1
1 2
2 x 例 5.3.39 设 P n (x) 1 x
2! n
x
，X m 是P 2m 1( x) 0的实根,
n!
求证：x m 0，且 lim x m
。
m
证明(1)任意m N *，当x 0时，有P 2m 1(x) 0 ；
又 P 2m 1 (x) P 2m (x) 0，Em1(X )严格递增，
所以根唯一，
X m 0。
任意 x ( ,0)， lim F >(x) e x 0，所以 P 2m1(x)的根 X m
n
因为若m 时，F 2m 1(x) 0的根，X m 不趋向于
则存在M 0 ,使得(M ,0)中含有｛ X m ｝的一个无穷子列，从而存在收敛子列X m k
X 。，
( X 。 为某有限数X )
M )；
0 e M lim F 2m k 1( M) lim F 2叫 1 (X m k ) 0，矛盾。
K
K
(1)n
例、设a n ln(1
占)，讨论级数
a n 的收敛性。
n P
n 2
解显然当p 0时，级数 a n 发散;
n 2
判断无穷积分
1 .3 .
u| |u | ,| u |
6
2 1, 1 sin ,
3 1
1 “
r 1
1
3 ， x L 1， 6 X 6 X 解 根据不等式 |sin u
sin x 、 sin x i 得到 |sin( ) | x x sin(
sin x
)dx 的收敛
性。
x (sin (叱)^^)dx 绝对收敛，因而收敛,
x x )
；
从而“ 1
再根据 1 竺^dx 是条件收敛的，
x 丄 sin x sin x sin x sin x
由 sin( ) (sin( )
)
x x x x
可知积分
sin ( sinx )dx 收敛，且易知是是条件收敛
的。 x 当x 0且x 充分大时，有P 2m 1(x)
0,所以P 2m 1(X )
0的根X m 存在,
(2)
，(m )。
1
1 2
x ln(1 x)
1 lim
- x 0 1
1 X 2x
lim 1 丄
x 0
2 1 x
故此时 a n 条件收敛。
n 2
北京大学2007年数学分析考研试题及解答
1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。 命题：若f(x)在［a,b ］上连续，且f(a)f(b) 0 ,那么必然存在一点 (a,b)，
满足f( )
0。
采用反正法，若对于任意点 x (a,b)，有f(x) 0,那么显然对于任意 x ［a,b ］，仍然 有 f (x)
0。
由于f 的连续性，我们对于任意一点
x ［a,b ］，可以找到一个邻域 O x (x)，使得f(x)在
O x (x) ［a,b ］中保号，那么［a,b ］区间被以上形式的 O x (x)， x ［a,b ］开区间族所覆盖，
(1)
n 2p
(1)n n p
1时,
a
n
2 p
n
(n 充分大)
2
n 2p
(1)n n p
a n 收敛, a n a n
a n 收敛,
a n 绝对收敛;
n 2
(2)
p 1时,
1
2p
收敛,
胃收敛,
n p
(1)n n p
a n 收敛，从而
1)n
n p
a n )收敛, a n 收敛,
n 2
1
发散,
n 2
n p
(1)n n p
a n a n
((1)n a n
n
|a n |)发散, 所以
n 2
a n 发散，
1
⑶当
0 p
时，
1)n
d n p n 2 n
a n )发散, 而 <4^收敛，此时 p
n 2 n
n
a n 发散。
由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间
o (xj,o (x 2),...,0 (x n )就能覆盖闭区间
x 1
x 2
x n
[a,b]，再由覆盖定理的加强形式可得，存在 0,满足当 [a,b] , % y ?
时,
存在O x (X i ),O x (X 2),...,O x (X n )中的某个开集同时覆盖
y i ,y 2。那么我们就证明了当
1
2
n
即得f(x)在(a, b)上是有界的; 同理g(x)在(a,b)上也是有界的;
连续。
设 M 0，满足 f (x) M , g(x) M ， 那么由f(x),g(x)得一致连续性得到,
x Z
j
f(x) f (X) f (Z j ) f (Z j )
f (Z j )
max i i m i
f(Z )|
，
y i y 2
时，有 f (y i ), f (y 2)同号;
现取正整数m ，满足匕上
，令Z a
(b a)i
i 0,i,...,m ，那么我们有
，f (乙)与 f(z
i )同号，从而证明了
f(z o )与 f(Z m )同号，即 f (a)与 f (b)同
号，这与题目中的f (a)f(b)
0矛盾，证明完毕。 2、设
f(x), g(x)在有限区间
(a,b)内一致连续，证明:
f (x)g(x)也在(a,b)内一致连续。 证明 首先证明f(x),g(x)都在(a,b)上有界，因为
f (x)在有限区间(a,b)内一致连续,
从而存在i
0，满足当此 XiX (a,b)， x 1 x 2
i 时，有
f (x i )
f(X 2) i ,
现取正整数m ，满足丄2
m i
，令 Zi
(b a)i
a
， i i,2,..., m i ；
对任意x
(a,b)，存在 Z j ，使得
F 面证明，若f(x), g(x)在区间I 上有界,
且都一致连续，则
f(x)g(x)在区间I 上一致
对于任意
0，存在 0，使得当x, y I
x y 时，有
