人教版高中数学必修五《第一章 解三角形》单元测试

高二周末测试（一）第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一 选择题：（本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分。

在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1. 已知△ ABC 中， A 30o ， C 105o ， b 8 ，则等于 （）A 4B4 2C4 3D4 52. △ ABC 中， B 45o， C 60o，c1，则最短边的边长等于（）6613A3B2C 2D23. 长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( ) A 90 ° B 120 ° C 135° D 150°ab c4. △ABC 中， cos Acos BcosC ，则△ ABC 必定是（）A 直角三角形B钝角三角形 C等腰三角形D 等边三角形5. △ABC 中，B 60o ， b 2ac，则△ ABC 必定是（）A 锐角三角形B 钝角三角形 C等腰三角形D等边三角形6. △ ABC 中，∠ A=60°, a= 6 , b=4,那么知足条件的△ ABC ( )A 有 一个解B有两个解C无解D不可以确立7.△ABC 中， b8 ， c8 3 ，SV ABC16 3 ，则A 等于 （）A 30oB60oC30o 或 150oD60o 或 120oa b c8.△ ABC 中，若 A 60o， a 3 ，则 sin Asin B sin C 等于（）13A 2B 2C 3D 29. △ABC 中， A :B 1: 2，C 的均分线 CD 把三角形面积分红 3: 2 两部分，则 cosA （）A1B1 C3 D32410. 假如把直角三角形的三边都增添相同的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增添的长度决定11 在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B.米C. 200米D. 200米12海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C岛和 A 岛成75°的视角，则 B、C 间的距离是 ()海里海里 C. 56海里3海里第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.在△ABC中，假如 sin A :sin B :sin C 2:3: 4 ，那么 cosC 等于。

高中数学必修五《解三角形》单元测试（含答案）一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足() A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】 B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21 D．13【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】 D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.12B．1C．2 2 D．52 2【解析】S△ABC ＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.【答案】 D4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62D．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1，所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)， 整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.【答案】 D二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为 ．【解析】 画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】 解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S △＝12×3×5×45＝6(cm 2)．【答案】 68．(2021·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为 ．【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)．∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2.【证明】 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＋b 2＝5c 2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米【解析】 如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .设塔高AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝AB tan 30°＝3x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°，∴(3x )2＝x 2＋100＋10x ，解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒ sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝2114.【答案】21 144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。

高中数学必修五 解三角形 单元测试（内含答案）一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A. 【答案】 A二、填空题6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于 ．【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是 ．【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 ．【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－1 4三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1-2-14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D 相距2 km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．图1-2-14【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB ＝30(m)，∴BC ＝30(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900，∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0，所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A.【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( )A ．(5，5)B ．(1, 5)C ．(5，13)D ．(13，5) 【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13. 【答案】 C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝ .【解析】 由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．【解】 (1)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。

《解三角形》测评 JIESANJIAOXINGCEPING(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →的值为( ) A ．1 B.34C.32 D ．－323在△ABC 中，tan A ·sin 2B ＝tan B ·sin 2A ，那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4如图，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是( )A ．202米B ．203米C ．206米D ．402米5在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则∠B 为( ) A.π3 B.π6C.π3或2π3D.π6或5π66在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则最小角为…( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π127△ABC 中，A ，B 的对边分别为a ，b ，且A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定8如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 39钝角△ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为( ) A ．1,2,3 B ．2,3,4 C ．3,4,5 D ．4,5,610在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.12在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，∠C ＝120°，则sin A ＝___________.13三角形两条边长分别为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．14△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则∠C 的大小为________．15△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝52b ，∠A ＝2∠B ，则cos B 的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分9分)已知在△ABC 中，a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及面积S △ABC . 17(本小题满分10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求∠A 和tan B 的值．18(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，a ＋b ＝9，求c .19(本小题满分11分)(2009浙江省09届高三期末试题，文21)如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．参考答案1解析：这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一角的问题，可使用正弦定理，但注意解的情况．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝43sin30°4＝32.又b >a ，∴B >A ，因此角B 有两解，即B ＝60°或120°.答案：D2解析：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 〈AB →，AC →〉，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos 〈AB →，AC →〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋22－(10)22×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.答案：C3解析：判断三角形的形状，可从边考虑，也可从角思考．本题条件可化为sin B cos A ＝sin Acos B， 即sin2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝90°.本题也可化为边，由sin B cos A ＝sin Acos B ，得sin A sin B ＝cos B cos A ＝ab ，即a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ， 所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 答案：D4解析：先在△ADC 中，利用正弦定理，可求出AD ＝20(3＋1)， 又DB ＝DC ＝40，∠ADB ＝60°，在△ADB 中，由余弦定理，得AB ＝20 6. 答案：C5解析：由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入等式3a ＝2b sin A ，整理得sin B ＝32，∴∠B ＝π3或2π3. 答案：C6解析：由于c <b <a ，所以最小角为C ，根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6. 答案：B7解析：根据正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝4sin60°6＝2>1，所以无解．答案：C8解析：由正弦定理，得sin A ＝k ·sin60°12＝3k24.若△ABC 恰有一个，则BC ＝k <AC ＝12且sin A ＝3k 24<1，或sin A ＝3k24＝1. 解得0<k ≤12或k ＝8 3. 答案：D9解析：根据三角形任意两边和大于第三边，可排除答案A.又显然C 的结论构成的是直角三角形，所以C 不成立．因42>22＋32，而62<42＋52，故B 正确．答案：B10解析：把a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，于是sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .同理可得B ＝C ，C ＝A . 答案：B11解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，则根据正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.答案：10212解析：由余弦定理，得c 2＝52＋32－2×5×3cos120°＝49，∴c ＝7. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin C c ＝5·sin120°7＝57×32＝5314.答案：531413解析：由5x 2－7x －6＝0，得x 1＝－35，x 2＝2(舍去)．∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．答案：6 cm 214解析：由p ∥q 得，(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0. ∴a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .又∵0<∠C <π，∴∠C ＝π3.答案：π315解析：∵a ＝52b ，∠A ＝2∠B ，∴a sin A ＝b sin B ，52b sin2B ＝b sin B ，即52b 2sin B ·cos B ＝bsin B .∴cos B＝54. 答案：5416分析：本题已知三角形的两边和它们的夹角，所以可使用余弦定理，求出第三边b . 解：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2·33·2·(－32)＝49. ∴b ＝7，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×2×12＝323.17分析：要求∠A 的大小，由条件b 2＋c 2－bc ＝a 2知，可用余弦定理，而要求tan B 的值，利用条件c b ＝12＋3用正弦定理求解．解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因此∠A ＝60°，在△ABC 中，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝120°－∠B ，由正弦定理，得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin (120°－B )sin B ＝sin120°cos B －cos120°sin B sin B ＝32cot B ＋12，即32cot B ＝3，cot B ＝2，tan B＝12. 18分析：根据tan C ＝37，可以很容易求出cos C 的值，注意角范围的判断；根据CB →·CA →＝52及第(1)小题结论，可以利用向量的数量积，求出乘积ab 的值，再结合条件a ＋b ＝9，利用余弦定理，可以解得边c 的值．解：(1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C ＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab cos C ＝52.∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81.∴a 2＋b 2＝41. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36. ∴c ＝6.19分析：结合图示，搞清已知量与所求量，利用正、余弦定理先在△ABC 中求出∠ACB ，而所求角θ＝∠ACB ＋30°，这一点一定要搞清楚．解：如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°＝402＋202－2×40×20×(－12)＝2 800.∴BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝40×32207＝217.由∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，∴cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝202＋(207)2－4022×20×207＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB ·cos30°－sin ∠ACB ·sin30°＝277×32－217×12＝2114.。

解三角形 60第Ⅰ卷（选择题共分） 5分，只有一个选项正确）：一、选择题（共12小题，每小题ACBCABABC32) ＝＝( ＝451.在△°，中，若∠＝60°，∠，则32233．．．C DA．4 B2ABCBCACABCAB)，( ＝8，则△2.在△中，的形状是＝5，＝6 ．非钝角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形A．锐角三角形 B AbABCa)，＝1303.在△°，则此三角形中，已知11＝，( ＝20．只有一解 BC．有两解 D．解的个数不确定A．无解?A岛望C岛和B岛成60的视角，从B两个小岛相距4. 海上有A、B10海里，从A岛望C岛和?）海里视角，则B、C两岛的距离是（岛成75365525 D.B.C.A.5 ) ( 7、8的三角形中，最大角与最小角之和为35.边长为、°D．150 C．135° 120A．90° B．°，测，两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定的一点如图，设6.AAB C m502两点的距离的距离为后，就可以计算出，，，出BA?105?ACB?45???ACCAB( )为m200100m m1002503m B. C. A. D.222ABCABBabCABCA)( ，且满足＝4，则△的面积为sin在△7.中，已知sin＋sin－sinsin＝3 ．1B2 C.2 D.．A1CDCABCDBABBC)8.如图，四边形2中，＝，则该四边形的面积等于＝120°，，＝4( ＝＝3 3 B．5A.3C．63D．7B sin BCABCAAB，则 ) 9.在△中，＝＝120°，5＝，7( 的值为C sin3558 C.A. B. D.5583A°方向航行，进处出发，沿北偏东60某海上缉私小分队驾驶缉私艇以10.40 km/h的速度由ACBC处北，若船位于行海面巡逻，当行驶半小时到达处时，发现北偏西45°方向有一艘船CB)°方向上，则缉私艇偏东30 与船的距离是(2) km 65(B＋2) km ．5(6－A．－6C．10(＋2) km 62) km．D10(2BCABCA3) 的长等于( ＝11.△60的周长为20，面积为°，则10 ，8D．A．5 B.6 C．7cb,a,）12.，则（在中，角所对的边分别为，若a2c?,?C?120?CA、、B△ABC b?baa? BA．．bba?与的大小关系不能确定DC．．a90分）第Ⅱ卷（非选择题共分）：二、填空题（共4小题，每小题52的根，则此三角形的，它们夹角的余弦值是方程13.三角形的两边分别是和0?7x?5x6?35。

解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）： 1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23AC ＝()A ．3B ．22C 3D 32.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 1002mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．28.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )B ．5 3C ．6 3D ．739.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) km B ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为3，A ＝60°，则BC 的长等于()A ．5 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。

第一章解三角形单元检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cos B等于( )A.53B.54C.55D.562.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC= 10，则·AC→等于( )A．－32B．－23C.23D.323．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B. 5C．25或 5 D．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.9246．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且A ＝75°，则b等于( )A．2 B.6－ 2C．4－2 3 D．4＋2 38．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cos A＝78，则△ABC的面积S为( )A.152B.15C.8155D．6 39．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( ) A.21 B.106C.69D.15410．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π312．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3 C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 D ．6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝________. 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45. (1)求sin 2 B ＋C 2＋cos 2A 的值； (2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE..20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5 .(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．21．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．参考答案1-5 BACDC6-10 AAABC11-12 DD13. 0 14. π6 15. 1 16. 32≤a <3a 17.解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18.解 (1)sin 2 B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35. 由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13. 19.解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝AB sin ∠AEB ， 即AEsin 45°－15°＝2sin 90°＋15°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2 20.解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5 .由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12ac sin B＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.21.解(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C，又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin B sin C＝3 4，∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝3 4，即sin2B－sin B＋14＝0.解得sin B＝12.故sin C＝12.∴B＝C＝30°.所以，△ABC是等腰的钝角三角形．22.(1)证明∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，即a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。

32 专题：正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理应用的常见题型： ⑴ 已知两角与一边，解三角形，有一解。

⑵ 已知两边及其中一边的对角，解三角形， 可能有两解、一解或无解（如右图）。

⑶ 已知三边，解三角形，有一解。

⑷ 已知两边及夹角，解三角形，有一解。

|1.在厶 ABC 中，已知 A=30°, B=45°, a=1，贝U b=() A. .22..3B.3C.D.222.在厶ABC 中，已知 C= - , b=4, ABC 的面积为2・._3，则 3 c=() A. ,7 B.2 、.2C.2、、3D.273.已知在△ ABC 中，sinA : sinB : sinC=3 : 5 :7,那么这个三角形的最大角是（）A.90 °B.120°C.135°D.150o4.已知在△ABC中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、 C 的对边，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 那么 A=( A.30 °B.60°C.120°D.150o)5.在厶ABC 中，角 A ， B 的对边分别为B.6.在厶 ABC 中, 3 5a=、2 , b= . 3 , C.4 aa 、b 且A=2B sinB= ，则旦的值是（5 b85D. nA.— 6B. C. 7. △ ABC 的内角 A 、 A.1B.2C.8.在厶ABC 中，内角 2 A. 2B. 9.在厶ABC 中，角 1 A. 一B.3nB=—, 3 则A 等于（D.C 的对边分别是 a 、 b 、c ，右 B=2A, a=1, b= 3，则 c=（ D.1B C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若 bsinA- 3 acosB=0,且 b =ac ,贝UC.2D. 4A 、B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、 nc , sinC+sin(A-B)=3sin2B.若 C=—, 则-=() bC.D.3310. 在厶ABC中，如果a+c=2b, B=30°,^ ABC的面积为？，那么b等于( )21+ 3 2+ 3A. B. 1+ 3 C. D. 2+ 32 211. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别是a、b、c,且a= 5，b=3，c=2 . 2，则角A= .112. 在厶ABC中，内角A、B C所对的边分别是a、b、c已知b-c= —a，2sinB=3sinC，贝U cosA的值为____________413. 在厶ABC中，a、b、c 分别是角A B C 的对边，若a2-c 2=2b，且sinB=6cosA?sinC，贝U b= .2 2 214. 已知△ ABC的内角A、B C所对的边分别为a、b、c,若c <a +b +2abcos2C，贝U C的取值范围为15. 设_圧「的内角:-所对的边分别为.,且“一- • .■' o9(1)求的值；⑵求：i' I：的值;16. 在_把匚中，角1.「厂所对的边分别为..'「，且，「」’I： : ■ I -(1)求广.的值；(2)若』—［：,〉；-［,求二角形ABC的面积.B17. —•工二的内角的对边分别为“二…，已知二1一1三一」-二二.(I)求I：：：)J Ji ;(n)若n = f，二一上二的面积为】，求二.18. △三二中，角丄］打一所对的边分别为，: 'TI ■ (1)求r-;sin jd + sin.fi cos J4-HCOS⑵若△一匸1:-的面积-- ■：I ,求二匚参考答案1. 答案为：A；2. 答案为：C;3. 答案为：B;4. 答案为：B;5. 答案为：A;6. 答案为：B;7. 答案为：B;8. 答案为：C;9. 答案为：C;10. 答案为：B;11. 答案为：45 ° ;12. 答案为：-0.25 ;13. 答案为：3;n14. 答案为：(0,—);315. 解：⑴由込T希玄定理得，,+亠4諾口又十=6,解得—=3字与正弦走理得"上容十g所以sin （上一百）二sin ^cos B -cos 日sin 疗二耳*16. 解:(1)由已知及正弦罡理可得min厘亡凶C* +血Ccos^4 = 2 sin B亡心営丄由两角和的正菠公式得地〔丿十2沏Bees A由三角形的內角和可得血启二2血占匚oM因为sin 0,所^COSJ4=-2(2)由余弦定理得：弓6 =护斗J — 2尿x占=0 + u)" —3bc= 64—3b^ t\ be =£J由⑴知I+所以"《争字半17. 解:(1> 因为sin(^ + C) = sin(7T-^) = sin-5,siii3— = -~~ 』所sin.fi = 4(1- cos B).又因为或f?爲4"/F =1,所^16(1-002 5)2 + 00£25=1,展幵，得17COS3F-32COS5+15-04解得cosi = l 皓去》或co S5 = ^|<2> 由cos 5 = —j 得sin £ = J1- 匚;『E 故=—flesinS = —acY117 2 17又％= 则处=耳.由余弓玄定理51空+广=6」17 32得方2 二疋十百2 一2accos£= (a +c)2 - 2血(1 十ex 召)二36- 2x —x—二 4 ,所以占=2.18. 解:<、!—.. 严sin jl + sin 5 nri sin C sin + sin B(1)因为tanC =----------- ,即------ - ------------ ,cos J4+COS^匚os(7 cos」十cos 卫所以sinCcosj4 + sin Ceos B■= cosCsin^4+ cos C7sin 5』即sin Ceos J-cosCsin J!=COS C sin sin Ceos 5 j 得sin(C- ZJ = sin(3 - C). 所V.C-A = ^-C S或U-人=咒一(8-6(不成立).即2C = A^3t ^C = -7所以，占 +山=2" 3又因环H1 迢一QkwU 二，JDJ£-Z = y2 6 ⑵= —<se sin =亲七 -3+ 远?2 LI 冶去用上討5JTV2。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。

高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题(含答案)高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()A．75°B．60°C．45°D．30°3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76 B．219C．27 D．274．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π37．在△ABC 中，已知a ＝2b cos C ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( )A ．B >CB ．B ＝C C ．B <CD ．关系不确定8．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．在△ABC 中，cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,812．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a ＝________.14．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.15．在△ABC 中，已知CB ＝8，CA ＝5，△ABC 的面积为12，则cos2C ＝________.16．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m ，乙楼高为________m.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C－sin B sin C ＝12.(1)求A ；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．18．(12分)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．19．(12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cos C＝3 4.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．20．(12分)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．(1)若c＝5，求sin A的值；(2)若∠A是钝角，求c的取值范围．21．(12分)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60 °，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外两点间距离哪个相等，然后求B，D 的距离(计算结果精确到0.01 km，2＝1.414，6≈2.449)．22．(12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sin A.高中数学必修五第一章单元测试题《解三角形》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2ab cos CB.asin A＝bsin BC．a sin C＝c sin AD．cos B＝a2＋c2－b22abc答案 D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°答案 B解析由S△ABC＝33＝12×3×4sin C，得sin C＝32，又角C为锐角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于() A．76 B．219C．27 D．27答案 B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝76，所以b＝219. 4．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于() A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案 D解析由正弦定理，得asin A＝bsin B.所以sin B＝ba sin A＝434sin30°＝32.又a<b，则A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案 B解析a2＋ab＋b2>a，a2＋ab＋b2>b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－(a2＋b2＋ab)2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6 B.π3C.π2 D.2π3答案 B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.7．在△ABC中，已知a＝2b cos C，那么△ABC的内角B、C之间的关系是() A．B>C B．B＝CC．B<C D．关系不确定答案 B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形答案 B9．在△ABC中，cos A cos B>sin A sin B，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案 C 10．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定答案 D11．在△ABC 中，若A <B <C ，b ＝10，且a ＋c ＝2b ，C ＝2A ，则a 与c 的值分别为( )A ．8,10B ．10,10C ．8,12D ．12,8 答案 C解析 ∵C ＝2A ，∴sin C ＝sin2A ＝2sin A ·cos A .由正弦定理，余弦定理可得c ＝2a ·100＋c 2－a 22×10c， 将a ＝20－c 代入上式整理，得c 2－22c ＋120＝0，解得∴c ＝10(舍去)或c ＝12.∴a ＝8.12．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的周长是( )A ．3B ．6C ．3 6D ．9 6 答案 C解析 由已知得O 是△ABC 的重心，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·(OA →－OC →)＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥CA .同理，OA ⊥BC ，OC ⊥AB .∴△ABC 为等边三角形．故∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝2π3，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝ 2.在△AOB 中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 2π3＝6.∴AB＝6，故△ABC的周长是3 6.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________.答案4 2解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sin Asin B b＝sin30°sin45°×8＝4 2.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 答案 3解析在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．在△ABC中，已知CB＝8，CA＝5，△ABC的面积为12，则cos2C＝________.答案725解析由题意，得S＝12CA×CB sin C，则12＝12×5×8sin C.所以sin C＝35.则cos2C＝1－2sin2C＝725.16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m.答案203403 3解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20 m.。

（完整）新课标⼈教A版⾼中数学必修五第⼀章《解三⾓形》单元测试题解三⾓形第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题（共12⼩题，每⼩题5分，只有⼀个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23，则AC ＝( ) A ．43 B ．22 C ．3 D ．32.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．⾮钝⾓三⾓形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三⾓形( )A ．⽆解B ．只有⼀解C ．有两解D ．解的个数不确定4. 海上有A 、B 两个⼩岛相距10海⾥，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视⾓，从B 岛望C 岛和A岛成75ο视⾓，则B 、C 两岛的距离是（）海⾥A. 65B. 35C. 25D. 5 5.边长为3、7、8的三⾓形中，最⼤⾓与最⼩⾓之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，⼀测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的⼀点C ，测出AC 的距离为502m ，45ACB ∠=?，105CAB ∠=?后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 1002mD. 200mB ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的⾯积等于( )A. 3 B．5 3C．6 3 D．7 39.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.3510.某海上缉私⼩分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°⽅向航⾏，进⾏海⾯巡逻，当⾏驶半⼩时到达B处时，发现北偏西45°⽅向有⼀艘船C，若C船位于A处北偏东30°⽅向上，则缉私艇B与船C的距离是( )A．5(6＋2) km B．5(6－2) kmC．10(6＋2) km D．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，⾯积为A ＝60°，则BC 的长等于( ) A ．5 B.6 C ．7D ．812.在ABC △中，⾓A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=?=，则（） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的⼤⼩关系不能确定第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题5分）：13.三⾓形的两边分别是5和3，它们夹⾓的余弦值是⽅程06752=--x x 的根，则此三⾓形的⾯积是。

解三角形第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23，则AC ＝( ) A ．43 B ．22 C ．3 D ．32.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 5 5.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为502m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 1002mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B．5 3C．6 3 D．7 39.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是( )A．5(6＋2) km B．5(6－2) kmC．10(6＋2) km D．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( ) A ．5 B.6 C ．7D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（ ） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。

高中数学必修五解三角形单元测试（含答案）一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是() A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B 间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为()图1-2-11A．15 6 m B．20 6 mC．25 6 m D．30 6 m【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，P A＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h. ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsin C＝ACsin ∠ABC，∴AC＝AB·sin ∠ABCsin C＝1×2212＝2(千米)．【答案】 27．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是m.图1-2-12【解析】tan 30°＝CDAD，tan 75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球.图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， 即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373. ∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题 9．在△ABC 中，(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角． (2)b ＝6，c ＝2，B ＝60°，求a . 【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C ＝120°.(2)法一 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 60°6＝36＝22，∴C ＝45°或C ＝135°.∵b >c ，∴B >C ，又∵B ＝60°，∴C ＝45°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2， ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．72 【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B sin A ＝ba . ∵3a ＝2b ，∴b a ＝32. ∴sin B sin A ＝32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1 ＝92－1＝72. 【答案】 D2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A ．故选D.【答案】 D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，B ＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝3sin π4sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，B ＝π4，A ＝π6，知C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋624．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B . ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.。