《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第二章 函数、导数及其应用 2-9

- 1 - 第6讲 指数与指数函数

1．根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒x＝na（当n为奇数且n∈N*时），x＝±na（当n为偶数且n∈N*时）.

(2)根式的性质

①(na)n＝a(n∈N*)．

②nan＝a，n为奇数，|a|＝a，a≥0，－a，a<0，n为偶数.

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念：

①正分数指数幂：amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质：

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax a>1 0

图象

定义域 R

值域 (0，＋∞)

性质 过定点(0，1)

当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01；

在R上是增函数 在R上是减函数

[做一做]

1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )

A．－9 B．7

C．－10 D．9 - 2 - 答案：B

2．(2015·大连模拟)函数y＝2|x|的值域为( )

A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)

C．(1，＋∞) D．(0，1]

答案：B

1．辨明三个易误点

(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

(3)在解形如a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．

A组 考点基础演练

一、选择题

1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )

A．y＝x－1与y＝x－12

B．y＝x－1与y＝x－1x－1

C．y＝4lg x与y＝2lg x2

D．y＝lg x－2与y＝lg

x100

解析：因为y＝x－12＝|x－1|，y＝x－1x－1＝x－1(x>1)，y＝2lg x2＝4lg |x|，故选D.

答案：D

2．(2015年烟台模拟)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为( )

A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]

C．[－2,2] D．(－1,2]

解析：由 x＋1>0，lnx＋1≠0，4－x2≥0得－1

答案：B

3．已知函数f(x)＝ 2x＋1，x<1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )

A.12 B.45

C．2 D．9

解析：∵x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.

由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，

∴4a＝4＋2a，解得a＝2.

答案：C

4．(2013年高考陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有( )

A．[－x]＝－[x] B.x＋12＝[x]

C．[2x]＝2[x] D．[x]＋x＋12＝[2x] 解析：令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，所以A错；

令x＝－12，－12＋12＝0，－12＝－1，所以B错；

令x＝0.5，[2x]＝1,2[x]＝0，

所以C错；故选D.

答案：D

5．具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝ x，01.其中满足“倒负”变换的函数是( )

A．①② B．①③

C．②③ D．①

A组 考点基础演练

一、选择题

1．(2014年高考新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )

A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：依题意得f ′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立，

∵x>1，∴0<1x<1.

∴k≥1，故选D.

答案：D

2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf ′(x)的图象可能是(

)

解析：∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f ′(x)<0，当x<－2时，xf ′(x)>0；在x＝－2附近的右侧f ′(x)>0，当－2

答案：C

3．(2014年云南联考)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

解析：设h(x)＝f(x)g(x)，又h ′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)>0知x<0时，h(x)为增函数，又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，∴h(x)为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且h(3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D.

答案：D 4．可导函数f(x)的导函数为g(x)，且满足：①gx－1x－1>0；②f(2－x)－f(x)＝2－2x.记a＝f(2)－1，b＝f(π)－π＋1，c＝f(－1)＋2，则a，b，c的大小顺序为( )

A．a>b>c B．a>c>b

C．b>c>a D．b>a>c

1 【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第二章 第11讲 知能训练轻松闯关

1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是( )

A．0 B．2cos 1－sin 1

C．cos 1－sin 1 D．1

解析：选B.∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，

∴y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.

2．(2015·河南郑州第一次质量预测)已知曲线y＝x22－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )

A．3 B．2

C．1 D.12

解析：选A.设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，

由y′＝x－3x，得k＝x0－3x0＝2，

∴x0＝3.

3．已知f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )

A．f(x)＝g(x)

B．f(x)＝g(x)＝0

C．f(x)－g(x)为常数函数

D．f(x)＋g(x)为常数函数

解析：选C.由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，

即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．

4．设曲线y＝1＋cos xsin x在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )

A．－1 B.12

C．－2 D．2

解析：选A.∵y′＝－1－cos xsin2x，∴y′|x＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a＝－1，故选A.

5．若函数f(x)＝cos x＋2xf′π6，则f－π3与fπ3的大小关系是( )

A．f－π3＝fπ3 B．f－π3>fπ3 2 C．f－π3

解析：选C.依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′π6，