北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法(1).ppt

∵ PD⊥AC,PD⊥BD,AC∩BD=D,∴ PD⊥平面 ABC.
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专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 2】 求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大. 证明:设圆和正方形的周长均为 l,则 圆的面积为 π 立, 即证 成立. 因此,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比正方 形的面积大.
2π 3
4π 3
+
+(4x-z2-2π)=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.
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【例题 1】 如图,已知两直线 l∩m=O,l⫋ α,m⫋ α,l⊈ β,m⊈ β,α∩β=a.求 证:l 与 m 中至少有一条与 β 相交.
思路分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证 法.
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专题二 分析法与综合法
分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综合法都 可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论 P.若由 Q 可以推出 P 成立,就可以证明结论成立.

• [答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab，∴2a＋abb≤1，∴a2＋abb ≤ ab
4．若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则在 a＋b,2 ab，a2＋b2 和 2ab 中最大的是________． • [答案] a＋b
[解析] 已知 a＋b＞2 ab，a2＋b2>2ab， 又 a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞0. 也可用特值法取 a＝12，b＝18，则 a＋b＝58，2 ab＝12，a2 ＋b2＝1674，2ab＝18，显见 a＋b 最大，故只能是填 a＋b.
寻找“结论”的______已__知条件．
• 分析法的推理过充程分也属于演绎推理，每一步推理都是严密的 逻辑推理．
6．分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”，从待证结论或需求问 题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条 件．若用___P______表示要证明的结论，则分析法的推理形式为 P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
这种证明方法叫做推综理合论法证
• 2．综合法的特点
• 从步“推已理知，是”由看“___________导可___知”__，__逐__步，推实向际上“是__寻__找_未__“知_”已知，其”逐的
________条件． 因
果
• 必用要综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为
营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且
• [答案] A
• [解析] 因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝ (b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性 定理知，选A.

②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特 殊属性,是一种从 特殊到 特殊的推理.
③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能. 问题3 归纳推理、类比推理的一般步骤
(1)归纳推理: ①通过观察个别情况发现某些相同的性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题( 猜想); 如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般 性命题就越可能为真.
【解析】在△DEF 中,由正弦定理得 d = e = f ,于是类比三角形中的正弦定理,在四
sinD sinE sinF
面体 S-ABC 中,猜想: S1 = S2 = S3 .
sin α1 sin α2 sin α3
导.学. .固 思
【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长
的又比在为R1t∶△2A,O则D 中它,们AO的=体1积-O比D2为= 11∶-8(. 3 )2= 6,
下面计算验证,
3
3
则 V假正设四面两体 A个BCD=正13S四△B面CD·体A的O=棱13×长43分×别36为=1212.和 2, 同理如,图可,算正得四棱面长体为AB2C的D 的正棱四长面为体的1,体取积BCV的正四中面体点A'BE'C,'D'=2 2.
导.学. .固 思
历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用 “螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用 水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷 纷认为:不可能制造出永动机.
导.学. .固 思
问题1 他们为什么认为不可能制造出永动机?
通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能 量守恒定律彻底说明永动机不可制造.
12345×9+6=111111

对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
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类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
3
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
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试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
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一、教学目标：1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实 例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理； （3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程； 体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结 论就越可靠。3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现 中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类 比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解 决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦； 体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生 学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。 二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 2 四、教学过程