2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知3cos 4α=，则锐角α的取值范围是（ ） A ．030α︒<<︒B ．3045α︒<<︒C ．4560α︒<<︒D ．6090α︒<<︒ 2．如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用()0,0表示孔庙的位置，用()1,5表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（ ）A ．(1,1)--B ．()0,1C ．()1,1D ．(1,1)- 3．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．2y 2(x 1)3=++B ．22(1)3y x =--C ．22(1)3y x =+-D ．2y 2(x 1)3=-+4．二次函数2()y x m n =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则2(2)=+-+y x m n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（ ）A ．1和5B ．﹣3和1C ．﹣3和5D ．3和55．关于反比例函数y ＝﹣3x，下列说法错误的是（ ） A ．图象经过点（1，﹣3）B ．图象分布在第一、三象限C ．图象关于原点对称D ．图象与坐标轴没有交点6．如果点D 、E 分别在△ABC 中的边AB 和AC 上，那么不能判定DE ∥BC 的比例式是（ ）A ．AD ：DB ＝AE ：ECB ．DE ：BC ＝AD ：AB C ．BD ：AB ＝CE ：AC D ．AB ：AC ＝AD ：AE7．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是( )A ．4B ．5C ．6D ．88．下列运算正确的是（ ）A ．x 6÷x 3＝x 2B ．（x 3）2＝x 5C ．2(2)2-=±D ．33(2)2-=-9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C 为位似中心，在网格中画111A B C △，使111A B C △与ABC 位似，且111A B C △与ABC 的位似比为2:1，则点1B 的坐标可以为（ ）A ．()3,2-B ．()4,0C ．(5,1)-D ．()5,010．若点()2,6--在反比例函数k y x =上，则k 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．12 D ．12-11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（3，2）D ．（3，﹣2）12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM=DMB ．CB=DBC ．∠ACD=∠ADCD ．OM=MD二、填空题（每题4分，共24分）13．如图三角形ABC 是圆O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 边的中点D ，且EF 平行AB ，若AB 等于6，则EF 等于________.14．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为_____．15．在平面坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，正方形111A B C C 的面积为______，延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，……按这样的规律进行下去，正方形2018201820182017A B C C 的面积为______.16．如图，点A （m ，2），B （5，n ）在函数k y x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k 的值为 ．17．已知关于x 的二次函数2y ax bx 4=++的图象如图所示，则关于x 的方程2ax bx 0+=的根为__________18．如图，AB∥CD∥EF，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BC CE的值等于________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （﹣2，3），B （﹣3，2），C （﹣1，1）． （1）若将△ABC 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A 1B 1C 1；（2）画出△A 1B 1C 1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A 2B 2C 2；（3）若△A ′B ′C ′与△ABC 是中心对称图形，则对称中心的坐标为 ．20．（8分）如图，在▱ABCD 中 过点A 作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接BE ，F 为BE 上一点，且∠AFE =∠D ．（1）求证：△ABF ∽△BEC ；（2）若AD =5，AB =8，sin D =45，求AF 的长．21．（8分）如图，抛物线221y x x k =-++与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点()0,3C -.抛物线上有一点()P m n ,，且0m >.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标.（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP △面积的最大值.（3）①设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h .求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，点P 的坐标是___________. 22．（10分）如图，抛物线与轴交于，两点.（1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. （3）设抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时点的坐标. 23．（10分）已知二次函数y ＝2x 2+4x+3，当﹣2≤x≤﹣1时，求函数y 的最小值和最大值，如图是小明同学的解答过程．你认为他做得正确吗？如果正确，请说明解答依据，如果不正确，请写出你得解答过程．24．（10分）如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）25．（12分）如图，ABC ∆内接于⊙O ，60BAC ∠=，高AD 的延长线交⊙O 于点E ，6BC =，5AD =．（1）求⊙O 的半径；（2）求DE 的长．26．已知抛物线C 1的解析式为y= -x 2+bx+c ，C 1经过A （-2,5）、B （1,2）两点.（1）求b 、c 的值；（2）若一条抛物线与抛物线C 1都经过A 、B 两点，且开口方向相同，称两抛物线是“兄弟抛物线”，请直接写出C 1的一条“兄弟抛物线”的解析式.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∵cos30°3cos45°=22，∴若锐角α的余弦值为34，且233242<<则30°＜α ＜45°；故选B．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.2、A【分析】根据孔庙和东山公园的位置，可知坐标轴的原点、单位长度、坐标轴的正方向，据此建立平面直角坐标系，从而可得体育场的位置.【详解】由题意可建立如下图所示的平面直角坐标系：平面直角坐标系中，原点O表示孔庙的位置，点A表示东山公园的位置，点B表示体育场的位置则点B的坐标为(1,1)--故选：A.【点睛】本题考查了已知点在平面直角坐标系中的位置求其坐标，依据题意正确建立平面直角坐标系是解题关键.3、D【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的几何变换，熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键．4、A【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．【详解】解：∵二次函数y＝（x+m）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，∴y＝（x+m﹣2）2+n的图象与x轴的交点的横坐标分别为：﹣1+2＝1和3+2＝5，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答．5、B【解析】反比例函数y＝kx（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．【详解】A、把点（1，﹣3）代入函数解析式，﹣3＝﹣3，故本选项正确，不符合题意，B、∵k＝﹣2＜0，∴图象位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意，C、反比例函数的图象可知，图象关于原点对称，故本选项正确，不符合题意D、∵x、y均不能为0，故图象与坐标轴没有交点，故本选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6、B【解析】由AD：DB＝AE：EC , DE：BC＝AD：AB与BD：AB＝CE：AC AB：AC＝AD：AE ,根据平行线分线段成比例定理,均可判定,然后利用排除法即可求得答案.【详解】A、AD：DB＝AE：EC , ∴DE∥BC，故本选项能判定DE∥BC;B、由DE：BC＝AD：AB, 不能判定DE∥BC,故本选项不能判定DE∥BC.C、BD：AB＝CE：AC,∴DE∥BC ,故本选项能判定DE∥BC;D、AB：AC＝AD：AE , ,∴DE∥BC，,故本选项能判定DE∥BC.所以选B.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用.7、C【分析】根据垂径定理得出BC=12AB，再根据勾股定理求出OC的长：【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=12AB=1．在Rt△BOC中，OB=10，BC=1，∴OC6===．故选C．8、D【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．【详解】解：A．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；B．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；2=，故本选项不合题意；2=-，正确，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根、同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记修改运算法则是解答本题的关键．9、B【解析】利用位似性质和网格特点，延长CA到A1，使CA1=2CA，延长CB到B1，使CB1=2CB，则△A1B1C1满足条件；或延长AC到A1，使CA1=2CA，延长BC到B1，使CB1=2CB，则△A1B1C1也满足条件，然后写出点B1的坐标．【详解】解：由图可知，点B的坐标为（3，-2），如图，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2:1，则点B1的坐标为（4，0）或（-8，0），位于题目图中网格点内的是（4,0），故选：B．【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形，注意有两种情况．10、C【分析】将点（-2，-6）代入kyx=，即可计算出k的值．【详解】∵点(-2，-6)在反比例函数kyx=上，∴k=(-2)×(-6)=12，故选：C.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，明确函数图象上点的坐标符合函数解析式是解题关键．11、D【详解】解：由两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标．12、D【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；∵B为CD的中点，即CB=DB，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D．二、填空题（每题4分，共24分）13、35【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=3；易知△CDG 是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的长易知，DF=3+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的长；【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，∵EF∥AB，D是BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，即DG=12AB=3；∵∠ACB=60°，BD=DC=12BC，AG=GC=12AC，且BC=AC，∴△CGD是等边三角形，∵CM⊥DG，∴DM=MG；∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM=MF，故DE=GF，∵弦BC、EF相交于点D，∴BD×DC=DE×DF，即DE×(DE+3)=3×3；解得-3+35-3-35；∴EF=3+2= 【点睛】 本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.14、25【解析】试题解析：由题意10DB CD BC =+=11·1052522ABD S BD AB =⨯=⨯⨯=扇形 15、11.25 2018954⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】推出AD=AB ，∠DAB=∠ABC=∠ABA 1=90°=∠DOA ，求出∠ADO=∠BAA 1，证△DOA ∽△ABA 1，再求出AB ，BA 1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2019个正方形的边长，求出面积即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=∠ABC=∠ABA 1=90°=∠DOA ，∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA 1=90°，∴∠ADO=∠BAA 1，∵∠DOA=∠ABA 1，∴△DOA ∽△ABA 1， ∴112BA OA AB OD ==，∵，∴BA 1∴第2个正方形A 1B 1C 1C 的边长A 1C=A 1，第2个正方形A 1B 1C 1C 的面积2=11.25同理第3个正方形的边长是=（32）第4个正方形的边长是（32），第2019个正方形的边长是（32）面积是[（32）2=5×（32）2018×2=2018954⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭故答案为：(1)11.25；(2)2018954⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．16、2．【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A （2，2），∴k=2×2=2．故答案为2． 考点：2．反比例函数系数k 的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．17、0或-1【分析】求关于x 的方程2ax bx 0+=的根，其实就是求在二次函数2ax bx 4y =++中，当 y=4时x 的值，据此可解．【详解】解：∵抛物线与x 轴的交点为（-4，0），（1，0），∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，∴抛物线与y 轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-1，4），∴当x=0或-1时，y=4,即2ax bx 4++=4，即2ax bx +=0∴关于x 的方程ax 2+bx =0的根是x 1=0，x 2=-1．故答案为：x 1=0，x 2=-1．【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题转化为二次函数的问题是解答此题的关键．18、35【详解】∵AB ∥CD ∥EF ， ∴35BC AD AG GD CE DF DF +=== ， 故答案为35．三、解答题（共78分）19、（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（1，0）【分析】（1）首先将A 、B 、C 三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A 1、B 1、C 1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；（2）找出点B 、C 绕点A 顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；（3）△A′B′C′与△ABC 是中心对称图形，连接对应点即可得出答案．【详解】解：（1）将A ，B ，C ，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A 1B 1C 1； （2）将△A 1B 1C 1三顶点A 1，B 1，C 1，绕原点旋转90°，即可得出△A 2B 2C 2；（3）∵△A′B′C′与△ABC 是中心对称图形，连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0），故答案为（1，0）．【点睛】本题考查作图-旋转变换；作图-平移变换，掌握图形变化特点，数形结合思想解题是关键．20、（1）证明见解析；（2）25．【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD=BC ，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC ，证出∠C=∠AFB ，即可得出结论；（2）由勾股定理求出BE ，由三角函数求出AE ，再由相似三角形的性质求出AF 的长．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC ，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB ，∴△ABF ∽△BEC ；（2）解：∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得：BE=,在Rt △ADE 中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5， 由（1）得：△ABF ∽△BEC ，∴，即，解得：AF=2．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．21、（1）223y x x =--，顶点坐标为()1,4-；（2）8；（3）①222,(01)1,(12)21,(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩；②()4,5.【分析】（1）将点C 代入表达式即可求出解析式，将表达式转换为顶点式即可写出顶点坐标；（2）根据题目分析可知，当点P 位于抛物线顶点时，△ABP 面积最大，根据解析式求出A 、B 坐标，从而得到AB 长，再利用三角形面积公式计算面积即可；（3）①分三种情况：0<m ≤1、1<m ≤2以及m >2时，分别进行计算即可；②将h =9代入①中的表达式分别计算判断即可.【详解】解：（1）将点()0,3C-代入221y x x k =-++，得31k -=+， 解得4k =-，∴222(4)123y x x x x =-+-+=--，∵()222314y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,4-；（2）令2230y x x =--=，解得1x =-或3x =，∴()1,0A -，()3,0B ，∴4AB =，当点P 与抛物线顶点重合时，△ABP 的面积最大， 此时14482ABP S =⨯⨯=△； （3）①∵点C(0，－3)关于对称轴x =1对称的点的坐标为(2，－3)，P(m ，223m m --)，∴当01m <≤时，()223232h m m m m =----=-+， 当12m <≤时，()341h =---=，当2m >时，2223(4)21h m m m m =----=-+, 综上所述，222,(01)1,(12)21,(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩； ②当h =9时，若229m m -+=，此时方程无解，若2219m m -+=，解得m =4或m =－2（不合题意，舍去），∴P(4，5).本题为二次函数综合题，需熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题关键.22、（1）y=x2﹣2x﹣1；（2）存在；M（1，﹣2）；（1）（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）.【解析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（1，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=1，然后利用根与系数即可确定b、c的值；（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=1代入即可得到点M的坐标；（1）根据S△PAB=2，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，∴﹣1+1=﹣b，﹣1×1=c，∴b=﹣2，c=﹣1，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣1．（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0），则，解得：，∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，y=﹣2，∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；（1）设P的纵坐标为|y P|，∵S△PAB=2，∴AB•|y P|=2，∵AB=1+1=4，∴|y P|=4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣1，解得，x=1±2，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣1，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =2．【点睛】此题主要考查了利用抛物线与x 轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b 、c 的方程，解方程即可解决问题．23、错误，见解析【分析】根据二次函数的性质和小明的做法，可以判断小明的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．【详解】解：小明的做法是错误的，正确的做法如下：∵二次函数y ＝2x 2+4x+1＝2（x+1）2+1，∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，当x ＝﹣1时取得最小值，最小值是1，∵﹣2≤x≤﹣1，∴当x ＝﹣2时取得最大值，此时y ＝1，当x ＝﹣1时取得最小值，最小值是y ＝1，由上可得，当﹣2≤x≤﹣1时，函数y 的最小值是1，最大值是1．【点睛】本题考查二次函数的性质,关键在于熟记性质.24、17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt △CDB 中，解三角形即可得到河的宽度.详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，∴30,ACB ∠=︒∴20AB BC ==米，在Rt △CDB 中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD CBD BC ∠= ∴sin60,CD BC︒= ∴3,220CD = ∴103CD =米，∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米． 点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.25、（1）⊙O 的半径为23；（2）523DG =-【分析】（1）作直径BF ，连接CF ，由圆周角定理得60F BAC ∠=∠=︒，根据特殊角的三角函数值，即可求出BF ，然后求出半径；（2）过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，得到四边形OHDG 是矩形，利用直角三角形的性质求出DG ，由垂径定理得到AG=EG=AD -DG ，然后求出DE 的长度.【详解】解：（1）如图，在⊙O 中，作直径BF ，连接CF ，∴90BCF ∠=︒，∵60F BAC ∠=∠=︒，∴43sin 3BC BF F ===∠ ∴⊙O 的半径为23（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H∴GE GA =，四边形OHDG 是矩形，∴OH DG =， ∵23,30OB FBC =∠=︒， ∴3OH DG == ∴53EG AG AD GD ==-=-∴533523DG EG GD =-==-【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.26、（1）b=-2，c=5；（2）2237y x x =--+(答案不唯一). 【分析】（1）直接把点()()2512A B -，、，代入2y x bx c =-++，求出b c 、的值即可得出抛物线的解析式； （2）根据题意，设“兄弟抛物线”的解析式为：22y x bx c =-++，直接把点()()2512A B -，、，代入即可求得答案. 【详解】（1）∵()()2512A B -，、，在C 1上 ， ∴42512b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：25b c =-=， .（2）根据“兄弟抛物线”的定义，知：“兄弟抛物线”经过A （-2,5）、B （1,2）两点，且开口方向相同，∴设“兄弟抛物线”的解析式为：22y x bx c =-++， ∵()()2512A B -，、，在“兄弟抛物线”上， ∴82522b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ ，解得：37b c =-=，.∴另一条“兄弟抛物线”的解析式为：2237y x x =--+. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，正确理解题意，明确“兄弟抛物线”的定义是解题的关键.。
