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数学高中必修五解三角形经典题目

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解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1,,6313::sin:sin:sinsin:sin:sin::11:3:2.63222ABCBCABCabABC而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC中，已知c=2+6，C=30°，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°，c=2+6，∴由正弦定理得：26,sinsinsinsin30abcABC ∴ a=2(2+6)sinA,b=2(2+6)sinB=2(2+6)sin（150°-A）. ∴a+b=2(2+6)[sinA+sin(150°-A)]= 2(2+6)·2sin75°·cos(75°-A)= 226 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值226=8+43； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°, ∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞226 cos75°=226×624=2+6. 综合①②可得a+b的取值范围为(2+6,8+43> 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3

在△ABC中，2a·tanB=2b·tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：

22sinsin2Rsin2RsincoscosBAABBA,

sincossincos,AABB 即sin2sin2AB，2222ABAB或， 2ABAB或.

∴ABC为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】“在△ABC中，由sin2sin2AB得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或

∠A+∠B=2”的导出过程。 例4 在△ABC中，如果lglglgsinlg2acB，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。

解：2lgsinlg2,sin2BB. 又∵B为锐角，∴B=45°. 由2lglglg2,.2caca得

由正弦定理，得sin2sin2AC, ∵18045,AC代入上式得： 2sin2sin135CC

2sin135coscos135sinCC 2cos2sin,CC cos0,90,45.CCA ABC为等腰直角三角形。 考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式 例5 在△ABC中，求证2222220coscoscoscoscoscosabbccaABBCCA. 【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222abc，，转化为222sin,sin,sinABC. 证明：由正弦定理的变式a2sin,2sinRAbRB得： 2222224sin4sin=coscoscoscosabRARBABAB 2224[coscos]coscosRAB（1-A）-(1-B) 222(coscos)4(coscos)coscosBARBAAB 同理2222224(coscos),coscos4(coscos).coscosbcRCBBCcaRACCA 2=4(coscoscoscoscoscos)0RBACBAC左边右边等式成立。 【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证22cbab. 【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：180,180.ABCBCA 2,.CBCBB又 sin()sin(180)sin,BCAA 222222

222

4(sinsin)4(sinsin)(sinsin)42sincos2cossin22224sin()sin()4sinsin.cbRCBRCBCBBCCBBCCBRRCBCBRABab

右边等式成立.

【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。

,,,2222222.ABCABCABCABC（1）

(2)sin()sin,cos()cos,tan()tan.ABCABCABC

(3)sincos,cossin,tan22222cot.2ABCABCABC

(4)sin(22)sin2,cos(22)cos2,tan(22)tan2.ABCABCABC

考察点4：求三角形的面积 例7 在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若

252,,cos425BaC,求△ABC的面积S.

【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。

解：由题意25cos25B，得23cos2cos1,25BB ∴B为锐角，4372sin,sinsin()sin(),5410BABCB

由正弦定理得10,7c 111048sin2.22757SacB

【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，

,sin()sin,cos()cos;sin2ABABCABCABC

cos,cossin.222CABC 例8 已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC

的外接圆半径为12，且3C, 求△ABC的面积S的最大值。 【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。

解：11sin2sin2sinsin22ABCSabCRARBC

2233sinsin[cos()cos()]2RABRABAB

231[cos()].22RAB

cos()1,ABAB当即时， 2max3333()1441083.44ABCSR

【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。 考察点5：与正弦定理有关的综合问题 例9 已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足cotcotabaAbB求内角C 【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。 解法1： cotcot,2sinsinababaAbBRAB且（R为△ABC的外接圆半径）， sincoscossin,1sin21cos2.AABBAB cos2cos20AB sin2sin22cos()sin().cos()sin()0,cos()0sin()0.ABABABABABABAB又或 又∵A,B为三角形的内角，,2ABAB或 22ABC当时，； 当AB时，由已知得cot1,,.42AABC 综上可知，内角2C. 解法2： 由cotcotabaAbB及正弦定理得， sinsin=coscosABAB， sincoscossinAABB， 从而si4A 即sin()sin().44AB 又∵0＜A+B＜π，,44AB ,.22ABC 【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。 例10 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,cos4cos3AbBa，求a,b及△ABC的内切圆半径。 【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。

解：coscossin,=,coscossinAbABBaBA由可得

变形为sincossincos,sin2sin2AABBAB 又,22,,2abABAB ∴△ABC是直角三角形。

由2221043,abba解得6,8.ab 6810222abcABC的内切圆半径为r=

【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。 ------------------------------------------ 『易错疑难辨析』 易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解 【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。 例1

（1） 在△ABC中，23,6,30,;abAB求

（2） 在△ABC中，23,2,60,;abAB求 【错解】 （1） 由正弦定理得

sinsin303sin6,60223ABbBa

（2） 由正弦定理得sinsin601sin2,30150223ABbBa或 【点拨】（1）漏解，由3sin2B（0°＜B＜180°）可得60120B或因为b＞a,所以两解都存在。（2）增解。由1sin2B（0°＜B＜180°）可得30150B或，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以150B不符合条件，应舍去。 【正解】 （1）由正弦定理得sinsin303sin6.223ABba 又∵0°＜B＜180° 60120B或（经检验都符合题意） （2）由正弦定理得sinsin601sin2.223ABba 又∵0°＜B＜180°30150B或 ∵b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A， 150B不符合条件，应舍去，30B。 易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错 【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误。 例2 在△ABC中，若3,CB求cb的取值范围。 【错解】 由正弦定理得 sinsin3sin(2)=sinsinsincCBBBbBBB sincos2cossin2sinBBBBB 22cos22cos4cos1.BBB 220cos114cos13,03cBBb 【点拨】在上述解题过程中，得到了2=4cos1cBb后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的,,ABC均为正角这一条件。 【正解】 由正弦定理可知 sinsin3sin(2)=sinsinsincCBBBbBBB

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最新数学-高中必修五-解三角形-经典题目

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第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形 例1在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。

解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin:1 2.6322A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。

例2在ABC 中，已知，C=30°，求a+b 的取值范围。

【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。

解：∵C=30°，，∴由正弦定理得：sin sin sin a b c A B C === ∴)sin （150°-A ）.∴)[sinA+sin(150°)·2sin75°·cos(75°-A)=2cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值2；② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°,∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4. 综合①②可得a+b 的取值范围为,8+考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。

【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

(word完整版)高中数学必修5解三角形测试题及,文档

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高中数学必修 5 解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5 分，共 60 分〕1．在 VABC 中， AB 3, A 45 , C 75 ，那么 BC=A ．33B ．2 C ．2D ．332．以下关于正弦定理的表达或变形中错误 的是．．A ．在 VABC 中 ,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ． VABC 中 ,a=bsin2A=sin2B a =b+cC ． VABC 中,sinAsinB+sinCD ． VABC 中 , 正弦值较大的角所对的边也较大sin Acos B B 的值为 3． VABC 中 , 假设 a,那么bA ．30B ． 45C ． 60D ． 90ab c，那么 VABC 是4． 在VABC 中，假设 =cosCcosA cosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当 a=4,b=5,A= 30 时，三角形有一解。

B ．当 a=5,b=4,A= 60 时，三角形有两解。

（ A 〕（ B 〕（ B 〕〔 B 〕D ．等腰直角三角形（ D 〕C ．当 a= 3 ,b= 2 ,B= 120 时，三角形有一解。

D ．当 a=3 6 ,A= 60 时，三角形有一解。

2 ,b=26． ABC 中 ,a=1,b=3 , ∠A=30 °,那么∠ B 等于〔 B 〕A ． 60°B ． 60°或 120°C ． 30°或 150°D ． 120°7 ． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔D〕A ． a=1,b=2 ,c=3B ． a=1,b= 2 ,∠ A=30 °C ． a=1,b=2, ∠ A=100 °D ． b=c=1, ∠ B=45 °8 ． 假设 (a+b+c)(b+c－a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC是 〔B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， A=,a= 3 ,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3 －1(D)3uur10 ． 〔 2021 重庆理〕设ABC 的 三 个 内 角 A, B, C ， 向 量 m( 3 sin A,sin B) ，ruur r1 cos( AB) ，那么 C =〔n (cos B,3 cos A) ，假设 m gn C 〕A ．B ．2 5C ．D ．66 3 311．等腰 △ ABC 的腰为底的 2 倍，那么顶角 A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ． 3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图： D,C,B 三点在地面同素来线上 ,DC=a, 从 C,D 两点测得A 点仰角分别是β ,α (α <β ),那么 A 点离地面的高度 AB 等于〔 A 〕Aa sin sina sin sin A ．) B ．)sin(cos(a sin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBDC题号 123 4567891011 12答案二、填空题：〔每题 5 分，共 20 分〕13．a2 ，那么a b c _______2_______sin Asin Bsin A sin C14．在ABC 1 (a 2+b 2－ c 2),那么角∠ C=______.中，假设 S ABC =4415．〔广东 2021 理〕点 A, B, C 是圆 O 上的点， 且AB 4, ACB450 ，那么圆 O 的面积等于8．rrr rr r 16． a2, b4, a 与b 的夹角为3，以 a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 2 3 ________三、解答题：〔 17 题 10 分，其余小题均为 12 分〕17． 在ABC 中 ， c 2 ,b2 3 , B 450 ，解三角形 ABC 。

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点归纳及单元测试题

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点归纳及单元测试题

1.已知△ABC中, , , , 则等于（）A 4B2.△ABC中, , , , 则最短边的边长等...... .. ）AB C12D3.长为5.7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABC中, , 则△ABC一定......... .. ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.△ABC中, , , 则△ABC一定........... .. ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC中, ∠A=60°, a= , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定7.△ABC中, , , , 则等....... .. ）A 30B 60C 30或150D 60或1208.△ABC中, 若, , 则等于（）A 2B 1229.△ABC中, , 的平分线把三角形面积分成两部分, 则.. ）A 13B12C34D 010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度, 则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11.在△ABC中, 如果, 那么等于。

12.在△ABC中, 已知, , , 则边长。

13.在钝角△ABC中, 已知, , 则最大边的取值范围是。

14.三角形的一边长为14, 这条边所对的角为, 另两边之比为8：5, 则这个三角形的面积为。

15在△ABC中, 已知边c=10, 又知, 求边a、b 的长。

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1.三角形三角关系: A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2.三角形三边关系: a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系:sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4.正弦定理: 在 中, 、 、 分别为角 、 、 的对边, 为 的外接圆的半径, 则有 .5.正弦定理的变形公式:①化角为边: , , ；②化边为角： , , ；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6.两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边, 求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角, 求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式: . =2R2sinAsinBsinC= = =8、余弦定理：在 中, 有 , ,2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论: , , .10、余弦定理主要解决的问题:①已知两边和夹角, 求其余的量。

高中数学必修5解三角形面积相关精选题目(附答案)

高中数学必修5解三角形面积相关精选题目(附答案)

高中数学必修5解三角形面积相关精选题目（附答案）三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .题型一：三角形面积的计算1.(2017·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．2.△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 题型二：与三角形有关的综合问题（一）：与三角形面积有关的综合问题3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c . （二）：三角形中的最值问题4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．巩固练习：1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C.3D ．232．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78B.78C ．－87D.873．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．5.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．7．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A.3 B ．2 C ．23 D ．49．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 10．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .11.如图，在△ABC 中，已知B ＝π3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．(1)若AD ＝2，S △DAC ＝23，求DC 的长； (2)若AB ＝AD ，试求△ADC 的周长的最大值．参考答案：1.[解] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)． 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3. 2.解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.3.解：(1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13.(2)由于0<A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.4.解：(1)由题意可知 12ab sin C ＝34×2ab cos C . 所以tan C ＝ 3. 因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由(1)知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－A －π3 ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3⎝⎛⎭⎫0<A <2π3. 当A ＝π3时，即△ABC 为等边三角形时取等号，所以sin A ＋sin B 的最大值为 3. 巩固练习：1.解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2.解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3.解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4.解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.5.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.6.解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.7.解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.8.解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.9.解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.10.解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，即sin B ＝4(1－cos B )， 故17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.11.解：(1)∵S △DAC ＝23， ∴12·AD ·AC ·sin ∠DAC ＝23， ∴sin ∠DAC ＝12.∵∠DAC <∠BAC <π－π3＝2π3，∴∠DAC ＝π6.在△ADC 中，由余弦定理得 DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos π6，∴DC 2＝4＋48－2×2×43×32＝28， ∴DC ＝27.(2)∵AB ＝AD ，B ＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得 AD sin C ＝43sin2π3＝DCsin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， ∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫sin C ＋32cos C －12sin C ＋43 ＝8⎝⎛⎭⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＋43， ∵∠ADC ＝2π3，∴0<C <π3，∴π3<C ＋π3<2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，△ADC 的周长取得最大值，且最大值为8＋4 3.。