2019年山东省济南市历下区中考数学三模试卷

2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（ ）A．﹣2024B．2024C．D．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104 4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）A．26°B．30°C．36°D．56°5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣17．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）A．B．C．D．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）A．B．C．D．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）A．B．C．2≤n≤3D．1≤n≤3二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ ．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 °；（2）n＝ ，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙909521．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B 到墙面AD 的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 ，的值是 ．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（ ）A．﹣2024B．2024C．D．【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项C所示，故选：C．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：2900000＝2.9×106．故选：B．4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）A．26°B．30°C．36°D．56°【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝56°，再由三角形的外角性质即可求解．【解答】解：如图，由题意得：AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝56°，∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．故选：A．5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣1【分析】由题可知，a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，据此逐一判断各选项．【解答】解：由题可知，a+b＝0，∴a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，A、∵a＝﹣b，∴|a|＝|b|，故选项A不符合题意；B、∵a＜b，∴2a＜2b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故选项C不符合题意；D、∵a＝﹣b，a＜0＜1＜b，∴﹣b＜﹣1，∴a＜﹣1，故选项D符合题意；故选：D．7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】利用列表法或树状图法解答即可．【解答】解：画树状图如下：一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果，∴P（两人抽到汉字可以组成“朤朤”）＝＝，故选：B．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）A．B．C．D．【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为＝（m），内边缘的长为＝＝（m），∴弯道外边缘的长与内边缘的长的差为＝π（m），故选：B．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 【分析】先由AB＝AC，∠BAC＝108°得∠B＝∠C＝36°，由作图可知MN 为AC的垂直平分线，则AD＝CD，进而得∠DAC＝∠C＝36°，由此可求出∠BAD的度数，进而可对选项A进行判断；由MN为AC的垂直平分线得AC＝2AE，则AB＝2AE，证∠BAD＝∠BDA＝72°得AB＝BD，由此可对选项B进行判断；设CD＝x，CB＝a，则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，AC＝AB＝BC＝a﹣x，证△CDA和△CAB相似得CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得x2﹣3ax+a2＝0，由此解出，则，由此可对选项C 进行判断；由△CDA∽△CAB得CD：CA＝CA：CB，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝1/2（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣108°）＝36°，由作图可知：MN为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，故选项A正确，不符合题意；∵MN为AC的垂直平分线，∴AC＝2AE，∵AB＝AC，∴AB＝2AE，∵∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，∵∠BAD＝72°，∴∠BAD＝∠BDA＝72°，∴AB＝BD，∴BD＝2AE，故选项B正确，不符合题意；设CD＝x，CB＝a，则x＜a则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，∴AC＝AB＝BC＝a﹣x，∵∠DAC＝∠B＝36°，∠DCA＝∠ACB，∴△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得：x2﹣3ax+a2＝0，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴，∴，即，故选项C不正确，符合题意；∵△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，∴CA2＝CD•CB，故选项D正确，不符合题意．故选：C．10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y ＝2x +1图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．2≤n ≤3D ．1≤n ≤3【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点 （n ，﹣n ）和点（﹣n ，n ）时为临界情况，求出此时n 的值，由图象可得n 的取值范围．【解答】解：∵二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的顶点坐标为（n ，n 2﹣6），∴二次函数n 2﹣6的顶点在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，∵y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，∴二次函数二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象与以顶点坐标为（n ，n ），（n ，﹣n ），（﹣n ，n ），（﹣n ，﹣n ）的正方形有交点，如图，当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（﹣n ，n ） 时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝n ，解得：n ＝或n ＝﹣1（舍去），当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（n ，﹣n ） 时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝﹣n ，解得：n＝1，n＝﹣（舍去），由图可知，由图象可得n的取值范围是：1．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝　y（x﹣y）　．【分析】直接提取公因式y，进而得出答案．【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是　2（答案不唯一）　．（写出一个即可）【分析】根据分母不为0可得x+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，∴x的值可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．【解答】解：由题意，可知：黑色区域的面积＝圆面积的一半，∴P（最终停留在黑色区域）＝＝．故答案为：．14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为　8　．【分析】由图可知：图案的面积＝半圆CBF的面积+△ABC的面积﹣扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，∴BC＝＝4，∴S扇形ACB＝＝4π，S半圆CBF＝π×（2）2＝4π，S△ABC＝×4×4＝8；所以阴影面积＝S半圆CBF+S△ABC﹣S扇形ACB＝4π+8﹣4π＝8，故答案为：8．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．【分析】根据勾股定理得出BC＝8cm，进而利用直角三角形的性质得出BD＝5cm，进而利用勾股定理得出BE，进而解答即可．【解答】解；∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，∴BC＝（cm），∵点D为AC的中点，∴BD＝AC＝5cm，∵EB＝EC，∴BF＝BC＝4cm，DF＝（cm），设EF＝x，在Rt△EBF中，BE2＝EF2+BF2，∵EB⊥BD，在Rt△BED中，BE2＝ED2﹣BD2，即x2+42＝（x+3）2﹣52，解得：x＝，∴EF＝cm，故答案为：．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是　10　．【分析】过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF＝EH＝6，KE＝HD，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠C＝∠ADC＝90°，∵EH⊥AD，∴四边形CDHE为矩形，∴EH＝CD＝6，∵四边形DEFG为正方形，∴EF＝ED，∠FED＝90°．∴∠KEF+∠HED＝90°．∵FK⊥BE，∴∠KFE+∠KEF＝90°，∴∠KFE＝∠HED．在△KFE和△HED中，，∴△KFE≌△HED（AAS），∴KF＝EH＝6，KE＝HD．∵∠BAH＝∠AHE＝∠MKH＝90°，∴四边形AHKM为矩形，∴AH＝MK，AM＝HK，∠M＝90°，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，∴AM＝HK＝HE+EK＝14﹣x，MF＝KF+MK＝6+x，在Rt△AFM中，∵AM2+MF2＝AF2，∴AF＝＝，∵2（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，AF取得最小值为＝10．∴AF的最小值是10．故答案为：10．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．【解答】解：解不等式3（x+2）＞x+4得x＞﹣1，解不等式得，x＜3，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3．∴不等式组的整数解为0，1，2．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°．又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是　54　°；（2）n＝　20　，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是　85.5　分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙9095【分析】（1）根据E组的人数所占的百分比进行计算即可；（2）由笔试成绩D组的人数及所占的百分比可得n的值，即可补全图2中的频数分布直方图；（3）根据中位数的定义即可求解；（4）根据加权平均数的计算方法即可得出答案．【解答】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°，故答案为：54；（2）n＝9÷45%＝20，展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4，补全图2中的频数分布直方图：故答案为：20；（2）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5，故答案为：85.5；（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：甲同学的总成绩为＝90.2（分），乙同学的总成绩为＝93（分），93＞90.2，∴乙同学能获得“环保之星”称号．21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）【分析】过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而求出DG和FH的长，最后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，由题意得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，在Rt△ABG中，AB＝4m，∠BAG＝70°，∴AG＝AB•cos70°≈4×0.342＝1.368（m），BG＝AB•sin70°≈4×0.94＝3.76（m），∴BG＝DH＝3.76（m），∵AD＝3.5m，∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），∵DF＝2.76m，∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，∴CH＝FH•tan60°＝（m），∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），∴BC的长度约为0.40m．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠CAE+∠BAE＝90°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BAE+∠B＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠B＝∠CAE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D，从而利用等量代换可得∠D＝∠CAE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠ADE＝∠B＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得＝，从而可得AE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠D＝30°，最后在Rt△AEF 中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAE，∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠CAE；（2）解：∵∠ADE＝30°，∴∠ADE＝∠B＝30°，在Rt△ABE中，AE＝，∴BE＝＝＝3，∵点E是的中点，∴＝，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠D＝30°，在Rt△AEF中，EF＝AE•tan30°＝×＝1，∴BF＝BE﹣EF＝3﹣1＝2，∴BF的长为2．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，，解得：，答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；（2）设购进A种跳a件，总费用为w元，∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，则2a≤48﹣a，解得：a≤16，w＝25a+30（48﹣a）＝﹣5a+1440，∵﹣5＜0，∴w随a的增大而减小，当a＝16时，w有最小值为1360元，答：购买跳绳所需最少费用是1360元．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．【分析】（1）根据反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），得到k＝1×4＝4，于是得到反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得到F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，于是得到A（0，6）；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到OB＝OC＝3，求得B（（﹣3，0），得到直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得n＝＝2，∴F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，当x＝0时，y＝6，∴A（0，6）；（2）△OEF的面积＝△AOF的面积﹣△AOE的面积＝＝3；（3）在y＝﹣2x+6中，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0），∵AB＝AC，AO⊥BC，∴OB＝OC＝3，∴B（（﹣3，0），∴直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），∵MN∥x轴，∴2m+6＝，∴n＝，∴△OMN面积＝（n﹣m）×（2m+6）＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m+2＝﹣（m+）2+，∴△OMN面积的最大值为．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是　CF＝BE　，的值是　4　．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．【分析】（1）根据已知条件得出BD为AC垂直平分线，再根据相似三角形的判定得出△DFC∽△DEB，从而得出CF＝BE，最后根据HF+BE＝HF+CF＝HC＝AC，即可得出答案；（2）连接AC，BD交于O点，根据已知先得出四边形ABCD为菱形，得出∠BDC＝∠ADC＝30°，在等腰△DCB中，根据BD＝CD，得出＝，再根据DF＝DE，得出＝＝，再证出△DEB∽△DFC，得出HF+ BE＝HF+CF＝HC，∠HCB＝90°，在Rt△HCB中，再根据已知条件得出HC＝4，从而得出答案；（3）连接BD，交AC于O，交HC于，由（1）得出△ADC为等边三角形，得出AD＝CD＝AC＝4，再根据勾股定理得出OB和DO得的值，再根据△。

山东省淄博市淄川区金城中学2019年中考数学三模试卷（答案）一、单选题(★) 1 . 2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34100000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，则34100000用科学记数法可表示为（）A．0.341×108B．3.41×107C．3.41×108D．34.1×106(★) 2 . 若二次根式有意义，则x的取值范围是()A．x＞B．x≥C．x≤D．x≤5(★) 3 . 如图， OC是∠ AOB的平分线，若∠ BOC＝36°，则∠ AOB的度数为（）A．72°B．60°C．54°D．36°(★★) 4 . 二元一次方程组的解为( )A．B．C．D．(★) 5 . 我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三梭柱称为“堑堵”，已知“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个小正方形的边长均为1)，则该“堑堵”的体积为()A．B．C．D．16(★★) 6 . 下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形(★) 7 . 已知⊙ A的半径 AB长是5，点 C在 AB上，且 AC＝3，如果⊙ C与⊙ A有公共点，那么⊙ C的半径长 r的取值范围是（）A．r≥2B．r≤8C．2＜r＜8D．2≤r≤8(★★) 8 . 已知点 M（3，﹣2）， N（3，﹣1），则线段 MN与 x轴（）A．垂直B．平行C．相交D．不垂直(★) 9 . 将抛物线y＝﹣x 2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（）A．B．C．D．(★★) 10 . 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（）A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm(★★) 11 . 如图，在矩形 ABCD中， AD＝3， AB＝4，将△ ABC沿 CF折叠，点 B落在 AC上的点 E处，则等于（）A．B．C．D．2(★★) 12 . 函数与的图象如图所示，点 C是 y轴上的任意一点，直线 AB平行于 y轴，分别与两个函数图象交于点 A、 B，连结 AC、 BC．当 AB从左向右平移时，△ ABC的面积（）A．不变B．逐渐减小C．逐渐增大D．先增大后减小二、填空题(★) 13 . 如图所示：在中， AE边上的高是______．(★) 14 . 分解因式：3x 3﹣27x＝_____．(★★) 15 . 如图，在中，，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且，若，则的度数为______．(★) 16 . 某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．(★★★★) 17 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A 、在B左侧，与y轴交于点C，经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且，则点P的坐标是______．三、解答题(★) 18 . 解不等式组：并将解集在数轴上表示．(★) 19 . 如图，锐角△ABC中，AB＝8，AC＝5．（1）请用尺规作图法，作BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△ACD周长．(★★) 20 . 为积极创建全国文明城市，我市对某路口的行人交通违章情况进行了20天的调查，将所得的数据绘制成如下统计图（图2不完整）：请根据所给信息，解答下列问题：（1）第13天，这一路口的行人交通违章次数是；这20天中，行人交通违章7次的有天．（2）这20天中，行人交通违章6次的有天；请把图2中的频数直方图补充完整．（3）请你根据图2绘制一个扇形统计图，并求行人违章9次的天数在扇形统计图中所对的圆心角度数．(★★) 21 . 关于 x的一元二次方程 x 2﹣3 x+ k＝0有实数根．（1）求 k的取值范围；（2）如果 k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（ m﹣1） x 2+ x+ m﹣3＝0与方程 x 2﹣3 x+ k＝0有一个相同的根，求此时 m的值．(★★) 22 . 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，，求竹竿和的长(结果精确到).(参考数据：，，，).(★★★★) 23 . 已知：点E在线段AB上，．如图1，AB是的边，作交边AC于点F，连接求的值．如图2，AB是梯形ABCD的一腰，，且，作交边DC于点F，连接求的值．(★★★★★) 24 . 在平面直角坐标系 xOy中，对于两个点 P， Q和图形 W，如果在图形 W上存在点 M， N（ M， N可以重合）使得 PM＝ QN，那么称点 P与点 Q是图形 W的一对平衡点．（1）如图1，已知点 A（0，3）， B（2，3）．①设点 O与线段 AB上一点的距离为 d，则 d的最小值是，最大值是；②在 P 1（，0）， P 2（1，4）， P 3（﹣3，0）这三个点中，与点 O是线段 AB的一对平衡点的是（2）如图2，已知圆 O的半径为1，点 D的坐标为（5，0），若点 E（ x，2）在第一象限，且点 D与点 E是圆 O的一对平衡点，求 x的取值范围．（3）如图3，已知点 H（﹣3，0），以点 O为圆心， OH长为半径画弧交 x轴的正半轴于点 K，点 C（ a， b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且 OC＝5，圆 C是以点 C为圆心，半径为2的圆，若弧 HK上的任意两个点都是圆 C的一对平衡点，直接写出 b的取值范围．。

2019年济南市历下区第二次模拟考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 1．15的相反数是( ) A ．15 B ．一15C ．5D ．一52.加图，直线a ∥b ，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝( ) A ．35° B ．50° C ．60° D ．85°3.数据4402万用科学记数法表示正确的是( )A. 4.402×107B. 44.02×108C. 44.02×107D. 4.402×1084．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A ．平行四边形 B ．等腰三角形 C ．矩形 D ．正方形 5．下列各式中，计算正确的是( )A. 3x ＋5y ＝8xyB.x 6÷x 3＝x 2C ．x 3·x 5＝x 8D.(－x 3)3＝x 66．化简a ＋1a 2－a ÷a ＋1a 2－2a ＋1的结果是( )A ．a ＋1a B.aa －1 C.1a －1D. a －1a7．如图，有一直角三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝30°，将该直角三角形纸片沿DE 折叠，使点B 与点A 重合，DE ＝1，则BC 的长度为( ) A ．2 B ．3＋2 C.3 D ．238.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差9．某校准备在国庆节期间组织学生到泰山进行研学旅行，已知老师与学生一共25人参加此次研学旅行，购买门票共花费1700元，门票费用如表格所示，求参加研学旅行的老师和学生各有多少人？设老师有x 人，学生有y 人，则可列方程组为（ ）A ．⎩⎨⎧x ＋y ＝25100x ＋62.5y ＝1700B ．⎩⎨⎧x ＋y ＝2580x ＋50y ＝1700C ．⎩⎨⎧x ＋y ＝25100x ＋50y ＝1700D ．⎩⎨⎧x ＋y ＝2580x ＋62.5y ＝170010.如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A.πcmB.2πcmC. 3πcmD.5πcm11.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴是x ＝－1．下列结论：①ab ＞0；②b 2＞4ac ；③a －b ＋2c ＜0；④8a ＋c ＜0.其中正确的是( )A ．③④B ．①②③ C.①②④ D ．①②③④12.邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．已知一个矩形是2阶矩形，较短边长为2，则较长边的长度为( )A.6B.8 C．5或8 D．3或6二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）13.因式分解4m2－n2＝__________________；14＋(π－1)0＝__________________；15.在一个不透明的口袋中装有6个红球．2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为__________________；16．正六边形的中心角为__________________度；17.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠BAC的正切为__________________；18.在平面直角坐标系中，已知点A(0，－2)、B(0，3)，点C是x轴正半轴上的一点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为__________________；三、解答题（本大题共9个小题，共78分懈答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（本题满分6分）先化简，再求值：x(x一2）＋(x＋1)2，其中x＝－1．20.（本题满分6分）在平面直角坐标系中，直线，经过点A （－1,3）和点B （23，8），请问将直线l 延长线x 轴平移几个单位时，正好经过原点？21.（本题满分6分）已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE ＝CF ，EF ⊥DF . 求证：BF ＝C D.22.（本题满分8分）2019年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．23.（本题满分8分）在大课问活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：(1)频数分布表中a＝_________，b＝_________，并将统计图补充完整；(2)如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？(3)已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，请用树状图或列表法求出所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？24.（本题满分10分）如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.(1)求证：BG是⊙A的切线；(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．25.（本题满分10分）如图，一次函数y＝－33x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△AB C.(1)若点C 在反比例函数y ＝kx的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)点P (23，m )在第一象限，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，当△P AD 与△OAB 相似时，P 点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P 点坐标；如果不在，请加以说明.26.（本题满分12分）在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE . 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记ACBC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）27.（本题满分12分）已知直线y ＝2x ＋m 与抛物线y ＝ax 2＋ax ＋b 有一个公共点M (1，0)，且a ＜b . (1)求抛物线顶点Q 的坐标（用含a 的代数式表示）； (2)说明直线与抛物线有两个交点； (3)直线与抛物线的另一个交点记为N .①若－1≤a ≤一12，求线段MN 长度的取值范围；②求△QMN 面积的最小值．2019年九年级学业水平第二次模拟考试数学试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．）1.B2.B3.A4.B5.C6.D7.C8.D9.A 10.C 11.C 12.D 二、填空题(本大题共6个小题.每小题4分，共24分.)13.（2m +n ）（2m －n ） 14.3 15.16.60 17.2118.（6,0） 三、解答题(本大题共9个小题.共78分.) 19. （本题满分6分） 解：原式=x 2－2x +x 2+2x +1=2x 2+1……………………………………………………………………3分当x =－1时，原式=2×(－1)2+1=3. ………………………………………………………………6分 20. （本题满分6分）解：设直线l 的解析式为y =kx +b ……………………………………………1分 把点A （-1,3）和点B （，8）代入得+b =3+b =8解得： k =3b =6……………………………………………3分∴y =3x +6……………………………………………………4分 当y =0时，3x +6=0解得x =－2∴直线l 过点（－2,0）…………………………5分∴直线l 沿x 轴向右平移两个单位时，经过原点. …………………………6分 由（2）得 x ≤1 ……………………………………………………4分 得 -25＜x ≤1……………………………………………………5分 ∴x 可取的整数值是-2，-1，0，1. ……………………………………………………6分 21. （本题满分6分）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BFE+∠BEF=90°，……………………………………………………1分∵EF⊥DF，∴∠DFE=90°，即∠BFE+∠DFC=90°，……………………………………………………2分∴∠BEF=∠DFC. ……………………………………………………3分在△BEF与△CFD中，∠BEF=∠DFC，∠B=∠C，BE=CF，∴△BEF≌△CFD，……………………………………………………5分∴BF=CD.……………………………………………………6分22. （本题满分8分）解：设高铁列车的平均时速为x千米/小时，根据题意得……………………………………………………3分解得x=66……………………………………………………5分经检验，x=66不是增根，……………………………………………………6分∴原方程的解为x=66∴4x=66×4=264……………………………………………………7分答：高铁列车的平均时速为264千米/小时. ………………………………………………8分23. （本题满分8分）解：（1）a=0.3，b=4……………………………………………………3分（2）180(0.350.20)99⨯+=（人）……………………………………………………4分（3）甲乙1乙2甲1甲2甲3乙甲1甲2甲3乙甲1甲2甲3乙∵一共有12种等可能性，两人都是甲班学生的情况有3中∴31124p==……………………………………………………8分24. （本题满分10分）（1）∵DE∥AB∴∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED∵AD=AE∴∠AED=∠ADE∴∠BAD=∠GAB在△GAB和△DAB中AG=AD∠BAD=∠GABAB=AB∴△GAB≌△DAB……………………………………………………3分∴∠AGB =∠ADB……………………………………………………4分∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠AGB=90°……………………………………………………5分∴BG是⊙A的切线. ……………………………………………………6分（2）连接FD∵∠ACB=30°，∠ADC=90°∴∠CAD=60°∵AD=AE∴△ADE为等边三角形∴DE=AE=AF又∵DE∥AB∴四边形AFDE为菱形∴AE∥FD……………………………………………………8分∴S△AFD= S△EFD∴S阴影= S扇形AFD……………………………………………………9分∵∠F AD=60°，AD=3∴S阴影= S扇形AFD=……………………………………………………10分25. （本题满分10分）解：在中，令可解得，令可得，，，，，，，………………………………………………….……1分△是等边三角形，，，………………………………………………….……2分在△中，由勾股定理可得，，………………………………………………….……3分，，………………………………………………….……4分点C在反比例函数的图象上，，反比例函数解析式为；………………………………………………….……5分，在第一象限，，，当△∽△时，则有，即，解得，此时P点坐标为，………………………………………….……7分当△∽△时，则有，即，解得，此时P点坐标为，；………………………………………….……9分把，代入可得，，不在反比例函数图象上，把，代入反比例函数解析式得，，在反比例函数图象上；综上可知P点坐标为，．………………………………………….……10分26. （本题满分12分）,解：如图，，成立，理由如下：………………………………………….……1分过点P作于点M，，，，，点P是BF的中点，，………………………………………….……3分又，．………………………………………….……4分如图3，，成立，理由如下：………………………………………….……5分过点F作于点D，过点P作于点M，连接PD，， ，在△ 和△ 中，，△ ≌△ ，，………………………………………….……6分在△ 和△ 中，，△ ≌△ ，，………………………………………….……7分， ， ，，，点P 是BF 的中点，，又 ，，又 ，．………………………………………….……9分当k 为 时，△ 总是等边三角形． ………………………………………….……12分27. （本题满分12分）（1）∵M （1，0），∴b =-2a ，……………………………………………………1分∴y =ax 2+ax +b=ax 2+ax -2a=a (x +)2－ 1294a∴顶点Q 的坐标为（－，－）. ……………………………………………………3分 （2）由直线y =2x +m 经过点M （1，0），可得m =－2.∴y =2x -2∴ax 2+（a -2）x -2a +2=0∴△=（a -2）2－4×a ×（－2a +2）=（3a －2）2………………………………4分∵2a +b =0，a <b∴a <0……………………………………………………5分∴△>0……………………………………………………6分∴方程有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点. ……………………………………………………7分（3）把y =2x -2代入y =ax 2+ax -2a ，得ax 2+（a -2）x -2a +2=0，即x 2+(1- )x -2+=0， ∴（x -1）（x +2-）=0, 解得x 1=1,x 2 =-2， ∴点N （-2，-6）. ………………………………………8分 （i ）根据勾股定理得，MN 2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，………………………………………9分 ∵-1≤a ≤-， ∴-2≤≤-1， ∴<0， ∴MN（ ）， 1294a 2a 2a2a 2a2a 4a2a 4a 132a -121a132a -312a-a∴MN ≤……………………………………………………10分 （ii ）作直线x =－ 交直线y =2x -2于点E ， 把x =－代入y =2x -2得，y=-3， 即E （－，-3）， ∵M （1，0），N （-2，-6），且由（2）知a<0， ∴S△QMN =S △QEN +S △QEM =— = ，………11分即27a 2+(8S -54)a+24=0，∵关于a 的方程有实数根，∴△=（8S-54）2-4×27×24≥0，即（8S-54）2≥（ ）2，又∵a<0，∴S=> , ∴8S-54>0，∴8S-，即S≥， 当S=a=- 满足题意. ∴△QMN 面积的最小值为……………………………………………………12分1212122a 4a2732748a a --2732748a a --274274+27432742+。

2021年山东省济南市历下区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（4分）8的立方根是( ) A ．2B ．2-C ．2±D ．222．（4分）下列几何体的三视图中，左视图是圆的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）中国月球探测器嫦娥五号所带回来的月球样本“月壤”，重量达1731克，数据1731用科学记数法表示为( ) A ．217.3110⨯B ．31.73110⨯C ．173.110⨯D ．40.173110⨯4．（4分）如图，已知直线//a b ，把三角尺的顶点放在直线b 上．若142∠=︒，则2∠的度数为( )A ．138︒B ．132︒C ．128︒D ．122︒5．（4分）下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．6．（4分）若关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值是( ) A ．1B ．2C ．4D ．4±7．（4分）化简代数式2111x x x ---的结果是( ) A ．1B ．1x -C ．1x +D ．1x -8．（4分）永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是()日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 体温(C)︒36.236.236.536.336.236.436.3A ．36.3和36.2B ．36.2和36.3C ．36.2和36.2D ．36.2和36.19．（4分）已知点1(1,)y -，2(2,)y -，1(2，3)y 都在反比例函数2y x -=的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<10．（4分）如图，将周长为7的ABC ∆沿BC 方向平移2个单位得到DEF ∆，则四边形ABFD 的周长为( )A ．16B ．9C ．11D ．1211．（4分）如图，显示器的宽AB 为22厘米，支架CE 长14厘米，支架与显示器的夹角80BCE ∠=︒，支架与桌面的夹角30CED ∠=︒，CB 长为2厘米，则显示器顶端到桌面的距离AD 的长为( )(sin 200.3︒≈，cos 200.9︒≈，tan 200.4)︒≈A ．23厘米B ．24厘米C ．25厘米D ．26厘米12．（4分）将二次函数256y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线2y x b =+与这个新图象有4个交点，则b 的取值范围为( ) A ．73124b -<<- B ．7324b -<< C ．122b -<< D ．69124b -<<- 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：244a a -+= ．14．（4分）校运会九年级同学分别组建了红、蓝两支仪仗队，各队队员身高()cm 的平均数()x 与方差2()s 如表所示，则两支仪仗队中身高更整齐的是 队．红队 蓝队 x165 170 2s12.7510.4515．（4分）当x = 时，1x与31x +的值相等． 16．（4分）如果一个正多边形的一个内角是135︒，则这个正多边形是 ．17．（4分）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为 平方米．18．（4分）如图，在正方形ABCD 中，1AE D E ==，连接BE 、CE ，点F 是CE 的中点，连接DF 、BF ，点M 是BF 上一点，且2M F BM =，过点M 作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则NF 的长为 ．三、解答题（本大题共9个小题，共78分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算：10121|()(2021)2cos453π-++--︒．20．（6分）解不等式组：332(2)2134x x x x +>+⎧⎪-⎨-⎪⎩，并求出最大整数解． 21．（6分）已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BD ⊥于点E ，=．⊥于点F．求证：AE BFBF AC22．（8分）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）本次参与问卷调查的初中生共有人，将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为%，“较差”所对应的圆心角度数为度；（3）该校某班有4名同学(2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．23．（8分）如图，ABCACB∠=︒，BD是O的直径，点P是BD延长线∆内接于O，60上一点，且PA是O的切线，A是切点．（1）求证：AP AB=；（2）若5PD=，求阴影部分的面积．24．（10分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件文化衫的批发价和零售价如下表所示：批发价（元)零售价（元)黑色文化衫 10 25 白色文化衫820（1）若学校恰好用完预计的进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？ （2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点(1,0)A 、(0,)B m 都在直线2y x b =-+上，四边形ABCD 为平行四边形，点D 在x 轴上，3AD =，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点C ．（1）求出m 和k 的值；（2）将线段CD 向右平移n 个单位长度(0)n ，得到对应线段EF ，线段EF 和反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点M ．①在平移过程中，如图2，若点M 为线段EF 中点，连接AC 、CM ，求ACM ∆的面积； ②在平移过程中，如图3，连接AE 、AM ．若AEM ∆是直角三角形，请直接写出所有满足条件的n 的值．26．（12分）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60A ∠=︒，BD AC ⊥，交AC 于点D ，E 为AC 中点．（1）如图1，连接BE ，线段BE 和BD 的数量关系是 ；（2）如图2，点P 是线段BC 上动点，连接AP ，点F 是线段AP 的中点，作射线AM ，使MAC PAC ∠=∠，延长BF 交AM 于点G ，求AGB ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作BN AM ⊥，垂足为点N ，连接DN ，GE ，请判断线段DN 和GE 的数量关系，并说明理由．27．（12分）二次函数23y ax bx =+-的图象交x 轴于点(1,0)A -，点(3,0)B ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为点M ． （1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上的一点，设点P 的横坐标为(3)m m >，点Q 在对称轴上，且AQ PQ ⊥，若2AQ PQ =，请求出m 的值；（3）如图2，将抛物线绕x 轴正半轴上一点R 旋转180︒得到新抛物线1C 交x 轴于D 、E 两点，点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点D ．若3sin 5BME ∠=，求旋转中心点R 的坐标．2021年山东省济南市历下区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（4分）8的立方根是( ) A ．2B ．2-C ．2±D ．22【解答】解：2的立方等于8，8∴的立方根等于2．故选：A ．2．（4分）下列几何体的三视图中，左视图是圆的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．正方体的左视图是正方形，故本选项不合题意；B ．圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；C ．球的的左视图是圆，故本选项符合题意；D ．圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意．故选：C ．3．（4分）中国月球探测器嫦娥五号所带回来的月球样本“月壤”，重量达1731克，数据1731用科学记数法表示为( ) A ．217.3110⨯B ．31.73110⨯C ．173.110⨯D ．40.173110⨯【解答】解：数据1731用科学记数法表示为31.73110⨯． 故选：B ．4．（4分）如图，已知直线//a b ，把三角尺的顶点放在直线b 上．若142∠=︒，则2∠的度数为( )A ．138︒B ．132︒C ．128︒D ．122︒【解答】解：142∠=︒，3180190180429048∴∠=︒-∠-︒=︒-︒-︒=︒， //a b ，21803132∴∠=︒-∠=︒．故选：B ．5．（4分）下列城市地铁的标志图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．6．（4分）若关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值是( ) A ．1B ．2C ．4D ．4±【解答】解：方程240x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△2441640m m =-⨯=-=，解得：4m =． 故选：C ．7．（4分）化简代数式2111x x x ---的结果是( ) A ．1B ．1x -C ．1x +D ．1x -【解答】解：原式21(1)(1)111x x x x x x -+-===+--．故选：C ．8．（4分）永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是( )日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 体温(C)︒36.236.236.536.336.236.436.3A ．36.3和36.2B ．36.2和36.3C ．36.2和36.2D ．36.2和36.1【解答】解：将这组数据重新排列为36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5， 所以这组数据的众数为36.2，中位数为36.3， 故选：B ．9．（4分）已知点1(1,)y -，2(2,)y -，1(2，3)y 都在反比例函数2y x -=的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【解答】解：反比例函数2y x-=的20k =-<， ∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大．20-<，10-<，∴点1(1,)y -，2(2,)y -位于第二象限， 10y ∴>，20y >，120->-<，210y y ∴<<．20>，∴点1(2，3)y 位于第四象限，30y ∴<， 321y y y ∴<<．故选：D ．10．（4分）如图，将周长为7的ABC ∆沿BC 方向平移2个单位得到DEF ∆，则四边形ABFD 的周长为( )A ．16B ．9C ．11D ．12【解答】解：ABC ∆沿BC 方向平移2个单位得到DEF ∆，AC DF ∴=，2AD CF ==， ABC ∆的周长为7， 7AB BC AC ∴++=，∴四边形ABFD 的周长772211AB BF DF AD AB BC CF AC AD CF AD =+++=++++=++=++=．故选：C ．11．（4分）如图，显示器的宽AB 为22厘米，支架CE 长14厘米，支架与显示器的夹角80BCE ∠=︒，支架与桌面的夹角30CED ∠=︒，CB 长为2厘米，则显示器顶端到桌面的距离AD 的长为( )(sin 200.3︒≈，cos 200.9︒≈，tan 200.4)︒≈A ．23厘米B ．24厘米C ．25厘米D ．26厘米【解答】解：过点C 作CG DE ⊥于G ，作CF AD ⊥于F ，如图所示：则AD AF DF AF CG =+=+，30CED ∠=︒，支架CE 长14厘米，172CG CE ∴==厘米，AB 为22厘米，CB 长为2厘米，20AC ∴=厘米， 80BCE ∠=︒，18080100ACE ∴∠=︒-︒=︒，CF AD ⊥，//CF DE ∴，30ECF CED ∴∠=∠=︒，70ACF ∴∠=︒，20A ∴∠=︒，在Rt ACF ∆中，cos cos 20200.918AF AC A AC =⋅∠=⋅︒≈⨯=（厘米），18725AD AF DF AF CG ∴=+=+=+=（厘米），故选：C ．12．（4分）将二次函数256y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线2y x b =+与这个新图象有4个交点，则b 的取值范围为( )A ．73124b -<<-B ．7324b -<<C ．122b -<<D ．69124b -<<- 【解答】解：如图所示，过点B 的直线2y x b =+与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C 处相切，此时与新图象也有三个公共点，令2560y x x =--=，解得：1x =-或6，即点B 坐标(6,0)，将一次函数与二次函数表达式联立得：2562x x x b --=+，整理得：2760x x b ---=， △494(6)0b =---=，解得：734b =-， 当一次函数过点B 时，将点B 坐标代入：2y x b =+得：012b =+，解得：12b =-， 综上，直线2y x b =+与这个新图象有4个公共点，则b 的值为73124b -<<-；故选：A ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：244a a -+= 2(2)a - ．【解答】解：2244(2)a a a -+=-．14．（4分）校运会九年级同学分别组建了红、蓝两支仪仗队，各队队员身高()cm 的平均数()x 与方差2()s 如表所示，则两支仪仗队中身高更整齐的是 蓝 队．【解答】解：212.75S =红，210.45S =蓝， 22S S ∴>红蓝， ∴蓝队身高更整齐．故答案为蓝．15．（4分）当x = 12 时，1x与31x +的值相等． 【解答】解：根据题意得：131x x =+， 去分母得：13x x +=，解得：12x =， 经检验12x =是分式方程的解， 则12x =． 故答案为：12． 16．（4分）如果一个正多边形的一个内角是135︒，则这个正多边形是 正八边形 ．【解答】解：正多边形的一个内角是135︒，∴它的每一个外角为45︒．又因为多边形的外角和恒为360︒，360458︒÷︒=即该正多边形为正8边形．故答案为：正八边形．17．（4分）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为120平方米．【解答】解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为(2)x+米，依题意得：(222)(22)296x x+-⨯-⨯⨯=，整理得：26400x x--=，解得：14x=-（不合题意，舍去），210x=，(2)(102)10120x x∴+=+⨯=（平方米）．故答案为：120．18．（4分）如图，在正方形ABCD中，1AE D E==，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、BF，点M是BF上一点，且2M F BM=，过点M作MN BC⊥于点N，连接FN，则NF的长为2．【解答】解：过F作FH BC⊥于H，如图：正方形ABCD 中，1AE D E ==，2CD BC ∴==， F 是CE 的中点， ∴2CE CF=， DEC FCH ∠=∠，90EDC FHC ∠=∠=︒，CDE FHC ∴∆∆∽， ∴2DE CD CE CH FH CF===， 1FH ∴=，12CH =， 32BH ∴=， MN BC ⊥，90MNB FHB ∴∠=∠=︒，而MBN FBH ∠=∠，MBN FBH ∴∆∆∽， ∴BM BN BF BH=， 2M F BM =， ∴13BM BF =， ∴13BN BH =， 12BN ∴=， 1NH BH BN ∴=-=，Rt NFH ∆中，NF =三、解答题（本大题共9个小题，共78分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：1011|()(2021)2cos453π-++--︒．【解答】解：原式1312=++-131=++3=．20．（6分）解不等式组：332(2)2134x xx x+>+⎧⎪-⎨-⎪⎩，并求出最大整数解．【解答】解：()33222134x xx x⎧+>+⎪⎨--⎪⎩①②，由①得：1x>，由②得：6x，所以不等式解集为：16x<，最大整数解为：6．21．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE BD⊥于点E，BF AC⊥于点F．求证：AE BF=．【解答】证明：四边形ABCD是矩形，OA OB∴=，AE BD⊥于点E，BF AC⊥于点F90AEO BFO∴∠=∠=︒，AOE BOF∠=∠，在AEO∆与BFO∆中，90AEO BFOAOE BOFOA OB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO BFO AAS∴∆≅∆，AE BF∴=．22．（8分）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）本次参与问卷调查的初中生共有80人，将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为%，“较差”所对应的圆心角度数为度；（3）该校某班有4名同学(2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：1620%80÷=（人)，抽取的学生中良好的人数为：801624832---=（人)，将条形统计图补充完整如下：故答案为：80；（2）扇形统计图中“合格”所对应的百分比为：24100%30% 80⨯=；“较差”所对应的圆心角度数为83603680︒⨯=︒．故答案为：30，36；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为82 123=．23．（8分）如图，ABC∆内接于O，60ACB∠=︒，BD是O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是O的切线，A是切点．（1）求证：AP AB=；（2）若5PD=，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OA，AD，60ACB∠=︒，60ADB ACB∴∠=∠=︒，BD为O的直径，90BAD∴∠=︒，9030ABD ADB∴∠=︒-∠=︒，OB OA=，30OAB ABD∴∠=∠=︒，60AOP ABD OAB∴∠=∠+∠=︒，PA切O于A，90PAO∴∠=︒，9030P AOP∴∠=︒-∠=︒，即P ABD ∠=∠，AB AP ∴=；（2）解：过O 作OQ AB ⊥于Q ，90PAO ∠=︒，30P ∠=︒，2OP AO ∴=， 5PD =OA OD =，52OD OA ∴， 解得：5OA OD OB ==，在Rt BQO ∆中，90OQB ∠=︒，30ABO ∠=︒，152OQ OB ∴== 由勾股定理得：2222515(5)()2BQ OB OQ --， OA OB =，OQ AB ⊥， 152215AB BQ ∴=== 30ABO OAB ∠=∠=︒，1803030120AOB ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴阴影部分的面积2120(5)553151523AOB AOB S S S ππ∆⨯=-=-=扇形． 24．（10分）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子，每件文化衫的批发价和零售价如下表所示：批发价（元) 零售价（元) 黑色文化衫 1025（1）若学校恰好用完预计的进货款1240元，则应购进黑白两种文化衫各多少件？（2）若学校规定黑色文化衫的进货量不超过白色文化衫进货量的3倍，应怎样进货才能使学校在销售完这两种文化衫时获得的利润最多？利润最多为多少元？【解答】解：（1）设学校购进黑文化衫x 件，白文化衫(140)x -件，依题意，得：108(140)1240x x +-=，解得：60x =（件)1401406080x -=-=（件)，答：学校购进黑文化衫60件，白文化衫80件．（2）设学校购进黑文化衫a 件，白文化衫(140)a -件，获得利润y 元．由题意得：3(140)a a -，解得：105a ，则(2510)(140)(208)31680y a a a =-+--=+，y 是关于a 的一次函数，30>，y ∴随a 的增大而增大，当a 取最大值105时，y 有最大值，此时，14014010535a -=-=（件)，即购买黑文化衫105件，白文化衫35件获得利润最大，310516801995max y =⨯+=（元)．答：购买黑文化衫105件，白文化衫35件获得利润最大；利润最多为1995元．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点(1,0)A 、(0,)B m 都在直线2y x b =-+上，四边形ABCD 为平行四边形，点D 在x 轴上，3AD =，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点C ．（1）求出m 和k 的值；（2）将线段CD 向右平移n 个单位长度(0)n ，得到对应线段EF ，线段EF 和反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点M ． ①在平移过程中，如图2，若点M 为线段EF 中点，连接AC 、CM ，求ACM ∆的面积； ②在平移过程中，如图3，连接AE 、AM ．若AEM ∆是直角三角形，请直接写出所有满足条件的n 的值．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入直线表达式得：02b =-+，解得2b =， 故直线的表达式为22y x =-+，将点B 的坐标代入上式得：2m =，故点B 的坐标为(0,2)， 故点C 的坐标为(3,2)，将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：23k =，解得：6k =， 故反比例函数的表达式为6y x =， 故2m =，6k =；（2）①连接CE ，则CE DF =，平移时，点E 、F 的横坐标差1，故设点F 的坐标为(,0)x 、则点(1,2)E x -，则点M 的坐标为21(2x -，1)， 将点M 的坐标代入反比例函数表达式得：2162x -=，解得132x =， 故点E 、F 的坐标分别为11(2，2)、13(2，0)，则112AF =，52DF CE ==， 则ACM ∆的面积()1112.5 6.52 2.51 5.514222CEM AMF CEFA S S S ∆∆=--=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形；②当AEM ∠为直角时，即90AEF ∠=︒，设点E 的坐标为(,2)x ，则点(1,0)F x +，在Rt AEF ∆中，222AF AE EF =+，即22222(1)2(1)2x x x x =-+++-+，解得5x =， 故点F 的坐标为(6,0)，则642n =-=；当AME ∠为直角时，过点M 作MT x ⊥轴交于点T ，//AB EF ，AM EF ⊥，AB AM ∴⊥，90BAO MAT ∠+∠=︒，90MAT TAM ∠+∠=︒，ABO TAM ∴∠=∠，同理可得：M AT FM T ∠=∠，1tan tan 2ABO TAM ∴∠=∠=， 故设MT x =，则2AT x =，故点M 的坐标为(21,)x x +，将点M 的坐标代入反比例函数表达式得：(21)6x x +=，解得2x =-（舍去）或32， 故点M 的坐标为3(4,)2，则32MT =，3AT =， M AT FM T ∠=∠，tan tan MAT FMT ∴∠=∠，由点M 的坐标知，点(4,0)F n +，而点(4,0)T ，则FT n =，故2M T AT FT =⋅，即23()32n =⨯．解得34n =， 综上，2n =或34． 26．（12分）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60A ∠=︒，BD AC ⊥，交AC 于点D ，E 为AC 中点．（1）如图1，连接BE ，线段BE 和BD 的数量关系是 3BD = ； （2）如图2，点P 是线段BC 上动点，连接AP ，点F 是线段AP 的中点，作射线AM ，使MAC PAC∠=∠，延长BF交AM于点G，求AGB∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作BN AM⊥，垂足为点N，连接DN，GE，请判断线段DN和GE的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）90ABC∠=︒，60A∠=︒，E为AC中点，BE AE∴=，ABE∴∆是等边三角形，60AEB∴∠=︒，BD AC⊥，90BDE∴∠=︒，∴3 sin sin60BDAEBBE=∠=︒=3BD∴=；（2）90ABC∠=︒，60A∠=︒，30C∴∠=︒，点F是线段AP的中点，BF FP∴=，PBF BPF C PAC∴∠=∠=∠+∠，180PBF BPF BFP∠+∠+∠=︒，180FAG AGB AFG∠+∠+∠=︒，BFP AFG∠=∠，PBF BPF FAG AGB∴∠+∠=∠+∠，MAC PAC∠=∠，2FAG PAC∴∠=∠，2()2C PAC PAC AGB∴∠+∠=∠+∠，260AGB C∴∠=∠=︒；（3）如图3，连接BE，BE CE=，60BED BGA ∴∠=︒=∠，BN AM ⊥，BD AC ⊥，90BNG BDE ∴∠=∠=︒，BNG BDE ∴∆∆∽， ∴BN BG BD BE =，NBG DBE ∠=∠， ∴BN BD BG BE=，NBD GBE ∠=∠， BND BGE ∴∆∆∽，∴3ND BD GE BE ==．27．（12分）二次函数23y ax bx =+-的图象交x 轴于点(1,0)A -，点(3,0)B ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为点M ．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上的一点，设点P 的横坐标为(3)m m >，点Q 在对称轴上，且AQ PQ ⊥，若2AQ PQ =，请求出m 的值；（3）如图2，将抛物线绕x 轴正半轴上一点R 旋转180︒得到新抛物线1C 交x 轴于D 、E 两点，点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点D ．若3sin 5BME ∠=，求旋转中心点R 的坐标．【解答】解：（1）将(1,0)A -，点(3,0)B ，代入函数解析式得：309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴这个二次函数的表达式是223y x x =--；（2）过点Q 作x 轴的平行线交过点P 与y 轴的平行线与点N ，交过点A 与y 轴的平行线于点M ，90NQP MQA ∠+∠=︒，90MQA QAM ∠+∠=︒， NQP QAM ∴∠=∠，90AMQ QNP ∠=∠=︒，AMQ QNP ∴∆∆∽， ∴2AM MQ AQ QN NP QP===， 设点Q 的坐标为(1,)t ，点P 的坐标为2(,23)m m m --， 则AM t =，1QN m =-，2MQ =，223NP t m m =-++， 即222123t m t m m ==--++， 解得0m =（舍去）或4，故4m =；（3）过点E 作EH M B ⊥交MB 的延长线于点H ，由抛物线的表达式知，点(1,4)M -，25BM =， 则tan 2tan OM OBM HBE OB ∠===∠， 3sin 5BME ∠=，故3tan 4BME ∠=， 故设BH x =，则2HE x =，在Rt HEM ∆中，3tan 4BME ∠=，25MB = 则3tan 425HE BME MH x ∠===+，解得5x = 在Rt BHE ∆中，2256BE BH HE x =+=， 故点E 的坐标为(9,0)，由旋转的定义知，点R 是点A 、E 的中点，则1(91)42Rx=-=，故点R的坐标为(4,0)．。