2017-2018学年高中数学必修二人教B版练习：1.1空间几何体1.1.6 Word版含答案

一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由所给三视图及其直观图的关系，可以判定对应的几何体是四棱锥．答案：B2．(2010·课标全国卷)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()解析：通过主视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故左视图为D.答案：D3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图都不一定相同；④的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．答案：D4．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为()A．2,2 3 B．22， 2C．4,2 D．2,4解析：左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：D二、填空题5．如图所示的三视图代表的立体图形是________．解析：由三视图可知，立体图形是正六棱锥．答案：正六棱锥6．如图是由小正方体组成的几何图形的三视图，则组成它的小正方体的个数是________．解析：由三视图我们可以得出该几何体的直观图，如图所示．答案：57．如右图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1与面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影(即正投影)可能是________(要求：把可能的图的序号都填上)．解析：正方体的上下两面平行，因此四边形BFD1E在上下两面的射影相同，同理在前后、左右两面的射影也分别相同，只需画出其在前、左、下面的射影即可．先考虑四边形BFD1E在下面的射影：B的射影仍是B，F的射影是BC的中点F1，E 的射影是AD的中点E1，D1的射影是D，因此射影就是图②.同理，在前面的射影也是图②，而在左面的射影是一条线段，即图③.所以应填②③.答案：②③8．桌上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，说出下列三幅图分别是什么图(主视图，左视图或俯视图)(1)________；(2)________；(3)________．解析：由给出的两个几何体的结构特征，结合三幅图的视图特点，可得出结论．答案：(1)俯视图(2)主视图(3)左视图三、解答题9．(2011·湛江高一检测)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，求此三棱柱的左视图面积．解：据实物图及题意可作左视图如图：∴面积S＝2×(2sin60°)＝2 3.10．画出如图所示物体的三视图．解：此几何体是由两个圆柱镶嵌而成的，主视图反映两个圆柱的侧面；左视图反映上面圆柱的侧面和底面圆柱的底面；俯视图反映上面圆柱的底面和底面圆柱的侧面，其三视图如图所示．。

学习目标 1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图和三视图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系．1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．3．几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的表面积和体积的计算公式(2)求几何体体积常用技巧①等体积法；②割补法．4．平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线________．即如果直线a∥b，c∥b，那么________．(2)直线与平面平行的判定与性质(3)平面与平面平行的判定①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．②符号语言：a ⊂β，b ⊂β，________，a ∥α，b ∥α⇒β∥α. ③图形语言：如图所示．(4)平面与平面平行的性质定理①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ②符号语言：α∥β，α∩γ＝a ，______⇒a ∥b . ③图形语言：如图所示． ④作用：证明两直线平行． 5．垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的________________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条________________中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的________一条直线垂直． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . 性质2：如果两条直线________________________，那么这两条直线平行． (3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的________________，则这两个平面互相垂直． (4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在________________垂直于________________的直线垂直于另一个平面． 6．共面与异面直线(1)共面：空间中的________或________________，如果都在同一平面内，我们就说它们共面． (2)异面直线：既________又________的直线．类型一三视图与表面积及体积的计算例1(1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．5＋ 3 B．5＋2 3C．4＋2 2 D．4＋2 3(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.反思与感悟此类题目是先将三视图还原成几何体，计算几何体的体积时，对于不规则的几何体可利用割补法求体积．跟踪训练1(1)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．类型二空间中的平行问题例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.反思与感悟(1)判断线线平行的方法①利用定义：证明线线共面且无公共点．②利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线．③利用线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.④利用面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.⑤利用线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)判定线面平行的方法①利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法．②利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.③利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.(3)判定面面平行的方法①利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．②利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.③垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.跟踪训练2如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.类型三空间中的垂直关系例3如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．反思与感悟空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)．②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性)．②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)．③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)．④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)．⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．跟踪训练3如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体A－DEBC的体积V.1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A．2＋ 5 B．4＋ 5C．2＋2 5 D．52．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3．设有不同的直线m 、n 和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD上，则PQ ＝________.5.如图，在棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．2．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为答案精析知识梳理 4．(1)平行 a ∥c(2)不在一个平面 平面内 平行 l ⊄α l ∥m 平行 相交 两平面的交线平行 l ⊂β α∩β (3)②a ∩b ＝P (4)②β∩γ＝b5．(1)两条相交 平行直线 (2)任意 垂直于同一个平面 (3)一条垂线(4)一个平面内 它们交线 6．(1)几个点 几条直线 (2)不平行 不相交 题型探究例1 (1)A [如图所示，该几何体的表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋2×12×(1＋2)×1＋12×6×2＝5＋3，故选A.](2)83π 解析 由几何体的三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1m ，圆锥的高为1m ，圆柱的高为2m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3)．跟踪训练1 (1)193π解析 由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R 2＝(12)2＋(233)2＝1912(其中R为球的半径)，则球的表面积S ＝4πR 2＝4π×1912＝193π. (2)24解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，111ABC A B C V 棱柱－＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，111P A B C V 棱锥－＝13111A B C S ·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －P A 1C 1的体积为30－6＝24.例2 证明 (1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，四边形BEGO 为平行四边形．∴OB ∥GE .∵OB ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF .连接HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF .∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.跟踪训练2证明∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.例3(1)证明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC.∵GH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴GH∥平面BCD.同理，FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∵GF⊂平面FHG，∴GF∥平面BCD.(3)解 取线段AE 的中点R ，DC 的中点M ，DB 的中点S ，连接MS ，RS ，BR ，DR ，EM ，则MS 綊12BC . 又RE 綊12BC ， ∴MS 綊RE ，∴四边形MERS 是平行四边形，∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点，∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC ∩CD ＝C ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ∥RS ，∴RS ⊥平面BCD .∵RS ⊂平面BDR ，∴平面BDR ⊥平面DCB .跟踪训练3 (1)证明 如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH .因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以HG ∥BC ，HF ∥DE .又因为四边形ADEB 为正方形，所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB .所以HF ∥平面ABC ，HG ∥平面ABC .又因为GH ∩HF ＝H ，所以平面HGF ∥平面ABC .所以GF ∥平面ABC .(2)证明 因为四边形ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB .又因为平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，所以BE ⊥平面ABC ，所以BE ⊥AC .又因为CA 2＋CB 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为BE ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面BCE .又因为AC ⊂平面ACD ，从而平面EBC ⊥平面ACD .(3)解 取AB 的中点N ，连接CN ，因为AC ＝BC ，所以CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a . 又平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，所以CN ⊥平面ABED .因为C －ABED 是四棱锥，所以V C －ABED ＝13S ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3. 即几何体A －DEBC 的体积V ＝16a 3. 当堂训练1．C 2.B 3.D 4.223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a 3， 故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3. 5．证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ， EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .。

1.1.7 柱、锥、台和球的体积课后训练1．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )．A ．1∶3∶4B ．1∶3∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶22．正方体的内切球的体积为36π，则此正方体的表面积是( )．A ．216B ．72C ．108D ．6483．三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比为( )．A ．1∶1∶1B ．1∶1∶2C ．1∶2∶4D ．1∶4∶44．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．2π+．4π+C ．2π3+D ．4π3+ 5．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，32EF =，EF 与平面AC 的距离为2，则该多面体的体积是( )．A ．92B ．5C ．6D ．1526．某圆台的体积为52，上、下底面面积之比为1∶9，则截得该圆台的圆锥的体积为__________．7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.8．四面体ABCD 中，以A 为顶点的三条棱两两相互垂直，且其长分别为13，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为__________．9．正方形ABCD 的边长为1，分别取边BC ，CD 的中点E ，F ，连接AE ，EF ，AF ，以AE ，EF ，FA 为折痕，折叠这个正方形，使B ，C ，D 重合于一点P ，得到一个三棱锥如图所示，求此三棱锥的体积．10．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π，求此旋转体的体积．参考答案1. 答案：B 设球的半径为R ，则V 圆锥＝13πR 2(2R )＝23πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3. ∴V 锥∶V 柱∶V 球＝23∶2∶43＝1∶3∶2. 2. 答案：A3. 答案：C 由棱锥的体积公式即可推知选项C 正确．4. 答案：C 该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体．如图所示． 由题意知，圆柱的底面半径为1，高为2.2∴221π122π3V =⨯⨯+=+.5. 答案：D 如图所示，连接EB ，EC ，AC ，四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×32×2＝6.由于AB ＝2EF ，EF ∥AB ，∴S △EAB ＝2S △BEF ， ∴V F －EBC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC ＝12·12V E －ABCD ＝32. ∴V 多面体＝6＋32＝152.6. 答案：54 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则r ∶R ＝1∶3.设圆锥的高为h ′，圆台的高为h ，则13h h h '-='，∴23h h'=.而V 台＝13πh (r 2＋Rr ＋R 2)＝52， ∴222π1152393h R R R ⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭. ∴2π21352339h'R ⨯⨯=. ∴πR 2h ′＝528126⨯＝162. ∴V 锥＝13πR 2h ′＝13×162＝54. 7. 答案：4 设球的半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，得6r ·πr 2＝8πr 2＋3×43πr 3，解得r ＝4. 8. 答案：32π39. 答案：解：∵∠D ＝∠C ＝∠B ＝90°， ∴翻折后∠APE ＝∠EPF ＝∠APF ＝90°. ∴Rt △PEF 可以看作是三棱锥的底面， 而AP 可以看作是三棱锥的高．比较发现：AP ＝1，PE ⊥PF ，PE ＝PF ＝12， ∴V A －PEF ＝13S △PEF ·AP ＝111111322224⨯⨯⨯⨯=. 10. 答案：解：画出旋转体的轴截面如图所示，设BC ＝a ，则DC ，AE ＝a ，ED ＝2a ，AC ＝3a .S 表＝πa 2＋2πa ·2a ＋πa ＝(5π， ∴a ＝1，∴V ＝πa 2·2a ＋13a ·πa 2＝73πa 3＝73π.。

一、选择题1．空间两条互相平行的直线指的是() A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平面内的两条直线C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D．在同一平面内且没有公共点的两条直线答案：D2．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β为() A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：∵α与β两边对应平行，但方向不一定．∴α与β相等或互补．答案：D3．若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a，b的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．三种关系都有可能答案：D4．异面直线a、b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a、b的关系是() A．c与a、b都相交B．c与a、b都不相交C．c至多与a、b中的一条相交D．c至少与a、b中的一条相交解析：若c与a、b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．答案：D二、填空题5．已知E、F、G、H为空间中的四个点，且E、F、G、H不共面，则直线EF和GH 的位置关系是______．解析：假设平行或相交，则E、F、G、H共面，不正确．答案：异面6．四条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线________时，才是一个平面图形．解析：当两条对角线相交时，四个顶点在同一个平面内，是平面图形；当两条对角线不相交时，四个顶点不在同一个平面内，不是平面图形．答案：相交7．如图，夹在两平行平面间的两条线段AB 、CD 交于点O ，已知AO ＝4，BO ＝2，C＝9，则线段CO 、DO 的长分别为________、________.解析：∵AB 、CD 相交于O 点，∴AC 、BD 共面．又AC 与BD 不相交，∴AC ∥BD .∴CO DO ＝AO BO ，又DC ＝9，AO ＝4，BO ＝2，∴CO ＝6，DO ＝3.答案：6 38．如图，E ，F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 与BC 的中点，G 、H 分别是CD 与AD 上靠近D 点的三等分点．则EF 与GH 的位置关系是________．解析：连接AC ，在△ABC 中，EF 为△ABC 的中位线，所以EF 綊12AC ，在△DAC 中∵H ，G 分别为DA ，DC 的三等分点，∴HG 綊13AC ，∴EF ∥HG . 答案：平行三、解答题9．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 与C ′D ′的位置重合，G 、H 分别为AD ′和BC ′的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，∴EF ∥AB ，EF ∥DC ，且EF ＝12(AB ＋CD )， ∴C ′D ′∥EF ，∴C ′D ′∥AB ，∵G 、H 分别为AD ′、BC ′的中点，∴GH ∥AB 且GH ＝12(AB ＋C ′D ′) ＝12(AB ＋CD )， ∴GH 綊EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．10．如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23. (1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′；(2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．解：(1)证明：∵AA ′与BB ′相交于O 点，且AO OA ′＝BO OB ′.∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23. ∴S △ABC S △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.。