗排出。求：

（a）按铅在血液、器官、骨骼百分比的分布做出矩阵模型；

(b) 若某人摄入了100g铅，则（1）1天后铅的分布如何？（2）一个星期之后呢？

专题五 概率统计模型

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大学生数学建模练习题

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1 / 6 课题1. 计划生育政策调整对人口数量的影响

人口的数量和结构是影响我国经济和社会发展的重要因素。从20世纪70年代以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。经过30多年的努力，我国有效地控制了人口的增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。

针对我国老龄化比例不断提高等情况，2013年12月，第十二届全国人大常委会第六次会议表决通过了《关于调整完善生育政策的决议》，开放单独二胎政策。2015年10月，十八届五中全会决定，全面放开二胎政策。至此，实施了30多年的独生子女政策正式宣布终结。只要是合法的夫妻就享有生育二胎的权利，不再受“单独二孩”政策或“双独二孩”政策的限制。

收集数据，建立模型，根据已经出台的具体政策、独生子女人数、婚姻情况、生育意愿等分析和预测计划生育政策调整后对我国或某一个省、市、自治区人口数量变化的影响。

课题2. 学生下课时间调整对就餐压力的影响

山东科技大学现有在校生4万余人，目前能供学生就餐的餐厅只有三个：学者餐厅、学海餐厅、学苑餐厅，想必大家都有过在餐厅排队就餐以及找座难的经历，就餐人员流动情况决定着餐厅的总接纳量。同学们在下课后大都会第一时间奔向餐厅，这就使得本就人满为患的餐厅更加超负荷运转。如果同学们的下课时间不同，就餐时间自然不同，必然加快餐厅的人员流动，进而大大缓解餐厅的运转压力。

下面请你建立数学模型解决以下问题：

1. 选择合理的指标，构建评价体系，衡量目前我校餐厅的运转压力。

2. 以缓解餐厅运转压力为目标，合理设置不同教学楼的下课时间。

3. 试分析在你设置的各教学楼下课时间情况下，我校餐厅运转压力将发生的变化。（模型所需数据可自行调查也可进行程序仿真）

课题3. 麻疹模型的分析

本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家H. E. Soper2023小学备考资料——欢迎下载

数学建模练习试题

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1、放射性废料的处理问题

美国原⼦能委员会以往处理浓缩的放射性废料的⽅法，⼀直是把它们装⼊密封的圆桶⾥，然后扔到⽔深为90多⽶的海底。⽣

态学家和科学家们表⽰担⼼，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞⽽发⽣破裂，从⽽造成核污染。原⼦能委员会分辨说这是不可能

的。为此⼯程师们进⾏了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m 与海底相撞时，圆桶就可能发⽣碰裂。这样为避免圆桶

碰裂，需要计算⼀下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 ，体积为0.2058m3，海⽔密度为1035.713，如

果圆桶速度⼩于12.2 m就说明这种⽅法是安全可靠的，否则就要禁⽌使⽤这种⽅法来处理放射性废料。假设⽔的阻⼒与速度⼤

⼩成正⽐例，其正⽐例常数0.6。现要求建⽴合理的数学模型，解决如下实际问题：

1. 判断这种处理废料的⽅法是否合理?

2. ⼀般情况下，v⼤，k也⼤；v⼩，k也⼩。当v很⼤时，常⽤来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过

12.2 m，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)

鱼雷攻击问题

在⼀场战争中，甲⽅⼀潜艇在⼄⽅领海进⾏秘密侦察活动。当甲⽅潜艇位于⼄⽅⼀潜艇的正西100千⽶处，两⽅潜艇⼠兵同时

发现对⽅。甲⽅潜艇开始向正北60千⽶处的营地逃跑，在甲⽅潜艇开始逃跑的同时，⼄⽅潜艇发射了鱼雷进⾏追踪攻击。假

设甲⽅潜艇与⼄⽅鱼雷是在同⼀平⾯上进⾏运动。已知甲⽅潜艇和⼄⽅鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲⽅潜艇速度的两倍。

试建⽴合理的数学模型解决以下问题:

1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹；

2) 确定甲⽅潜艇能否安全的回到营地⽽不会被⼄⽅鱼雷击中

3、贷款买房问题

某居民买房向银⾏贷款6万元，利息为⽉利率1%，贷款期为25年，要求建⽴数学模型解决如下问题：

1) 问该居民每⽉应定额偿还多少钱？

2)假设此居民每⽉可节余700元，是否可以去买房?

4、养⽼保险问题

养⽼保险是保险中的⼀种重要险种，保险公司将提供不同的保险⽅案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。

数学建模习题

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1.1.线性规划题目

问题1：毛坯切割问题

用长度为500厘米的材料，分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求截出长度98厘米的毛坯1000

根，78厘米的毛坯2000根，问怎样去截，才能是所用的原材料最少，试建立数学模型。

问题2：进货收获问题

某商店你制定某种商品7－12月的进货、售货计划，已知商品仓库最大容量为1500件，6月底已经库存300件，

年底不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进和售出的价格如下表所示，若每件每月

库存费为0.5元，问各月进货，售货多少件，才能是净收益最多。试建立数学模型。 月 7 8 9 10 11 12

买进（元/件） 28 26 25 27 24 23

售出（元/件） 29 27 26 28 25 25

注意：实际情况可能会更复杂一些，比如每月可能售出的数量是有一定限制，价格也会有波动等等。

问题3：货船装货问题

某货船的载重量为12000吨，总容积为45000立方米，冷藏容积为3000立方米，可燃性指数的总和不得超过

7500，准备装6中货物，每种货物的单价、重量、体积和可燃性指数如下表： 货物 重量

（吨/件） 体积

（立方米/件） 可然性

指数 是否需

要冷藏 货物单价

（元/件）

A1 0.2 1.2 1 要 50

A2 0.5 2.3 2 不要 100

A3 0.5 3.0 4 不要 150

A4 0.12 4.5 1 要 200

A5 0.25 5.2 3 不要 250

A6 0.5 0.4 9 不要 200

问每种货物应各装多少件，才能是所装货物的总价值最高。试建立数学模型。

1.2.微分方程题目

问题1. 什么时候开始下雪？

早晨开始下雪，整天稳降不停。正午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为一常数。到下午2时它清

扫了两公里，到下午4时又清扫了1公里，问雪是什么时候开始下的？

问题2. 谁喝的咖啡热一些？

高二数学数学建模练习题及答案

高二数学数学建模练习题及答案

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一、简答题

1. 什么是数学建模？

数学建模是将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法进行分析、求解并得出相应结论的过程。它将数学知识与实际问题相结合，帮助我们理解问题的本质，预测和优化相关情况。

2. 数学建模的步骤有哪些？

数学建模通常包括以下步骤：

（1）问题的理解和描述：明确问题的背景、目标和限制条件，并对问题进行适当的简化和抽象。

（2）建立数学模型：将问题转化为数学表达式，建立合适的数学模型。

（3）模型的求解：利用数学方法对模型进行求解，得到定量的结果或结论。

（4）模型的验证和分析：对模型的结果进行检验，分析结果的合理性和可靠性。

（5）结果的解释与应用：解释模型结果，为实际问题提供有效的解决方案，并给出具体的应用建议。

3. 数学建模的意义是什么？ 数学建模在许多领域都具有重要意义：

（1）在科学研究中，数学建模可以帮助解决实际问题，推动科学发展。

（2）在工程技术中，数学建模可以优化设计，提高效率和质量。

（3）在经济管理中，数学建模可以帮助决策者制定合理的策略和政策。

（4）在社会科学中，数学建模可以辅助分析社会问题，提供决策依据。

（5）数学建模还培养了学生的创新思维和解决问题的能力。

4. 数学建模过程中需要的数学知识有哪些？

数学建模需要的数学知识包括但不限于：

（1）数学分析：微分方程、积分、极限等。

（2）线性代数：矩阵运算、特征值与特征向量等。

（3）概率与统计：概率分布、统计推断等。

（4）最优化理论：线性规划、非线性规划等。

（5）图论与网络优化：最短路径、最小生成树等。

二、应用题

1. 盒子问题 已知一长方体盒子的长为20cm，宽为15cm，高为10cm。现在要将一个边长为2cm的小正方体放入该盒子中，问最多可以放多少个小正方体？

解答：

盒子的体积为20 cm × 15 cm × 10 cm = 3000 cm³。

小正方体的体积为2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm³。