第2讲 二次函数

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内容 基本要求 略高要求 较高要求

二次函数 能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题

模块一 二次函数的几何变换

二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

2. 关于y轴对称

2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

3. 关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；

4. 关于顶点对称

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca； 例题精讲 中考要求 二次函数几何变换及应用

Page 2 of 11 2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．

5. 关于点mn，对称

2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

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二次函数2yaxbxc的性质——增减性

函数的增减性的识别，对于初中学生来说，既抽象又枯燥，而且难以理解。那么怎样才能真正理解它呢？

一、导入

如图所示，当人从A点到B点时，是在爬上坡，在这个过程中，此人水平方的前进距离x在逐渐增加，同时他离地面的高度y也在不断增加。

由图可知，人在上坡时，爬得越高，他离开起点的水平距离也越大，即高度y随着水平距离x的增加而增加，到达坡顶时，高度y值达到最大。

不难知道，当人越过B点向C点进发时，开始走下坡，这时人离开地面的高度（y）随着水平距离x的增加而降低。

如果我们在图中建立如图所示的直角坐标系则水平距离x、高度y刚好是此人爬坡时所在位置的纵横坐标，可知爬上坡时y随x的增大而增大；走下坡时，y随x的增大而减小。

由上可知，若一个函数的图象形状呈上坡时，图象上的点的纵坐标的 变化规律是y随横坐标x的增大而增大，反之，函数图象呈下坡时，y随x的增大而减小。

（附：由于实际爬坡时，去时是上坡，回来时则为下坡，易混淆，为了避免混淆，我们在坐标系里对“上、下坡”概念作统一规定：函数图象一律由“从左向右”这个方法来判定“上、下坡”。如图2中，AB坡始终为上坡，BC坡为下坡）

二、二次函数增减性性质讲解

1、如图3，是函数y=-2x2+4x-1的函数图象，由上法可知，从左往右看，在对称轴左侧图象呈上坡状，右侧呈下坡状。那么，对称轴左侧图象上的点应是y随x的增

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第 1 页 共 5 页 人教版高一数学下册二次函数知识点讲解

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，

二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。那么同学们赶快一起来看看二次函数知识点！定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线第 2 页 共 5 页 的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h0时，第 3 页 共 5 页 y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点第 4 页 共 5 页 间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.练习题：1．若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点( )A．(2,4)

第2讲 函数的定义域和值域

1．常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0．

(3)一次函数、二次函数的定义域为R．

(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．

(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a＞0时，值域为y|y≥4ac－b24a；

当a＜0时，值域为y|y≤4ac－b24a．

(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．

(6)y＝sin x，y＝cos

x的值域是[－1，1]．

(7)y＝tan x的值域是R．

[做一做]

1．(2015·浙江杭州模拟)函数y＝16－4x的值域是( )

A．[0，＋∞)B．[0，4]C．[0，4)D．(0，4)

解析：选C.∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，∴0≤y＜4.

2．函数y＝x＋1＋12－x的定义域为________．

答案：[－1，2)∪(2，＋∞)

1．求函数定义域应注意的四点

(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．

(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．求函数值域的六种基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．

(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．