2019届高考数学一轮复习 第九章 解析几何层级快练53 文

第7讲 抛物线一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的准线方程是( ) A ．y ＝－12aB ．y ＝－14aC ．y ＝12aD ．y ＝14a解析：选B ．抛物线y ＝ax 2(a <0)可化为x 2＝1a y ，准线方程为y ＝－14a ．故选B ．2．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝4x解析：选B ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线定义，x 1＋x 2＋p ＝8，因为AB 的中点到y 轴的距离是2， 所以x 1＋x 22＝2，所以p ＝4；所以抛物线方程为y 2＝8x ．故选B ．3．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．y ＝2x 2D ．y ＝－2x 2解析：选B ．因为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心是(1，－2)，抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)，设标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，所以p ＝1，所以所求抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．4．设抛物线 y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：选B ．如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°． 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°．又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8．5．已知点A (2，1)，抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析：选D ．如图，设抛物线准线为l ，作AA ′⊥l 于A ′，PP ′⊥l 于P ′， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PP ′|≥|AA ′|， 即当P 点为AA ′与抛物线交点时，|PA |＋|PF |最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1． 故选D ．6．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B ．因为△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3，又因为圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4．二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±228．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：69．过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为|PA |＝12|AB |，所以⎩⎪⎨⎪⎧3（x 1＋2）＝x 2＋2， 3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， y 22＝4x 2， 得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53． 答案：5310．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )，又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2．所以抛物线方程为y 2＝4x ． (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k FA ＝43，因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34．所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45． 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2．1．如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24．所以直线AB 的斜率是±22．(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． 2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1，2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由 ①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．。

层级快练(五十二)1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析 直线3x ＋3y －1＝0的斜率k ＝－3，倾斜角为2π3.2．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的1，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y－5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.3＋1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为( )A B ．2或－12C D ．－2或121，又2m 2－m ＋3≠0，所以4m ＋12m 2－m ＋3＝1，即2m 2－5m4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案 B5．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k<15B ．k>1或k<12C.15<k<1 D ．k>12或k<－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．6．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab>0，bc<0 B ．ab>0，bc>0 C ．ab<0，bc>0 D ．ab<0，bc<0 答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，∴直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b <0且－cb>0，故ab>0，bc<0.7．(2018·安徽毛坦厂中学月考)经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0D ．x －2y －7＝0 A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，4)代入得1a ＋4b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x 8．过点M(1，－2)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y －4＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0 D ．x －2y －5＝0 答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)，∵M(1，－2)为线段PQ 中点，∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.即2x －y －4＝0.9．(2018·湖南师大附中月考)将直线y ＝3x 绕坐标原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析 直线y ＝3x 绕坐标原点逆时针旋转90°后，其斜率k ＝－13，直线方程为y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度可得直线的方程为y ＝－13x ＋13，故选A.10．若直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8答案 C解析 显然直线ax ＋by ＝ab 在x 轴上的截距为b ，在y 轴上的截距为a.∵ax＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.11．过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 4x ＋3y ＝0或x －y －7＝012．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0 解析 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵k ＝16，即b a ＝－16，∴a ＝－6b.又三角形面积S ＝3＝12|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b ＝1时，a ＝－6；当b ＝－1时，a ＝6. ∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1.即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．(2018·安徽合肥模拟)曲线y ＝lnx 在与x 轴交点处的切线方程为________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵曲线y ＝lnx 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝lnx 的导函数y ′＝1x ，∴曲线y＝lnx 在点(1，0)处的切线的斜率k ＝11＝1，过点(1，0)且斜率为1的直线的方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.14．已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 (－73，－13)解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13.15．在△ABC 中，已知A(1，1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．＝0， ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 答案 (1)3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 (2)a≤－1解析 (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a≤－1.17．过点P(1，2)作直线l ，与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．答案 (S △AOB )min ＝4，l ：2x ＋y －4＝0 解析 设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)， 令y ＝0，得x ＝k －2k ，令x ＝0，得y ＝2－k.∴A ，B 两点坐标分别为A(k －2k，0)，B(0，2－k)．∵A ，B 是l 与x 轴，y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k<0，k －2k >0，2－k>0.∴k<0. S △AOB ＝12·|OA|·|OB|＝12·k －2k ·(2－k)＝12(4－4k －k)．由－4k >0，－k>0，得S △AOB ≥12(4＋2（－4k）（－k ）)＝4.当且仅当k ＝－2时取“＝”．∴S △AOB 最小值为4，方程为2x ＋y －4＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ) A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2]答案 B解析 ∵直线l 恒过定点(0，－3)， 作出两直线的图像，如图所示，从图中看出，直线l 的倾斜角的取值范围应为(π6，π2)．2．直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a． 答案 1解析 方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，a ＝1时取等号，故a 的值为1.3．一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0解析 设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y －2＝k(x ＋2)，2＝0.445°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解析 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C(m －3n 2，m ＋n2)，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

[学生用书P266(单独成册)]一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值和最大值分别为( )A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，12解析：选C ．如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12．2．设A 1、A 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得kPA 1·kPA 2>－12，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，22) C ．(22，1) D ．(12，1)解析：选C ．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(－a ，0)、A 2(a ，0)，设P (x 0，y 0)，根据题意，kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－a 2>－12，而x 20a 2＋y 20b 2＝1，所以a 2－x 20＝a 2y 20b 2，于是b 2a 2<12，即a 2－c 2a 2<12，1－e 2<12，所以e >22，又e <1，故22<e <1，选C ．3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A ．设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a ，0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13． 4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A ．32B ．332C ．94D ．154解析：选B ．设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ．由条件知|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P→|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332，即F 1P →·F 2A →的最大值为332．二、填空题5．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b 2a 2＝14， 从而e ＝1－b 2a 2＝32． 答案：326．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆C 的右顶点A 的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N ，则直线MN 恒过的定点为________．解析：直线MN 过定点D ．当直线MN 的斜率存在时， 设MN ：y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2．根据已知可知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14， 即4y 1y 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝0，即(1＋4k 2)x 1x 2＋(4km －2)(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0，所以(1＋4k 2)·4m 2－41＋4k 2＋(4km －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2＋4m 2＋4＝0，即(4km －2)(－8km )＋8m 2(1＋4k 2)＝0， 即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k ． 当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D (0，0)．由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点(2，0)，故不可能．当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为12，－12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点(0，0)．综上可知，直线MN 过定点D (0，0)． 答案：(0，0) 三、解答题7．已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433．(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．解：(1)在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163．由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos 60°＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|·(1＋cos 60°)，解得|MF 1|＋|MF 2|＝42．从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝22． 由|F 1F 2|＝4得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2．从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)·4k （k －2）2k 2－8k＝4．当直线l 的斜率不存在时，可得A (－1，142)， B (－1，－142)，得k 1＋k 2＝4． 综上，k 1＋k 2为定值．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，且|AF |＝1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，是否存在点M (t ，0)使MP →·MQ →＝0成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2， 所以b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12， 消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2．设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k ＝－4km ， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m ．因为M (t ，0)，Q (4，4k ＋m )， 所以MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )，所以MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，t 2－4t ＋3＝0， 即t ＝1．所以存在点M (1，0)符合题意．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →．(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3． 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )， 由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， 所以y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0， 所以λ1＝m y 1－1．同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1．因为λ1＋λ2＝－3，所以y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，所以由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， 所以(mt )2＝1，由题意mt <0，所以mt ＝－1，满足②，得直线l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． 解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0． 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0．①将线段AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2．②由①②得m <－63或m >63． (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1． 设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上， 所以1a ＋12b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝c ＝1．故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1．(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)， MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t 9且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t9且－3<t <3， 由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形， 而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点， 所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159，又－3<t <3，可得－73<y 4<－1，因此点Q 不在椭圆上， 故不存在满足题意的直线l ． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝32．(1)求椭圆的方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围． 解：(1)由题意知，e ＝c a ＝22， 则a ＝2c ，b ＝c ．当直线AB 的斜率为0时，|AB |＋|CD |＝2a ＋2b2a＝22c ＋2c ＝32，所以c ＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)①当直线AB 与直线CD 中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在． 由题意知S 四边形＝12|AB |·|CD |＝12×22×2＝2．②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程，并整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·2 2 k 2＋11＋2k 2＝22（k 2＋1）1＋2k2． 同理，|CD |＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋11＋2k2＝22（k 2＋1）k 2＋2．所以S 四边形＝12·|AB |·|CD |＝12·22（k 2＋1）1＋2k 2·22（k 2＋1）k 2＋2 ＝4（k 2＋1）22k 4＋2＋5k2 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1． 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋1≥2⎝⎛⎭⎪⎫2k ·1k 2＋1＝9，当且仅当k ＝±1时取等号，所以S 四边形∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫169，2． 综合①与②可知，S 四边形∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤169，2．。

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层级快练(五十二) 1．直线3x+＼ｒ（3)y－1=０的倾斜角是（ )A。

错误! B.错误!C。

2π3D.错误!答案C解析直线３x+错误!y-1=0的斜率k＝-错误!,倾斜角为错误!。

2．直线l过点Ｍ(-2，5),且斜率为直线y＝－3x+２的斜率的＼f(１，４),则直线l的方程为（ )A．3x＋4y－14=０ﻩ B.3x－4y＋1４=0C.4x＋3ｙ-１4＝0 D．４x－３y+1４=０答案 A解析因为直线ｌ的斜率为直线y=－3x＋2的斜率的14,则直线ｌ的斜率为k=－错误!,故y－5＝-３４(ｘ+2）,得３ｘ+4y-14＝0，故选Ａ。

3.直线(2ｍ2－m+3)ｘ+(m2+2m)y＝4ｍ+1在x轴上的截距为１，则实数m的值为（)A．2或12ﻩB．2或-＼f（1，2）C．-2或－12ﻩ D.－2或错误!答案A解析令y＝0,则(2m2-m＋3)ｘ=４m＋１，又2ｍ2-m+3≠０，所以错误!＝１,即２m2－5ｍ＋２＝0,解得m=2或m=１2。

4.两直线错误!-错误!=1与错误!-错误!＝1的图像可能是图中的哪一个（ )答案 B5．若直线l经过点A（1,2)，且在x轴上的截距的取值范围是(-3,3），则其斜率的取值范围是( ）A．-1〈ｋ<错误!ﻩ B.k＞1或ｋ〈错误!Ｃ。