二项式定理—解题技巧(老师用)

二项式定理

1．二项式定理：

011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

2．基本概念：

项数：共(1)r项

通项：1rnrrrnTCab展开式中的第1r项rnrrnCab叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：（令值法）

令1,,abx 0122(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnN

令1,,abx 0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnN

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0nnnCC，···1kknnCC

②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，

变形式1221rnnnnnnCCCC。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC

④各项的系数的和：nbxaxg.令x=1 g（1）

奇数项系数和：1121gg

偶数项系数和：1g-1g21

⑤二项式系数的最大项：如果n是偶数时，则中间项（第12n）的二项式系数项2nnC取得最大值。 如果n是奇数时，则中间两项（第21n.第23n项）系数项12nnC,12nnC同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别

为121,,,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来。

6．二项式定理的十一种考题的解法：

题型一：二项式定理的逆用；

例：12321666 .nnnnnnCCCC

解：012233(16)6666nnnnnnnnCCCCC与已知的有一些差距，

123211221666(666)6nnnnnnnnnnnCCCCCCC

0122111(6661)[(16)1](71)666nnnnnnnnCCCC

练：1231393 .nnnnnnCCCC

题型二：利用通项公式求nx的系数；

例：在二项式3241()nxx的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？

解：由条件知245nnC，即245nC，2900nn，解得9()10nn舍去或，由

2102110343411010()()rrrrrrrTCxxCx，由题意1023,643rrr解得，

则含有3x的项是第7项6336110210TCxx,系数为210。

练：求291()2xx展开式中9x的系数？

。

题型三：利用通项公式求常数项；

例：求二项式2101()2xx的展开式中的常数项？

解：52021021101011()()()22rrrrrrrTCxCxx，令52002r，得8r，所以88910145()2256TC

练：求二项式61(2)2xx的展开式中的常数项？

练：若21()nxx的二项展开式中第5项为常数项，则____.n

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式93()xx展开式中的有理项？

解：12719362199()()(1)rrrrrrrTCxxCx，令276rZ,(09r)得39rr或，

所以当3r时，2746r，334449(1)84TCxx，

当9r时，2736r，3933109(1)TCxx。

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

例：若2321()nxx展开式中偶数项系数和为256，求n.

解：设2321()nxx展开式中各项系数依次设为01,,,naaa

1x令,则有010,naaa①，1x令,则有0123(1)2,nnnaaaaa②

将①-②得：1352()2,naaa11352,naaa

有题意得，1822562n，9n。

练：若35211()nxx的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

题型六：最大系数，最大项；

练：在2()nab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即2112nnTT，也就是第1n项。

练：在31()2nxx的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？

解：只有第5项的二项式最大，则152n，即8n,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C

例：写出在7()ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347TCab的系数最小，43457TCab系数最大。

练：在10(12)x的展开式中系数最大的项是多少？

解：假设1rT项最大，1102rrrrTCx

111010111121010222(11)12(10)22,rrrrrrrrrrrrCCAArrAArrCC解得，化简得到6.37.3k，又010r，7r，展开式中系数最大的项为7777810215360.TCxx

题型七：含有三项变两项；

例：求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数？

2525(32)[(2)3]xxxx，2515(2)(3)rrrrTCxx，当且仅当1r时，1rT的展开式中才有x的一次项，此时124125(2)3rTTCxx，所以x得一次项为1445423CCx

它的系数为1445423240CC。

.

题型八：两个二项式相乘；

例：342(12)(1)xxx求展开式中的系数.

解：333(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC

444(1)C()C1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,nnnnnxxxmn的展开式的通项是其中

342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此

20022111122003434342(1)2(1)2(1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于.

练：610341(1)(1)xx求展开式中的常数项.

练：2*31(1)(),28,______.nxxxnNnnx已知的展开式中没有常数项且则

题型九：赋值法；

例：设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

272ps,则n等于多少？

解：若230121(3)nnnxaaxaxaxx，有01nPaaa，02nnnnSCC， 令1x得4nP，又272ps,即42272(217)(216)0nnnn解得216217()nn或舍去，4n.

练：若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

例：200912320092009120123200922009(12)(),222aaaxaaxaxaxaxxR若则的值为

解：2009200912120022009220091,0,2222222aaaaaaxaa令可得

20091202200901,1.222aaaxa在令可得因而

练：55432154321012345(2),____.xaxaxaxaxaxaaaaaa若则