变速变道问题属于行程中的综合题,用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法.对于这种分段变速问题,利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点.算术方法对于运动过程的把握非常细致,但必须一步一步来；折线图如此显得非常直观,每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细,只需要知道变速点就可以列出等量关系式,把大量的推理过程转化成了计算．行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进展求解,这种方法看似简单,其实也有很多技巧,使用公式不仅包括公式的原形,也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的,这就需要对公式非常熟悉,可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中,为了明确过程,常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程,重点在折返、相遇、追与的地点．另外在屡次相遇、追与问题中,画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值．更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件<如路程、速度、时间等>往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．模块一、变速问题【例 1】小红和小强同时从家里出发相向而行.小红每分走 52 米,小强每分走 70 米,二人在途中的 A 处相遇.假如小红提前 4 分出发,且速度不变,小强每分走 90 米,如此两人仍在 A 处相遇.小红和小强两人的家相距多少米？【例 2】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒,乙比原来速度减少 2 米／秒,结果都用 24 秒同时回到原地.求甲原来的速度.【例 3】<2008年日本小学算术奥林匹克大赛>上午8点整,甲从A地出发匀速去B地,8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变；8点30分,甲,乙两人同时到达各自的目的地．那么,乙从B地出发时是8点分．【例 4】〔难度等级※※※〕A、 B 两地相距 7200 米,甲、乙分别从 A, B 两地同时出发,结果在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍,那么两人可提前10分钟相遇,如此甲的速度是每分钟行多少米？【例 5】〔难度等级※※※〕甲、乙两车分别从 A, B 两地同时出发相向而行,6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A, B 两地同时出发相向而行,如此相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行 5 千米,如此相遇地点距 C 点16 千米．甲车原来每小时行多少千米？【巩固】〔难度等级※※※〕甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行,5 小时后相遇在 C 点.如果甲速度不变,乙每小时多行 4 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行,如此相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度不变,甲每小时多行 3 千米,且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行,如此相遇点 E距 C 点 5 千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？【例 6】A、 B 两地间有一座桥<桥的长度忽略不计>,甲、乙二人分别从两地同时出发,3 小时后在桥上相遇．如果甲加快速度,每小时多走 2 千米,而乙提前 0.5 小时出发,如此仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟 0.5 小时出发,乙每小时少走 2 千米,还会在桥上相遇．如此 A、 B 两地相距多少千米？【例 7】一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5 小时．假如出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的3/4前进,如此到达目的地仅晚1 小时,那么整个路程为多少公里？【例 8】王叔叔开车从到某某,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达；返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,于是提前1 小时 40 分到达．、某某两市间的路程是多少千米？【例 9】上午 8 点整,甲从 A地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变；8 点 30 分,甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分．【例 10】〔难度等级※※〕甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快.两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰.那么甲回到出发点共用多少小时？【例 11】小华以每小时8/3千米的速度登山,走到途中 A点后,他将速度改为每小时 2千米,在接下来的1小时中,他走到山顶,又立即下山,并走到 A点上方 500米的地方．如果他下山的速度是每小时 4千米,下山比上山少用了 52.5分钟．那么,他往返共走了多少千米？【例 12】〔难度等级※※※※〕甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行,5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发,如此差 13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前 1 小时出发,如此过中点37 千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？【例 13】甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进展10000米长跑比赛,两人从同一起跑线同时起跑,甲每分钟跑400米,乙每分钟跑360米,当甲比乙领先整整一圈时,两人同时加速,乙的速度比原来快14,甲每分钟比原来多跑18米,并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两人谁先到达终点？【例 14】环形场地的周长为1800米,甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行<甲速大于乙速>,12分钟后相遇．如果每人每分钟多走25米,如此相遇点与前次相差33米,求原来二人的速度．【例 15】王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟.因途中有2千米正在修路,只好推车步行,步行速度只有骑车速度的13,结果这天用了36分钟才到学校.从王刚家到学校有多少千米？【例 16】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行．出发时,甲,乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时,乙离开A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？【例 17】甲、乙往返于相距1000米的A,B两地．甲先从A地出发,6分钟后乙也从A地出发,并在距A 地600米的C地追上甲．乙到B地后立即原速向A地返回,甲到B地休息1分钟后加快速度向A地返回,并在C地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A地？【例 18】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地,小轿车到达乙地后立即返回,返回时速度提高50%.出发2小时后,小轿车与大货车第一次相遇,当大货车到达乙地时,小轿车刚好走到甲、乙两地的中点.小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？【例 19】甲、乙两地间平路占15,由甲地去往乙地,上山路千米数是下山路千米数的23,一辆汽车从甲地到乙地共行了10小时,这辆车行上山路的速度比平路慢20%,行下山路的速度比平路快20%,照这样计算,汽车从乙地回到甲地要行多长时间？【例 20】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的23．甲跑第二圈的速度比第一圈提高了13,乙跑第二圈的速度提高了15,沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米,问这条跑道长多少米？【例 21】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后甲比原来速度增加4米／秒,乙比原来速度减少4米／秒,结果都用25秒同时回到原地．求甲原来的速度．[巩固]从A村到B村必须经过C村,其中A村至C村为上坡路,C村至B村为下坡路,A村至B村的总路程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时,再从B村返回A村又用了1小时45分．自行车上、下坡时的速度分别保持不变,而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的路程与自行车上坡时的速度．【例 22】〔2008年"奥数网杯〞六年级〕欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里．早晨7:40,欢欢从家出发骑车去学校,7:46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知,欢欢立即调头,并将速度提高到原来的2倍,回家换好校服,再赶往学校；欢欢8:00赶到学校时,贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计,那么贝贝从家里出发时是点分．【例 23】甲、乙两人都要从A地到B地去,甲骑自行车,乙步行,速度为每分钟60米．乙比甲早出发20分钟,甲在距A地1920米的C处追上乙,两人继续向前,甲发现自己忘带东西,于是将速度提高到原来的1.5倍,马上返回A地去取,并在距离C处720米的D处遇上乙．甲到达A地后在A地停留了5分钟,再以停留前的速度骑往B地,结果甲、乙两人同时到达B地．A、B两地之间的距离是米．【例 24】小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．下坡的速度是平路的1.6倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【例 25】〔2003年"祖冲之杯〞小学数学邀请赛〕某校在400米环形跑道上进展1万米比赛,甲、乙两名运动员同时起跑后,乙的速度始终保持不变,开始时甲比乙慢,在第15分钟时甲加快速度,并保持这个速度不变,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙.在第23分钟时甲再次追上乙,而在23分50秒时甲到达终点.那么,乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【例 26】〔2003年迎春杯〕甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的2.5倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米,那么这条环形跑道的周长是米．【例 27】如以下图,甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步.跑道右半局部<粗线局部〕道路比拟泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米.两人一直跑下去,问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米.【例 28】〔2009年第七届"走进美妙的数学花园〞初赛六年级〕丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进展比赛,丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米,乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米,但乐乐带了一个神秘遥控器,按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟,按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟,以此类推,按第N次,使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的10%N 倒退1分钟,然后再按原来的速度继续前进,如果乐乐在比赛中最后获胜,他最少按次遥控器.【例 29】唐老鸭和米老鼠进展5000米赛跑．米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度是每分钟100米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器,每次使用都能使米老鼠进入"麻痹〞状态1分钟,1分钟后米老鼠就会恢复正常,遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用．米老鼠对"麻痹〞状态也在逐渐适应,第1次进入"麻痹〞状态时,米老鼠会完全停止,米老鼠第2次进入"麻痹〞状态时,就会有原速度5%的速度,而第3次就有原速度10%的速度……,第20次进入"麻痹〞状态时已有原速度95%的速度了,这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了．唐老鸭与米老鼠同时出发,如果唐老鸭要保证不败,它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器?【例 30】小周开车前往某会议中心,出发20分钟后,因为交通堵塞,中途延误了20分钟,为了按时到达会议中心,小周将车速提高了25%,小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？【例 31】〔2008年清华附中入学测试题〕如图,甲、乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,他们的速度之比为5:4,相遇于B地后,甲继续以原来的速度向C地前进,而乙如此立即调头返回,并且乙的速度比相遇前降低15,这样当乙回到C地时,甲恰好到达离C地18千米的D处,那么A、C两地之间的距离是__________千米.【例 32】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行,甲车速度为32千米/时,乙车速度为48千米/时,它们到达B地和A地后,甲车速度提高14,乙车速度减少16,它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米,那么A、B之间的距离是多少千米？【例 33】<2008年日本第12届小学算术奥林匹克初赛>上午8点整,甲从A地出发匀速去B地,8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变；8点30分,甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么,乙从B地出发时是8点分．【例 34】甲、乙往返于相距1000米的A,B两地．甲先从A地出发,6分钟后乙也从A地出发,并在距A 地600米的C地追上甲．乙到B地后立即原速向A地返回,甲到B地休息1分钟后加快速度向A地返回,并在C地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A地？【例 35】〔2005年"祖冲之杯〞小学数学邀请赛〕如以下图,有A、B、C、D四个游乐景点,在连接它们的三段等长的公路AB、BC、CD上,汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米.一辆大巴车从A景点出发驶向D景点,到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从D点出发,驶向B点.两车相遇在C景点,而当中巴到达B点时,大巴又回到了C点,大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶,大巴自身所具有的最高时速大于60千米,中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5%,求大巴客车的最高时速.【巩固】从甲市到乙市有一条公路,它分成三段．在第一段上,汽车速度是每小时40千米；在第二段上,汽车速度是每小时90千米；在第三段上,汽车速度是每小时50千米．己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍,现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后,在第二段从甲到乙方向的13处相遇．那么,甲、乙两市相距多少千米？【例 36】现在甲乙两辆车往返于相距20千米的A、B两地,甲车先从A地出发,9分钟后乙车也从A地出发,并且在距离A地5千米的C地追上甲车.乙车到B地之后立即向A地原速驶回,甲车到B地休息12分钟之后加快速度向A地返回,并在C地又将乙车追上.那么最后甲车比乙车提前多少分钟到A地？模块二、变道问题【例 37】〔2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动〕有一种机器人玩具装置,配备长、短不同的两条跑道,其中长跑道长400厘米,短跑道长300厘米,且有200厘米的公用跑道<如如下图>.机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动,机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动.如果甲、乙两个机器人同时从A点出发,那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时,机器人甲距离出发点A点多少厘米?【例 38】〔2007年首届全国资优生思维能力测试〕如如下图,甲从A出发,不断往返于AB之间行走.乙从C出发,沿C—E—F—D—C围绕矩形不断行走.甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,甲从背后第一次追上乙的地点离D点米.【例 39】如图,两个圆环形跑道,大圆环的周长为600米,小圆环的周长为400米.甲的速度为每秒6米,乙的速度为每秒4米.甲、乙二人同时由A点起跑,方向如以下图,甲沿大圆环跑一圈,就跑上小圆环,方向不变,沿小圆环跑一圈,又跑上大圆环,方向也不变；而乙只沿小圆环跑.问：甲、乙可能相遇的位置距离A点的路程是多少？<路程按甲跑的计算>。
