一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：
1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )
A ．
B ．
C
D ．2
2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．非钝角三角形
3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )
A ．无解
B ．只有一解
C ．有两解
D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里
A. 65
B. 35
C. 25
D.
5 5.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )
A ．90°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )
A. 100m
B. m
C. m
D. 200m
7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )
A ．1
B ．2
8.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )
B ．5 3
C ．6 3
D ．73
9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )
10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡
逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是
( )A ．5(6＋2) km B ．5(6－2) km
C ．10(6＋2) km
D ．10(6－2) km
11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )
A ．5 C ．7 D ．8
12.在ABC △中，角
A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，
若120,C c ∠=︒=，则（ ）
A ．a b >
B ．a b <
C ．a b =
D ．a 与b 的大小关系不能确定
二、填空题（共4小题，每小题5分）：
13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752
=--x x 的根，则此三角形的
面积是 。
14.△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三条边的对角，如果b ＝2a ，B ＝A ＋60°，那么A ＝__________.
15.在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sin A ：sin B ：sin C ＝________. 16.江岸边有一炮台高30
m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45︒和60︒，而且两
条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距 m ． 三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤)：
17．(本题满分10分)
在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．
(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝3b ，试判断△ABC 的形状．
18．(本题满分12分)
△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A .
(1)求
b a ； (2)若
c 2＝b 22，求B .
19．（本题满分12分）
锐角△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知4
12cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当2=a
，C A sin sin 2=时，求b 的长及△ABC 的面积．
21．（本题满分12分）
在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .
(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；(2)求y 的最大值．
22．（本题满分12分）
△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝
sin A ＋sin B cos A ＋cos B
，sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；
(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .
解三角形 参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：
2. C
第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：
°15. 11：9：7 16.103
三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤；)：
17．解:(1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，
由余弦定理，得cos B＝
a2＋c2－b2
2ac＝
bc＋c2
2ac＝
b＋c
2a＝
a
2b＝
sin A
2sin B，∴sin A＝2sin B cos B＝sin2B.则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.
(2)∵a＝3b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.又a2＋b2＝4b2＝c2.
故△ABC为直角三角形．
18．(1)由正弦定理，得a sin B＝b sin A，所以b sin2A＋b cos2A＝2a，所以
b
a
＝2.
(2)由余弦定理及c2＝b2＋3a2，得
()
13
cos
2
a
B
c
+
=.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2，所以cos2B＝
1
2
.
又cos B>0，故cos B＝
2
，∴B＝45°.
19．（1）因为2
1
cos212sin,0
42
C C C
π
=-=-<<，所以
10
sin
4
C=．
（2）当2,2sin sin
a A C
==时，由
sin sin
a c
A C
=，解得4
c=．
由2
1
cos22cos1
4
C C
=-=-，及0
2
C
π
<<得
6
cos
4
C=，
由2222cos
c a b ab C
=+-，得26120
b b
--=，
解得26
b=（负值舍去），sin15
2
ABC
S ab C
∆
==.
20．（1）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理得，
()
2
90040023020cos9030
S t t
=+-⨯⨯︒-︒
2
2
1
900600400900300
3
t t t
⎛⎫
=-+=-+
⎪
⎝⎭
，
故
1
3
t=时，
min
103
S=，
103
303
3
v==，
即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（2）设小艇与轮船在处相遇，
由题意可知()()()
22
2
203022030cos9030
vt t t
=+-⋅⋅⋅︒-︒，
化简得
2
2
2
40060013
900400675
4
v
t t t
⎛⎫
=-+=-+
⎪
⎝⎭
，
