高考数学复习第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
第一节集__合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合 自然数集 正整数集 整数集
有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
2．集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 符号语言 记法
基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且存在x0∈B，x0∉A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意的x，x∉∅，∅⊆A ∅
3．集合的基本运算
表示
运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集 属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B}
A∪B 补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA
4．集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；
(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
(4)A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.
[小题体验]
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
答案：5
3．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.
解析：A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．
答案：{1,8}
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．
2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[小题纠偏]
1．(2019·浙江名校联考)已知∁RM＝{x|ln|x|＞1}，N＝y y＝1x，x＞0，则M∪N＝( )
A．(0，e] B．[－e，＋∞)
C．(－∞，－e]∪(0，＋∞) D．[－e，e]
解析：选B 由ln|x|＞1得|x|＞e，∴M＝[－e，e]．N＝(0，＋∞)，∴M∪N＝[－e，＋∞)．故选B. 2．若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可能取值组成的集合为________．
解析：当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A；若B≠∅，且满足B⊆A，如图所示，
则 m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即 m≥2，m≥－3，m≤3，所以2≤m≤3.故m＜2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．
答案：{m|m≤3}
3．已知集合A＝{0, x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．
解析：∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.
∴x＝－5或x＝1或x＝4.
若x＝1，则A＝{0, 2，－4}，满足条件；
若x＝4，则A＝{0, 5，－4}，满足条件；
若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．
所以x＝1或x＝4或－5.
答案：1或4或－5
考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．下列命题正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；
②(易错题)集合{}y|y＝x2－1与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；
③1，32，64，－12，0.5这些数组成的集合有5个元素；
④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.
2．已知a＞0，b∈R，若a，4，ba＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选B 由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a＞0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于( )
A.92 B.98
C．0 D．0或98
解析：选D 若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，
所以a的值为0或98.
4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4} ，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为________．
解析：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：
b
a 2 3 4
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
观察可得：M＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M中的元素个数为7.
答案：7
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
考点二 集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有( )
A．8个 B．4个 C．3个 D．2个
解析：选B 由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．
2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则a＝( )
A．－12或1 B．2或－1
C．－2或1或0 D．－12或1或0
解析：选D 集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}．当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－12；当x＝1时，a＝1；又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选D.
[由题悟法]
集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
[即时应用]
1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．29
解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．
解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m＞0时，
∵A＝{x|－1＜x＜3}．
当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，
∴ －m≥－1，m≤3，－m＜m.∴0＜m≤1.
综上所述m的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
考点三 集合的基本运算题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．
常见的命题角度有：
(1)集合的运算；
(2)利用集合运算求参数；
(3)新定义集合问题．
[题点全练]
角度一：集合的运算
1．(2018·北京高考)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：选A ∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，
B＝{－2,0,1,2}，
∴A∩B＝{0,1}．故选A.
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：选B ∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，
∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．
则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
角度二：利用集合运算求参数
3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．12 D．32
解析：选B 因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.
角度三：新定义集合问题
4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同
