高三数学习题 高考文科试题分类函数

02 函数一、选择题1．（安徽6）．函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为 （ C ）A ．1()11)f x x -=≥B ． 1()11)f x x -=≥C ．1()12)f x x -=≥D ． 1()12)f x x -=≥2．（安徽9）．设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ A ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数3．（北京2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，；则（ A ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．（北京5）函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ B ）A ．1()11)f x x -=>B ．1()11)f x x -=>C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)f x x -=≥5．（福建4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)；若f (a )=2, 则f (-a )的值为（ B ）6．（湖南4）函数)0()(2≤=x x x f 的反函数是 ( B ))0()(.1≥=-x x x f A )0()(.1≥-=-x x x f B )0()(.1≤--=-x x x f C )0()(.21≤-=-x x x f D7．下面不等式成立的是 ( A )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<< 8．（江西3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]；则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1)9．（江西4）若01x y <<<；则（ C ）A ．33y x< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44xy<10．（江西12）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-；()g x mx =；若对于任一实数x ；()f x 与()g x 的值至少有一个为正数；则实数m 的取值范围是（ C ）A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞- 11．（辽宁2）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数；则a =（ C ） A ．2-B ．1-C ．1D ．212．（辽宁4）已知01a <<；log log a a x =；1log 52a y =；log log a a z = C ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >>D ．z x y >>13．（全国Ⅰ1）函数y = D ） A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤14．（全国Ⅰ2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车；若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数；其图像可能是（ A ）15．（全国Ⅰ8）若函数()y f x =的图象与函数1y =的图象关于直线y x =对称；则()f x =（ A ） A ．22ex -B ．2e xC ．21ex +D ．2+2ex16．（全国Ⅱ4）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称17．（全国Ⅱ5）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，；则（ C ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a18．(山东3) 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ A ）A ．B ．C ．D ．19．(山东5) 设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，， ≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ A ）A ．1516B ．2716-C ．89D ．1820．(山东12) 已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示；则a b ，满足的关系是（ A ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<-D ．1101ab --<<<21．(天津3 )函数14)y x =≤≤的反函数是（ A ） A ．2(1)(13)y x x =-≤≤ B ．2(1)(04)y x x =-≤≤ C ．21(13)y x x =-≤≤D ．21(04)y x x =-≤≤22．(天津10) 设1a >；若对于任意的[]2x a a ∈，；都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=；这时a 的取值的集合为（ B ）A ．{}12a a <≤B ．{}2a a ≥C ．{}23a a ≤≤D ．{}23，23．(重庆6)函数y =10x 2-1 (0＜x ≤1＝的反函数是 ( D )(A)1)10y x =＞(B)y =x ＞110)(C) y =110＜x ≤)1(D) y =110＜x ≤)1 24．(湖北6).已知()f x 在R 上是奇函数；且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 ( A )25．(湖北8).函数1()1f x n x=+ ( D )xxA ．B ．C ．D ．A.(,4][2,)-∞-+∞B. (4,0)(0,1)-⋃C.[4,0)(0,1]-D.[4,0)(0,1]-⋃26．(陕西7) 已知函数3()2x f x +=；1()f x -是()f x 的反函数；若16mn =（m n ∈+R ，）；则11()()f m f n --+的值为（ D ） A ．10B ．4C ．1D ．2-27．(陕西11) 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，）；(1)2f =；则(2)f -等于（ A ）A ．2B ．3C ．6D ．9二、填空题1．（安徽13）函数2()f x =的定义域为 ．[3,)+∞2．（北京13）如图；函数()f x 的图象是折线段ABC ；其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，；则((0))f f =_________；2函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=_________．2-3．（北京14）．已知函数2()cos f x x x =-；对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，；有如下条件；①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_________．②4．（湖南15）设[]x 表示不超x 的最大整数；（如[]145,22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=）。

数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式17．C2 设a ∈R ，b ∈ 由sin(3x －π3)＝sin(3x －π3＋2π)＝sin(3x ＋5π3)，得(a ，b )＝(3，5π3).由sin(3x －π3)＝sin ＝sin(－3x ＋4π3)，得(a ，b )＝(－3，4π3).因为b ∈ 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C2 sin 750°＝________．11.12 sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcosθ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. C3 三角函数的图象与性质4．B6，B7，C3 下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x4．D 选项A 中函数y ＝11－x ＝－1x －1在区间(－1，1)上是增函数；选项B 中函数y＝cos x 在区间(－1，0)上是增函数，在区间(0，1)上是减函数；选项C 中函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，1)上是增函数；选项D 中函数y ＝2－x＝(12)x 在区间(－1，1)上是减函数．4．C3 为了得到函数y ＝sin(x ＋π3)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度4．A 根据“左加右减”的原则，要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度．17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sinx cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.9．C3 定义在区间上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________．9．7 方法一：令sin 2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，解得cos x ＝0或sin x ＝12， 即x ＝k π＋π2或x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又x ∈，故x ＝π2，3π2，5π2或x ＝π6，5π6，13π6，17π6，共7个解，故两个函数的图像有7个交点．方法二：在同一个坐标系内画出这两个函数的图像，由图像可得交点有7个．16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3．C4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图1­1所示，则( )图1­1A ．y ＝2sin （2x －π6）B ．y ＝2sin （2x －π3）C ．y ＝2sin （x ＋π6）D ．y ＝2sin （x ＋π3）3．A 由图知，A ＝2，最小正周期T ＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．又因为图像过点（π3，2），所以2sin （2×π3＋φ）＝2，即2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，得φ＝－π6，所以y ＝2sin （2x －π6）.6．C4 将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)6．D 函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π，将函数 y ＝2sin(2x ＋π6)的图像向右平移14个周期，即平移π4个单位，所得图像对应的函数为y ＝2sin ＝2sin(2x －π3).14．C4 函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移________个单位长度得到．14.π3 函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin （x －π3）的图像可由函数y ＝2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度得到．11．C4 已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．11. 2 1 2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，故A ＝2，b ＝1.5．C4 若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________．5．±3 根据题意得f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，则16＋a 2＝5，解得a ＝±3.12．C4，F3 如图1­1，已知点O (0，0)，A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则OP →·BA →的取值范围是________．图1­112． 由题意，设P (cos α，sin α)，α∈，则OP →＝(cos α，sin α)．又BA →＝(1，1)，所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈．C5 两角和与差的正弦、余弦、正切14．C2，C5 已知θ是第四象限角，且sin θ＋π4＝35，则tan θ－π4＝________．14．－43 方法一：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35>0，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2（θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝tan （θ＋π4－π2）＝－cot （θ＋π4）＝－4535＝－43. 方法二：由sin （θ＋π4）＝35，得sin θ＋cos θ＝352，两边分别平方得2sin θcosθ＝－725，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝3225.因为θ是第四象限角，所以sin θ－cos θ＝－452，所以tan （θ－π4）＝tan θ－11＋tan θ＝sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝－452352＝－43. 15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. 15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35， 由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C6 二倍角公式12．B12，C6，E3 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．12．C 方法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x＋53，因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0，即－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0恒成立．设t ＝cos x ∈，则g (t )＝4t 2－3at －5≤0在上恒成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝4×（－1）2－3a ×（－1）－5≤0，g （1）＝4×12－3a ×1－5≤0，解得－13≤a ≤13. 方法二：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不满足f (x )在(－∞，＋∞)单调递增，排除A ，B ，D ，故选C.6．C2、C6 若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.456．D cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45. 11．C6 函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．711．B 由已知得f (x )＝－2sin x －322＋112，而sin x ∈，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.16．C3，C5，C6 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．16．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin(2ωx ＋π4)，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π4).函数y ＝sin x 的单调递增区间为(k ∈Z )， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )． C7 三角函数的求值、化简与证明8．C6，C7 方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间上的解为________． 8.π6或5π6化简3sin x ＝1＋cos 2x 得3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0，解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍去)，所以原方程在区间上的解为π6或5π6.17．C3、C7 设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g （π6）的值．17．解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sinx cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin （2x －π3）＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是(k ∈Z )或（k π－π12，k π＋5π12）(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2sin （2x －π3）＋3－1，把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin （x －π3）＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g （π6）＝2sin π6＋3－1＝ 3.C8 解三角形8．C8 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4 D.π68．C ∵b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，∴2b 2sin A ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2b 2cos A ，∴tan A ＝1，即A ＝π4.4．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．34．D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.9．C8 在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010 C.55 D.310109．D 作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC ＝3，则有AD ＝BD ＝1，AB ＝2，由余弦定理得AC ＝ 5.由正弦定理得5sinπ4＝3sin A ，解得sin A ＝3×225＝31010.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号．10．C8 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．10.733 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32.设三角形外接圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝732，所以R ＝733. 15．C8 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．15.2113 因为cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365.又因为a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin B sin A ＝2113.13．C8 在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________． 13．1 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得，3c 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，整理得(b c )2＋bc －2＝0，解得b c ＝1或b c＝－2(舍去)．15．C2、C5、C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．15．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sinA ＋12cos A ＝26＋16. 16．E5 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．16．C8 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．16．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ， 所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.15．C8、C5 在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos A －π6的值．15．解：(1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－452＝35，由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos(B ＋π4)＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，因此cos(A －π6)＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14．C8、E6 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．14．8 方法一：∵sin A ＝2sin B sin C ，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sinC ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同除以cos B cos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ， tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C·tan B tan C ＝2（tan B tan C ）2tan B tan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B >0，tan C >0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1>0，即tan B tan C－1>0.令tan B tan C －1＝t (t >0)，则tan A tan B tan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋1t＋2≥8，当t ＝1，即tan B tan C ＝2时取等号．方法二：同方法一可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan B tan C )·tan(B ＋C )＝tan A －tan A ＋tanA tanB tanC ＝tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ⇒tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时取等号． C9 单元综合8．C9 已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω>0)，x ∈R .若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．(0，18]B ．(0，14]∪[58，1)C ．(0，58 ]D ．(0，18]∪[14，58]8．D f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12sin ωx －12cos ωx＝22sin(ωx －π4). 因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以T 2>2π－π，即πω>π，所以0<ω<1.当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4.若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－π4<k π<2ωπ－π4(k ∈Z )，即k 2＋18<ω<k ＋14(k ∈Z )．当k ＝0时，18<ω<14；当k ＝1时，58<ω<54.所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤18或14≤ω≤58.18．C9 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .18．解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.1. sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝( ) A. －32 B. －12 C. 32 D. 121. D sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos ()78°－18°＝cos 60°＝12.1. 要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度1. C 易知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6， 故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，就可得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像．1. f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A. 3，π2 B. 3，πC. 2，π2D. 2，π1. B f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＋cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋cos 2x ＝32cos 2x －32sin2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故振幅A ＝3，最小正周期T ＝2π2＝π.。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1在定义域内的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 无最大值2. 函数f(x) = (x - 1)^2在x = 1处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 函数f(x) = 2x + 1的图像是（）A. 斜率为2的直线B. 斜率为-2的直线C. 斜率为1的抛物线D. 斜率为-1的抛物线4. 函数f(x) = |x|在x = 0处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 函数f(x) = e^x在x = 0处的导数为（）A. 1B. eC. e^0D. e^16. 函数f(x) = log2(x)在x = 2处的导数为（）A. 1/2B. 1C. 2D. 无导数7. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像与x轴的交点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 函数f(x) = (x - 1)^4在x = 1处的二阶导数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 函数f(x) = x^2 + 1的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 无对称性10. 函数f(x) = sin(x)在x = π/2处的导数为（）A. 1B. 0C. -1D. 无导数二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为________。

12. 函数f(x) = e^x在x = 0处的导数值为________。

13. 函数f(x) = log3(x)的单调递增区间为________。

14. 函数f(x) = 2x + 1的图像的斜率为________。

15. 函数f(x) = |x - 1|在x = 1处的导数不存在的原因是________。

三、解答题（本大题共4小题，共100分）16. （20分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)在x = 1处的切线方程。